1、晶體的點陣結構和晶體的性質【7.1】若平面周期性結構系按下列單位并置重復堆砌而成，請畫出它們的點陣素單位，并寫出每個素單位中白圈和黑圈的數目。解：用實線畫出素單位示于圖8.1（a）。各素單位黑點數和圈數列于下表：圖8.1（a）號數1234567黑點數目1111024圈數目1112313【7.2】層狀石墨分子中鍵長為142，試根據它的結構畫出層型石墨分子的原子分布圖，畫出二維六方素晶胞，用對稱元素的圖示記號標明晶胞中存在的全部六重軸，并計算每一個晶胞的面積、晶胞中包含的原子數和鍵數。解：石墨層型分子結構示于圖8.2（a），晶胞示于圖8.2（b），在晶胞中六重軸位置示于圖8.2（c），圖中數字單位

2、為pm。圖8.2 石墨層型分子的結構由圖（a）可見，在層型石墨分子結構中，六元環中心具有六重軸對稱性，而每個C原子則具有六重反軸對稱性。晶胞邊長a和b可按下式計算： 晶胞面積可按下式計算； 晶胞中有2個C原子，3個CCN鍵。【7.3】畫出層狀石墨分子的點陣素單位及石墨晶體的空間點陣素單位（參照圖），分別說明它們的結構基元。解：按上題可得層型石墨分子的晶胞結構，示于圖8.3（a），它的點陣素單位示于圖8.3（b），結構基元中含2個C原子。石墨晶體的晶胞示于圖8.3（c），點陣單位示于圖8.3（d）。結構基元中含4個C原子。圖8.3 石墨的結構【7.4】有一型晶體，晶胞中和的坐標分別為和。指明該晶

3、體的結構基元。解：不論該晶體屬于哪一個晶系，均為簡單的空間點陣，結構基元為AB。【7.5】下表給出由射線衍射法測得一些鏈型高分子的周期。請根據原子的立體化學，畫出這些聚合物的一維結構；找出他們的結構基元；畫出相應的直線點陣；比較這些聚合物鏈周期大小，并解釋原因。高分子化學式鏈周期聚乙烯252聚乙烯醇252聚氯乙烯510聚偏二氯乙烯470解：依次畫出這些高分子的結構于下：在聚乙烯，聚乙烯醇和聚氯乙烯分子中，C原子以雜化軌道成鍵，呈四面體構型，CC鍵長154pm，為，全部C原子都處在同一平面上，呈伸展的構象。重復周期長度前兩個為252pm，這數值正好等于：聚氯乙烯因Cl原子的范德華半徑為184pm

4、，需要交錯排列，因而它的周期接近252pm的2倍。聚偏二氯乙烯因為同一個C原子上連接了2個Cl原子，必須改變CCC鍵的伸展構象，利用單鍵可旋轉的性質，改變扭角，分子中的C 原子不在一個平面上，如圖所示。這時因碳鏈扭曲而使周期長度縮短至470pm。高分子立體結構結構基元聚乙烯聚乙烯醇聚氯乙烯聚偏二氯乙烯【7.6】有一組點，周期地分布于空間，其平行六面體單位如右下圖所示，問這一組點是否構成一點陣？是夠構成一點陣結構？請畫出能夠概括這一組點的周期性的點陣及其素單位。 解：不能將這一組點中的每一個點都作為點陣點，因為它不符合點陣的要求，所以這一組點不能構成一點陣。但這組點是按平行六面體單位周期地排布于

5、空間，它構成一點陣結構。能概括這組點的點陣素單位如圖8.6（b）。圖8.6【7.7】列表比較晶體結構和分子結構的對稱元素和對稱操作。晶體結構比分子結構增加了哪幾類對稱元素和對稱操作？晶體結構的對稱元素和對稱操作受到哪些限制？原因是什么？解：分子對稱性晶體對稱性 （1）旋轉操作旋轉軸 （2）反映操作鏡面 （3）反演操作對稱中心 （4）旋轉反演操作反軸（5）平行操作點陣（6）螺旋旋轉操作螺旋軸（7）反映滑移操作滑移面由表可見，晶體結構比分子結構增加了（5）（7）3類對稱元素和對稱操作。晶體結構因為是點陣結構，其對稱元素和對稱操作要受到點陣制約，對稱軸軸次為1，2，3，4，6。螺旋軸和滑移面中的滑移

6、量只能為點陣結構所允許的幾種數值。【7.8】根據點陣的性質作圖證明晶體中不可能存在的五重對稱軸。解：若有五重軸，由該軸聯系的5個點陣點的分布如圖8.8。連接AB矢量，將它平移到E，矢量一端為點陣點E，另一端沒有點陣點，不合點陣的定義，所以晶體的點陣結構不可能存在五重對稱軸。圖8.8【7.9】分別寫出晶體中可能存在的獨立的宏觀對稱元素和微觀對稱元素，并說明它們之間的關系。解：宏觀對稱元素有； 。微觀對稱元素有： 點陣。微觀對稱元素比宏觀對稱元素多相應軸次的螺旋軸和相同方向的滑移面，而且通過平移操作其數目是無限的。【7.10】晶體的宏觀對稱操作集合可構成多少個晶體學點群？這些點群分屬于多少個晶系？

7、這些晶系共有多少種空間點陣型式？晶體的微觀對稱操作的集合可構成多少個空間群?這些空間群分屬于多少個點群？解：32個晶體學點群，7個晶系，14種空間點陣型式，230個空間群，這些空間群分屬于32個點群。【7.11】從某晶體中找到、和等對稱元素，則該晶體所屬的晶系和點群各是什么？解：六方晶系，因為。點群是。【7.12】六方晶體可按六方柱體（八面體）結合而成，但為什么六方晶胞不能劃分六方柱體？解：晶胞一定是平行六面體，它的不相平行的3條邊分別和3個單位平移矢量平行。六方柱體不符合這個條件。【7.13】按下圖堆砌而成的結構為什么不是晶體中晶胞并列排列的結構？解：晶胞并置排列時，晶胞頂點為8個晶胞所共有

8、。對于二維結構，晶胞頂點應為4個晶胞共有，才能保證晶胞頂點上的點有著相同的周圍環境。今將團中不同位置標上A，B如圖8.13b所示，若每個矩形代表一個結構基元，由于A點和B點的周圍環境不同(A點上方沒有連接線、B點下方沒有連接線)，上圖的矩形不是品胞。晶胞可選連接A點的虛線所成的單位，形成由晶胞并置排列的結構，如圖8.13b所示。圖8.13a 圖8.13b【7.14】已知金剛石立方晶胞的晶胞參數。寫出其中碳原子的分數坐標，并計算鍵長和晶體密度。解：金剛石中碳原子分數坐標為：。CC鍵長可由及兩個原子的距離求出；因為立方金剛石 密度 【7.15】四方晶系的金紅石晶體結構中，晶胞參數，；原子分數坐標為

9、：，。計算值相同的鍵長。解：z值相同的TiO鍵是Ti和O之間的鍵，其鍵長為： 【7.16】許多由有機分子堆積成的晶體屬于單斜晶系，其空間群記號為，說明該記號中各符號的意義。利用圖中空間群對稱元素的分布。推出晶胞中和原子（0.15，0.25，0.10）屬同一等效點系的其他3個原子的坐標，并作圖表示。解：在空間群記號中，為點群Schonflies記號，為該點群的第5號空間群，“”記號是空間群的國際記號，P為簡單點陣，對單斜晶系平行b軸有螺旋軸，垂直b軸有c滑移面。該空間群對稱元素分布如下：b軸從紙面向上1（0.15，0.25，0.10）；3（0.15，0.25，0.60）；2（0.85，0.75，

10、0.40）；4（0.85，0.75，0.90）圖8.16【7.17】寫出在3個坐標軸上的截距分別為-2a，-3b和-3c的點陣面的指標；寫出指標為（321）的點陣面在3個坐標軸上的截距之比。解：點陣面指標為三個軸上截數倒數的互質整數之比，即，點陣面指標為或。 指標為的點陣面在三個軸上的截距之比為：2a：3b：6c。【7.18】標出下面點陣結構的晶體指標，。每組面話出3條相鄰的直線表示。解：圖8.18【7.19】金屬鎳的立方晶胞參數，試求，。解：立方晶系的衍射指標hkl和衍射面間距的關系為： 故： 【7.20】在直徑為的相機中，用射線拍金屬銅的粉末圖。從圖上量得8對粉末線的值為：44.0，51.

11、4，75.4，90.4，95.6，117.4，137.0，145.6。試計算下表各欄數值，求出晶胞參數，確定晶體點陣型式。序號解：由L求可按下式： 由求可用第1條線的值去除各線的值，然后乘一個合適的整數使之都接近整數值。由Bragg公式以及立方晶系的 可得： 按上述公式計算所得結果列于表8.20。 表8.20序號144.022.00.1401110.04666251.425.70.1882000.04700375.437.70.3742200.04675490.445.20.5033110.04573595.647.80.5492220.045756117.458.70.7304000.045

12、627137.068.50.8663310.045578145.672.80.9134200.04565取號線的的值求平均值得： 將代入，得： 從衍射指標符合全為奇數或全為偶數的規律，得空間點陣型式為面心立方。【7.21】已知，用拍金屬鉭的粉末圖，所得各粉末線的值列下表。試判斷鉭所屬晶系、點陣型式，將上述粉末線指標化，求出晶胞參數。序號射線序號射線10.1126570.7631220.2223880.8705430.3315590.8756340.44018100.9782650.54825110.9833560.65649解：由解8.20體可知，對立方晶系： 用第1號衍射線的值遍除各線，即可

13、得到的比值。再根據此比值加以調整，使之成為合理的整數，即可求出衍射指標。從而進一步求得所需數值如表8.21。 表8.21序號用1號遍除因出現7，以2倍之10.1126512110324.920.2223824200327.030.3315536211327.040.4401848220328.750.54825510310329.360.65849612222329.670.76312714312330.280.87054816400330.390.87563816400330.0100.97826918411330.5110.98335918411330.3 因不可能有7，故乘以2，都得到合

14、理的整數，根據此整數即得衍射指標如表所示。因能用立方晶系的關系式指標化全部數據，所以晶體應屬于立方晶系。而所得指標全為偶數，故為體心點陣型式。再用下一公式計算晶胞參數： 從第1號至第7號值用，第8號和第10號用，第9號和第11號用，計算所得數據列于表中。利用粉末法求晶胞參數，高角度比較可靠，可以作的圖，外推至，求得；也可以用最后兩條線求平均值，得： 【7.22】什么是晶體衍射的兩個要素？它們與晶體結構（例如晶胞的兩要素）有何對應關系？寫出能夠闡明這些對應關系的表達式，并指出式中各符號的意思。晶體衍射的兩要素在射線粉末衍射圖上有何反映？解：晶體衍射的兩個要素是：衍射方向和衍射強度，它們和晶胞的兩

15、要素相對應。衍射方向和晶胞參數相對應，衍射強度和晶胞中原子坐標參數相對應，前者可用Laue方程表達，后者可用結構因子表達：Laue方程：反映了晶胞大小和空間取向；和反映了衍射X射線和入射X射線的方向；式中為衍射指標，為X射線波長。衍射強度和結構因子成正比，而結構因子和晶胞中原子種類（用原子散射因子表示）及其坐標參數有關； 粉末衍射圖上衍射角（或）即衍射方向，衍射強度由計算器或感光膠片記錄下來。【7.23】寫出方程的兩種表達形式，說明與，與之間的關系以及衍射角隨衍射級數的變化。解：Bragg方程的兩種表達形式為： 式中()為點陣面指標，3個數互質；而為衍射指標，3個數不要求互質，可以有公因子n，

16、如123，246，369等。為點陣面間距；為衍射面間距，它和衍射指標中的公因子n有關：。按前一公式，對于同一族點陣面()可以有n個不同級別的衍射，即相鄰兩個面之間的波程差可為，而相應的衍射角為，。【7.24】為什么用射線粉末法測定晶胞參數時常用高角度數據（有時還根據高角度數據外推至），而測定超細晶粒的結構時要用低角度數據（小角散射）？解：按晶面間距的相對誤差公式可見隨著值增大，值變小，測量衍射角的偏差對晶面間距或晶胞參數的影響減小，故用高角度數據。 小晶粒衍射線變寬，利用求粒徑的公式： 超細晶粒值很小，衍射角增大時，變小，寬化(即)增加。故要用低角度數據。另外，原子的散射因子隨的增大而減小，細

17、晶粒衍射能力已很弱了。為了不使衍射能力降低，應在小角度(值小)下收集數據。【7.25】用射線衍射法測定的晶體結構，衍射100和200哪個強度大？為什么？解：200比100大，其原因可從圖8.25中看出。圖8.25示出CsCl立方晶胞投影圖，。在衍射100中，和相差半個波長，強度互相抵消減弱；在衍射200中，和相差1個波長，互相加強。圖8.25【7.26】用射線測得某晶體的衍射圖，從中量得以下數據，試查PDF卡片，鑒定此晶體可能是什么。27.331.845.553.956.666.375.518100805212020解：利用PDF卡片鑒定晶體時，需先把衍射角數據換算成值（）如下：（）27.33

18、1.845.553.956.666.375.5326.7281.4199.4170.1162.6141.0125.918100805212020按這組值查表，得知它為NaCl晶體。【7.27】金屬鋁屬立方晶系，用射線攝取333衍射，由此計算晶胞參數。解：立方晶系和的關系為： 由求得為： 【7.28】分子既可形成單斜硫，也可形成正交硫。用射線衍射法（射線）測得某正交硫晶體的晶胞參數，。已知該硫磺的密度為，的相對原子質量為32。（a） 計算每個晶胞中分子的數目；（b） 計算224衍射線的角；（c） 寫出氣相中分子的全部獨立的對稱元素。解：（a）按求晶胞中分子數Z的公式，得： （b）按正交晶系公式：

19、代入有關數據，得： （c）分子屬于點群，獨立的對稱元素有：。【7.29】硅的晶體結構和金剛石相似。下測得其立方晶胞參數，密度為，的相對原子質量為28.0854，計算常數。解；按求Avogadro數的公式，得： 【7.30】已知某立方晶系晶體，其密度為，相對分子質量為234。用射線在直徑粉末相機中拍粉末圖，從中量得衍射220的衍射線間距為，求晶胞參數及晶胞中分子數。解：用下面公式由L值可求得值： 【7.31】已知晶體立方晶胞參數，實驗測得衍射111的衍射角，求實驗所用射線的波長。解： 【7.32】核糖核酸酶蛋白質晶體的晶體學數據如下：晶胞體積，晶胞中分子數6，晶體密度。如蛋白質在晶體中占68%（

20、質量），計算該蛋白質相對分子質量。解： 【7.33】晶體具有型結構，晶體密度為，的相對原子質量和的相對原子質量分別為40.08和32.06。試回答下列問題：（a） 指出衍射中哪些是允許的？（b） 計算晶胞參數；（c） 計算輻射的最小可觀測角。解：（a） NaCl型結構的點陣型式為面心立方，允許存在的衍射中三個數應為全奇或全偶，即111，200，220，222出現。（b） 為求晶胞參數，先求晶胞體積V： （c） 最小可觀測的衍射為111。 【7.34】微晶是乙烯，丙烯聚合催化劑的活性組分。用射線粉末法（線）測定其平均晶粒度時所得數據如下表所示，請有公式（）估算該微晶大小。0010.401.310

21、00.551.5解：利用求粒徑的公式得001衍射：弧度 100衍射：弧度 【7.35】冰為立方晶系晶體，晶胞參數，晶胞中含，括弧內為原子分數坐標（0，0，0；0，0，0.375；2/3，1/3，1/2；2/3，1/3，0.875），請根據此計算或說明：（a） 計算冰的密度；（b） 計算氫鍵鍵長；（c） 冰的點陣式是什么？結構單元包含哪些內容？解：（a） 密度 （b） 坐標為（0，0，0）和（0，0，0.375）的兩個O原子間的距離即為氫鍵鍵長r： （c）冰的點陣形式是簡單六方點陣（hP），整個晶胞包含的內容即4H2O為結構基元。【7.36】某晶體型衍射中系統消光，試說明在什么方向有什么樣的滑移

22、面？滑移量是多少？解：在和b軸（或y軸）垂直的方向有c滑移面，滑移量為c/2。【7.37】某金屬氧化物屬立方晶系，晶體密度為，用射線粉末法（線）測得各衍射線相應的衍射角分別為：，請根據此計算或說明：（a） 確定該金屬氧化物晶體的點陣型式；（b） 計算晶胞參數和一個晶胞中的結構基元數；（c） 計算金屬原子的相對原子質量。解：本題可仿照8.20，8.21，8.26題將數據處理列表如下：序號118.50.31730.100713111221.50.36650.13431.3344200331.20.51800.26842.6658220437.40.60740.36893.66311311539.40.63470.40294.00112222647.10.7325