1、名校名師推薦,714個(gè)填空題專項(xiàng)強(qiáng)化練（十五）A組一一題型分類練推理與證明題型一合情推理1.已知不等式1+7V5,i+7+da，i+z+w+ivn，照此規(guī)律總結(jié)出第4249349164n個(gè)不等1 2X211 1 2X311 11+了1+尹牙 <一，1+尹了n 個(gè)不等式為 1 +1 + 32+，+ n2-l口+ 12<式為解析：由已知，三個(gè)不等式可以寫成12X41一+42<,所以照此規(guī)律可得到第2n+112n+1n+1n+1.答案：1+22+32+,+n2+12n+1Z2VTn+1n+1-OA + | 7OA |/=0.2 .對(duì)于命題：若O是線段AB上一點(diǎn)，則有|"O

2、B|將它類比到平面的情形是:/，._，_-2_2_二若O是ABCrt一點(diǎn)，則有SaOBC'OA+aOCA'OB+SaOBAOC=0.將它類比到空間的情形應(yīng)該是：若O是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則有解析：將平面中的相關(guān)結(jié)論類比到空間，通常是將平面中的圖形的面積類比為空間中的幾何體的體積,因此依題意可知：若O為四面體ABC吶一點(diǎn)，則有Vobcd-7OA+VOacd-"OB+VoABD.OC+VoABC,"OD=0.答案:VoBCD,OA+WACDOB+VoABD一OC+VOABC一OD=03 .觀察下列等式：2+2=4,2X2=4;3+3=2,3X3=9;%4=奈4

3、X4=?1122223333根據(jù)這些等式反映的結(jié)果，可以得出一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的等式，這個(gè)等式可以表示為l 4 ,口 n+1n+1 n + n解析：由歸納推理得+(n+D=n-n+ 1xn+ 1)=n+1n+1*，所以得出結(jié)論n+1)-x(n+1)(nN)-答案：nn+(n+1)=nnx(n+1)( nC N*)4.已知圓的方程是 x2+y2=r2,則經(jīng)過圓上一點(diǎn) M（xo, y。）的切線方程為 xxc + yy0= r2.類比上述性質(zhì)，可以得到過橢圓 £+=1上一點(diǎn)P(x。，y。)的切線方程為解析：圓的性質(zhì)中，經(jīng)過圓上一點(diǎn)分別用Mx。，yo)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)替換.Mx。，y。)的切線

4、方程就是將圓的方程中的一個(gè)x與y故可得橢圓之+= 1類似的性質(zhì)為：過橢圓,十 a ba b=1上一點(diǎn)P(x。，y。)的切線方程為xxT ay0y 一b2=1.答案:x°xy°y了"b2題型二演繹推理1 .已知函數(shù)f(x)=x3+x,對(duì)于等差數(shù)列an滿足:f(a21)=2,f(a2一3)=2,Si是其前n項(xiàng)和，則S2。17=.解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3+x為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，又因?yàn)閒(a21)=2,f(a2。163)=2,則a21=(a2。163),即a2+a2。16=4,即a1+a2。17=4.則 S。17 =2。172(d+a2。17)=4。34.答案

5、：4Q342 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，分別在x軸與直線y=(x3+1)上從左向右依次取點(diǎn)A<,R,k=1,2,其中A是坐標(biāo)原點(diǎn)，使ABA+1都是等邊三角形，則46汜八1的邊長是.人，一一.一*,一.兀_一一一AkB解析：因?yàn)锳RR-1是一個(gè)內(nèi)角為右的直角三角形，易得AA=1,且右一=2,3AkBk1所以人也01的邊長是以AA=1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列的第1。項(xiàng)，所以66八”的邊長是1X29=512.答案：5123.如圖，在平面斜坐標(biāo)系xOy中，/xOy=0,平面上任意一點(diǎn)P/關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)這樣定義：若"OP=xedye2(其中ebe2分別是x軸，y軸正方向上

6、的單位向重),則點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(x,y),向重OP的斜坐標(biāo)為(x,y).給出以下結(jié)論：若0=6。°,R2,1),則|=市；若Rx1,y1),Q(x2,y2),則"OP+7OQ=(x1+x2,y1+y2)；若OP=(x1,y1),OQi=(x2,y2),則OP-OQ=x1x2+y1y2；若0=60°,以O(shè)為圓心、1為半徑的圓的斜坐標(biāo)方程為x2+y2+xy1=0.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.解析：對(duì)于，OP是兩鄰邊長分別為2,1,且一內(nèi)角為60。的平行四邊形較短的對(duì)角線，解三角形可知|"OP|=短，故正確；對(duì)于，若P(xi,yi),Qx2,y2),則"

7、;OP+-OQ=(xi+x2,yi+y2),故正確；對(duì)于，OP=(xi,yi),OQ=(x2,y2),所以O(shè)POQ=(xiei+yi/) , (xzei + yze)設(shè)圓O上任意一點(diǎn)為Rx因?yàn)閑i-e2*0,所以O(shè)P-OQwxix?+yiy2,故錯(cuò)誤；對(duì)于,y),因?yàn)镺P=i,所以(xei+ye2)2=i,所以x2+y2+xy-i=0故正確.故填答案：4.在 ABC43,已知AEB=2,ACBC=6,則tanC的最大值是解析：法一：以AB所在直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(-i,0),B(i,0).設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,y)(yr2,一.223cD所以c2y .

8、過 C作 CDL AB,垂足為D,所以tan/AC92y,tan / BCD)=；,所以 tan2yC= tan / ACB= tan( / ACID- / BCD =5 i"Z 一 "Z-2y2y當(dāng)且僅當(dāng)“ y = 4y,即y =乎”時(shí)取等號(hào)，所以tan C的最大值為平法二：設(shè) ABC勺內(nèi)角A,-2a2= 3c2,B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c,則c=2, b2-a2=6,所以2b2由余弦定理得,cos C=22222a2+b2-c2 3 ba2ab2ab5a2 + b2,56ab i 3 '故 tan C< 2±5.56 30且當(dāng) a=&

9、quot;2"，b=2-c=2 時(shí)，tan C=乎.所以tan C的最大值為2.55 .ACbC=6,得(x+i)+yxi+y=6,IPx=,答案:255題型三直接證明與間接證明1 .用反證法證明命題：若a+b+c為偶數(shù)，則“自然數(shù)a,b,c恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)應(yīng)反設(shè)為.解析：“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定是“自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)”.答案：自然數(shù)a,b,c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)2 .若0<a<1,0<b<1,且awb,則在a+b,2ab,a2+b2和2ab中最大的是.解析：因?yàn)?<a<1,0<b<1,且aw

10、b,所以a+b>2ab,a2+b2>2ab,a+b（a2+b2）=a（1一a）+b（1-b）>0,所以a+b最大.答案：a+bba3 .下列條件：ab>0,abv。，a>0,b>0,a<0,b<0,其中能使一+二2ab成立的條件的序號(hào)是解析：要使b+a>2,只需b>0且a>0成立，即a,b不為0且同號(hào)即可，故都abab八一ba,、能使-+->2成立.ab答案：4 .凸函數(shù)的性質(zhì)定理：如果函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意xi,»fXifX2fXnfXl+X2+,+Xn）右叱一X2,Xn,有&am

11、p;fi,已知函數(shù)y=sinx在nn，區(qū)間（0,兀）上是凸函數(shù)，則在ABC43,sinA+sinB+sinC的最大值為.A+ B+ C解析：因?yàn)閒（X）=sinX在區(qū)間（0,兀）上是凸函數(shù)，且A,B,CC（0,兀）.所以f A f B f C3登17tli兀3.32!=fyJ,即sinA+sinB+sinCw3sin-=所以sinA+sinB+sinC的最大值為答案：B組一一高考提速練1 .若P=，a+，a+7,QJ=.a+3+,a+4(an0),則P,Q的大小關(guān)系是.解析：因?yàn)镻2=2a+7+2/aa+7=2a+7+2&2+7a,Q2=2a+7+Ra+3a+4=2a+7+2a2+7a

12、+12,所以P2<Q,所以P<Q答案：P<Q2 .設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：a+b>2；a2+b2>2.其中能推出：“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件的是(填序號(hào)).解析：在中，假設(shè)a,b都不大于1,即awi,bwi,則a+bw2與題干a+b>2矛盾，故假設(shè)不成立，所以能推出："a,b中至少有一個(gè)大于1”.在中，若a=-2,b=-3,則a2+b2>2成立，故不能推出：“a,b中至少有一個(gè)大于1”.答案：3 .將正整數(shù)1,2,3,4，按如圖所示的方式排成三角形數(shù)組，則第104、行左數(shù)第10個(gè)數(shù)是.木次解析：由三角形數(shù)組可推斷出，第n行共

13、有2n-1項(xiàng)，且最后一項(xiàng)為卜小電n2,所以第10行共有19項(xiàng)，最后一項(xiàng)為100,故左數(shù)第10個(gè)數(shù)是91./"答案：91又xy>0,24.定義運(yùn)算：xy=例如：34=3,(2)4=4,則函數(shù)f(x)=x(2x|Y，xy<0,x2)的最大值為22X2,0<x<2,解析：由題意可得f(x)=x(2xx)=*222或<0當(dāng)0WxW2時(shí)，f(x)0,4;當(dāng)x>2或xv0時(shí)，f(x)C(oo,0).綜上可得函數(shù)f(x)的最大值為4.答案：45.已知點(diǎn)A(n,an)為函數(shù)y='x2+1圖象上的點(diǎn)，®(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點(diǎn)，其中nCN

14、,設(shè)Cn=an-bn,則Cn與Cn+1的大小關(guān)系為.-2-1解析：由題意知，2=府7,bn=n,所以cn=yjn+1n=q2=.顯然，cn隨著n的增大而減小，所以Cn>Cn+1.答案：Cn>Cn+1一，x6.已知：f(x)=-，設(shè)f1(x)=f(x),fn(x)=fn1fn1(x)(n>1且nCN),則通過1x計(jì)算分析，猜想fn(x)(nCN)的表達(dá)式為.解析：由f1(x)=f(x)和fn(x)=fn1fn1(x)(n>1且nCN*),得f2(x)=fif1(x)=x1 -xx1 2x=1T，f3(x) = f2f2(x) =2x- = i-22x,1 1 -1 1 -

15、x1 1-2xx，由此猜想fn=1T(n名校名師推薦,、x*答案：fn(x)=1_2n1x(nCN)7 .定義：如果一個(gè)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常，那么這個(gè)列叫作等差列，這個(gè)常叫作等差列的公差.已知向量列&是以ai=(1,3)為首項(xiàng)，公差,，一*Xiobn= ( xn , xn+ 1)( n 6為d=(1,0)的等差向量列，右向量an與非手向量bn=(xn,Xn+1)(nCN)垂直，則=解析：易知a=(1,3)+(n1,0)=(n,3),因?yàn)橄蛄縜n與非零向量* 一 一一N)垂直，所以xn+1xnnx10x2x3x4 x5x63,所以q=一二x4聯(lián)x7x8x9一

16、.一.一x6x7x8x1012大=c 3；x c 3113；x(_45(_6r_7(_8L91_e803J、3J、3J；3I、3J、3J、3廠243答案：4 4802438 .二維空間中，圓的一維測(cè)度(周長)1=2兀r,二維測(cè)度(面積)S=Ttr2;三維空間中，球的二維測(cè)度(表面積)S=4兀r2,三維測(cè)度(體積)V='兀3.應(yīng)用合情推理，若四維空間中，3“超球”的三維測(cè)度V=8兀3,則其四維測(cè)度VW=.解析：在二維空間中，圓的二維測(cè)度(面積)S=Ttr2,則其導(dǎo)數(shù)S'=2兀，即為圓的一維測(cè)度(周長)1=2兀r；在三維空間中，球的三維測(cè)度(體積)V=4兀r3,則其導(dǎo)數(shù)V=4兀r2

17、,3即為球的二維測(cè)度(表面積)S=4兀r2；應(yīng)用合情推理，若四維空間中，“超球”的三維測(cè)度V=8兀r3,則其四維測(cè)度W=2兀4.答案：2兀49 .大數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾經(jīng)這樣說過“數(shù)學(xué)本身賴以獲得真理的重要手段就是歸納和類比”.事實(shí)上，數(shù)學(xué)中的許多重要定理和猜想都是通過歸納總結(jié)出來的，如歐拉公式：觀察三棱錐、四棱錐、三棱柱、五棱柱等多面體，發(fā)現(xiàn)其頂點(diǎn)數(shù)V與面數(shù)F的和與棱數(shù)E相差2,即V+F-E=2,于是猜想任意凸多面體都具有這樣的性質(zhì)，后經(jīng)過嚴(yán)格證明確實(shí)如此.利用上述思想，觀察下列等式：1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49則第7個(gè)等式左端的和式的最后一個(gè)數(shù)

18、字、右端的結(jié)果分別是、.解析：由1,4,7,10知，第7個(gè)等式左端的和式的最后一個(gè)數(shù)字為1+6X3=19;由12,32,52,72知，第7個(gè)等式右端的結(jié)果為132=169.答案：1916910 .設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù))的導(dǎo)函數(shù)為f'(x).對(duì)任意xCR,不等式f(x)>f'(x)恒成立，則i工的最大值為a+c解析：=f(x)=ax2+bx+c,-fz(x)=2ax+b,對(duì)對(duì)任意xCR,不等式f(x)>(x)恒成立，ax2+bx+02ax+b恒成立，即ax2+(b2a)x+(cb)>0恒成立，故A=(b-2a)2-4a(c-b)

19、=b2+4a2-4ac<0,且a>0,即b2<4ac-4a2,，2一4ac4a>0,Oa>0,c.aQ0,b224ac 4a4Xc4aa2 + c244不2=2.2-2.(c-1)a當(dāng)且僅當(dāng)弓一1)=2時(shí)等號(hào)成立，故wbI的最大值為272-2.aa+c答案：22-211 .若數(shù)列an滿足：對(duì)任意的nCN*,只有有限個(gè)正整數(shù)mt彳導(dǎo)am<n成立，記這樣的m的個(gè)數(shù)為(an)*,則得到一個(gè)新數(shù)列(an)*.例如，若數(shù)列an是1,2,3,n,則數(shù)列(an)*是0,1,2，-n-1,已知對(duì)任意的nCN*,an=n2,則(a/=,(3)*)*=解析：因?yàn)閍m<5,

20、而an=n2,所以m=1,2,所以(as)=2.因?yàn)?a1)*=0,(a2)*=1,(a3)*=1,(a4)*=1,(a5)*=2,(a6)*=2,(既)*=2,(a8)*=2,(a9)*=2,(ai0)=3,(a*)=3,(a©=3,(ai3)=3,(a®=3,(ai5)=3,(ai6)=3,所以(ai)*)*=1,(a2)*)*=4,(a3)*)*=9,(a4)*)*=16,猜想(an)*)*=n2.答案：2n212 .如下圖所示的數(shù)陣中，第10行第2個(gè)數(shù)字是1112211134311114 7741工15 彳而不5解析：根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，找出每行第2個(gè)數(shù)字的規(guī)律為：從第 2行起，