1、.2-4 莫爾定理莫爾定理計算線彈性結構變形的一種非常有效的工具計算線彈性結構變形的一種非常有效的工具計算撓度的莫爾定理計算撓度的莫爾定理一定理：一定理：f 線位移 xM在原始載荷P1、P2、P3作用下，X截面彎矩。0=1 作用下，X截面的彎矩。其中：其中：lEIdxxMxM)()()(xM.圖七l 321PPP2EICfx圖八l2EIC0Px.v 在研究莫爾定理之前，首先應明確：在這一章中，我們將學習兩種能量方法：1，莫爾定理莫爾定理。2，卡氏定理卡氏定理。其中莫爾定理是今天這節課的內容。并且，在變形能變形能概念的基礎上來研究莫爾定理。v 對于圖六的情況：由于該梁是一橫力彎曲梁橫力彎曲梁，即

2、在橫截面上不僅有彎矩，而且還有剪力，因此在梁的變形中，彎矩不僅要產生影響，剪力也要產生影響，但當 4HL變形都是由于 于彎矩的影響來說是很小的， xM的影響而產生的。 時，剪力的影響相對故可略而不計，而近似地認為梁的.二二.定理證明：定理證明：1在原始載荷在原始載荷P1、P2、P3單獨作用下單獨作用下，梁內變形能U LZEIdxxMU22 2在在P0=1單獨作用下單獨作用下，梁內變形能U0 LZEIdxxMU2200 圖七l 321PPP2EICf圖八l2EIC0Px. 3. 采用先加P0 =1，然后再加然后再加P1、P2、P3.的加載方式時，梁內的變形能 1UP0作用下：作用下： dxEIx

3、MULZ2020 P1、P2、P3作用下：作用下： LZEIdxxMU22圖七l 321PPP2EICf0P.圖七l 321PPP2EICf圖八l2EICf0P1U圖九l2EI0M.v在產生在產生 f變形過程中，變形過程中，P0做功：做功： fP0轉變成變形能儲存于彈性體中轉變成變形能儲存于彈性體中，從而可求出梁內最終所儲存的總變形能總變形能 1U fEIdxxMdxEIxMfPUUULZLZ122202001 4. 采用將采用將P0、（、（P1、P2、P3）同時作用于梁上的加）同時作用于梁上的加載方式時載方式時X截面彎矩截面彎矩: xMxM0根據疊加原理根據疊加原理.v 在求在求U之前，應將

4、圖六和圖七進行比較，即可發現圖七實質之前，應將圖六和圖七進行比較，即可發現圖七實質上是圖六的計算簡圖，因此，此時上是圖六的計算簡圖，因此，此時梁內的變形能梁內的變形能仍應為：仍應為： LZEIdxxMU22v 在進行第二步計算之前應明確：在進行第二步計算之前應明確：彈性體內所儲存的變形能只彈性體內所儲存的變形能只與外力和位移的最終數值有關，而與加載方式無關與外力和位移的最終數值有關，而與加載方式無關；基于這個道；基于這個道理，在此分別研究梁在不同的加載方式作用情況下，變形能的情理，在此分別研究梁在不同的加載方式作用情況下，變形能的情況。況。v 此時應強調此時應強調P1、P2、P3對梁的作用效果

5、并不因預先在對梁的作用效果并不因預先在C點作點作用了單位載荷而有所改變，因此得出：由于用了單位載荷而有所改變，因此得出：由于P1、P2、P3的作用，的作用，C點產生的位移點產生的位移 f況下梁內的變形能。即況下梁內的變形能。即式。式。應等于應等于f；產生的變形能也應等于圖七情產生的變形能也應等于圖七情. dxEIxMxMdxEIxMdxEIxMdxEIxMxMULZLZLZLZ02202012224.根據變形能與加載方式無關的道理得：根據變形能與加載方式無關的道理得：11UU dxEIxMxMfLZ0計算撓度的莫爾定理計算撓度的莫爾定理 5.推論：同樣的道理，如果我們要求截面的轉角，也只需在C

6、截面上施加一個單位力偶，用上述同樣的方法可求出： . dxEIxMxMLZc0計算轉角的莫爾定理計算轉角的莫爾定理三三.總結：總結：1.莫爾定理莫爾定理單位力法2.適用范圍適用范圍線彈性結構四四.應用舉例：應用舉例：例例1：如圖所示：簡支梁AB，跨長為L，抗彎剛度為 ZEI。其上受均布載荷作用，載荷集度為q，試求出梁跨中點C的撓度 cf及端面B的轉角 B1U圖九l2EI0MCx.qlARxBRl2EIC2/ 110Px2/ 1l2EI10ML/ 1L/ 1zEIC?Bcf、.解：解：一一求支反力求支反力RA，RB由對稱性：由對稱性： 2qlRRBA二二求求 cf及及 B 22222qxqxlq

7、xxRxMA xxM21020lx lxxM0ZlZLZcEIqldxEIxMxMdxEIxMxMf3845242000. ZlZLZBEIqldxEIxMxMdxEIxMxM24232000v 在材料力學中，由于每一個具體的問題都要涉及到一定結構在材料力學中，由于每一個具體的問題都要涉及到一定結構的的具體圖形具體圖形，因此，在接到問題，因此，在接到問題，了解了已知條件和要求解的了解了已知條件和要求解的問問題之后題之后，緊接著應該來，緊接著應該來分析圖形分析圖形的結構性質。很顯然，圖十為一的結構性質。很顯然，圖十為一對稱結構對稱結構。v 對于對于對稱結構對稱結構，在求其某一具體物理量的數值時，

8、只需取其，在求其某一具體物理量的數值時，只需取其一個對稱部分來進行計算，其結果再乘以對稱部分的個數即可。一個對稱部分來進行計算，其結果再乘以對稱部分的個數即可。如圖十，如圖十，可沿梁可沿梁中截面將梁分為兩個對稱部分中截面將梁分為兩個對稱部分，因此，因此 cf及及 B可寫成左邊的形式。可寫成左邊的形式。.例題總結：例題總結： 1.從莫爾定理的證明過程及例題的分析過程中，可以看出從莫爾定理的證明過程及例題的分析過程中，可以看出莫爾莫爾定理實質上就是單位載荷法定理實質上就是單位載荷法。若要求某一點的線位移，只需在。若要求某一點的線位移，只需在該該點上沿著線位移的方向作用一單位集中力就行了點上沿著線位

9、移的方向作用一單位集中力就行了。若要求解若要求解一截一截面的轉角面的轉角，也只需在該截面上作用一單位力偶就行了。，也只需在該截面上作用一單位力偶就行了。2 ZcEIqlf38454ZBEIql243中的正負號所表示的含義：中的正負號所表示的含義： “+”表示位移的實際方向同假設的單位載荷的方向一致。表示位移的實際方向同假設的單位載荷的方向一致。“-”表示位移的實際方向同假設的單位載荷的方向相反。表示位移的實際方向同假設的單位載荷的方向相反。中的中的 v 為了區別為了區別 cf及及 B xM0，在在 B中的中的 xM0改寫改寫 xM0的形式。的形式。 成成. 為了表示出這兩種含義，最后在求出的數

10、值后面應用符號為了表示出這兩種含義，最后在求出的數值后面應用符號標明實際位移方向。標明實際位移方向。注意：注意： 上述內容為一節課（上述內容為一節課（50分鐘）內容。整個板面應控制在兩個分鐘）內容。整個板面應控制在兩個板面左右，以提高板面左右，以提高“講講”的效果。的效果。五五.莫爾定理在平面曲桿的應用：莫爾定理在平面曲桿的應用： 對于橫截面高度遠對于橫截面高度遠小于軸線曲率半徑的平面曲桿小于軸線曲率半徑的平面曲桿，其，其彎曲正彎曲正應力應力分布規律接近于直梁，如再省略軸力和剪力的影響，可將計分布規律接近于直梁，如再省略軸力和剪力的影響，可將計算直梁變形的莫爾定理推廣應用于這類曲桿算直梁變形的莫爾定理推廣應用于這類曲桿撓度和轉角的近似撓度和轉角的近似計算公式計算公式： dsEIsMsMfSZ0 dsEIsMsMS0（10-12）.式中式中：S 代表曲桿軸線的弧長代表曲桿軸線的弧長 sM 載荷作用下，曲桿橫截面上的彎矩載荷作用下，曲桿橫截面上的彎矩 sM0 單位力或力偶作用，曲桿橫截面上的彎矩單位力或力偶作用，曲桿橫截面上的彎矩 （計算桁架中某一點位移的莫爾定理的推導做為課外作業，（計算桁架中某一點位移的莫爾定理的推導做為課外作業，請大家課后將它推導出來）請大家課后將它推導出來）目錄目錄.例13.1