1、.二叉樹模型入門二叉樹模型入門Chapter 12Introduction to Binomial Trees2022-3-6.12.212.1 單步二叉樹模型單步二叉樹模型l一只股票現價一只股票現價$20l三個月內價格為三個月內價格為 $22 或或 $18股票價格= $22股票價格 = $18股票價格= $202022-3-6.12.3Stock Price = $22Option Price = $1Stock Price = $18Option Price = $0Stock price = $20Option Price=?看漲期權看漲期權(Figure 12.1)一只三月期股票的看漲

2、期權執行價格為一只三月期股票的看漲期權執行價格為212022-3-6.12.4l考慮資產組合考慮資產組合: D D 股票股票 + short 1 call optionl當當22D D 1 = 18D D時，時，資產組合是無資產組合是無風險的，風險的， 此時此時D D = 0.2522D 118D配置一個無風險資產組合配置一個無風險資產組合2022-3-6.12.5資產組合的估值資產組合的估值(無風險利率為無風險利率為 12%)l無風險資產組合為無風險資產組合為: 股票為股票為 0.25份份賣空賣空1份看漲期權份看漲期權l三個月后組產組合的價值為三個月后組產組合的價值為22 0.25 1 =

3、4.50l資產組合現值為資產組合現值為 4.5e 0.120.25 = 4.36702022-3-6.12.6期權估價期權估價l包括包括0.25份股票和一份看漲期權空頭份股票和一份看漲期權空頭的組合的期初價值為的組合的期初價值為 4.367l其中，股票價值為其中，股票價值為5.000 (= 0.25 20 )l期權的價值期權的價值f因此為因此為f=0.633 (由由 5.000 f = 4.367 )2022-3-6.12.7推廣推廣(Figure 12.2)一個關于一種股票的衍生品持有時間一個關于一種股票的衍生品持有時間TS0u uS0d dS02022-3-6.12.8推廣推廣 l假設資產

4、組合由假設資產組合由D D份股票和份股票和1份衍生品空頭構成份衍生品空頭構成l當當S0uD D u = S0d D D d，資產組合是無風險的，即資產組合是無風險的，即dSuSf fdu00DS0uD uS0dD d2022-3-6.12.9推廣推廣lT時刻資產組合的價值為時刻資產組合的價值為 S0u D D ul資產組合的貼現值為資產組合的貼現值為 (S0u D D u )erTl資產組合的構建成本資產組合的構建成本 S0 D D fl因此因此 = S0D D (S0u D D u )erT 2022-3-6.12.10推廣推廣 l替換替換D D 就得到就得到 = p u + (1 p )d

5、 erT其中：其中： pedudrT2022-3-6.12.11股票預期收益的無關性股票預期收益的無關性l當利用無套利原理對期權定價時，標的股當利用無套利原理對期權定價時，標的股票的期望收益是無關的。票的期望收益是無關的。lWhen we are valuing an option in terms of the underlying stock the expected return on the stock is irrelevantl為什么？為什么？2022-3-6.12.1212.2 風險中性定價風險中性定價l = p u + (1 p )d e-rTl變量變量p 和和 (1 p )

6、是風險中性時股票期權上漲和下跌的是風險中性時股票期權上漲和下跌的概率概率l衍生品的價格是風險中性環境中用無風險利率折現的衍生品的價格是風險中性環境中用無風險利率折現的其預期得益其預期得益Su uSd dSp(1 p )2022-3-6.12.13示例示例l p 是風險中性概率是風險中性概率20e0.12 0.25 = 22p + 18(1 p ); p = 0.6523l或者或者 使用公式使用公式6523.09 .01 .19 .00.250.12edudeprTSu = 22 u = 1Sd = 18 d = 0S p(1 p )2022-3-6.12.14期權股價期權股價期權的價格是期權的

7、價格是e0.120.25 0.65231 + 0.34770 = 0.633Su = 22 u = 1Sd = 18 d = 0S0.65230.34772022-3-6.12.1512.3 兩步二叉樹兩步二叉樹Figure 12.3l每步長3個月20221824.219.816.22022-3-6.12.16看漲期權價格看漲期權價格Figure 12.4lB 點價格點價格= e0.120.25(0.65233.2 + 0.34770) = 2.0257lA 點價格點價格 = e0.120.25(0.65232.0257 + 0.34770) = 1.2823201.2823221824.23

8、.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF2022-3-6.12.17看漲期權定價推廣看漲期權定價推廣Figure 12.4S0fS0uS0dS0u2fuuS0udfudS0d2fddfufd)1 ()1 (2222dduduutrfpfppfpefD2022-3-6.12.18看跌期權估價看跌期權估價K=52Figure 12.7504.1923604072048432201.41479.4636ABCDEF2022-3-6.12.1912.5 美式期權美式期權 (Figure 12.8) 505.0894604072048432201.414712.0ABCDEF2022-3-6.12.2012.6 DeltalDelta (D D)是股票期權價格的變化與是股票期權價格的變化與標的股票價格的變化之比標的股票價格的變化之比 lDelta hedgingl 二叉樹中二叉樹中D D 的值在每一節點均不同的值在每一節點均不同2022-3-6.12.2112.7 u and d的確定的確定波動的確定方法波動的確定方法當當 s s 是波動率且是波動率且 D Dt 是一步的時間長是一步的時間長. 這是這是Cox, Ross, 和和 Rubinstein使用的方法使用的方法tteudeuDsDs12022-3-6.12.22上漲概率上漲概率