1、1第三節第三節 格林公式及其應用格林公式及其應用 小結小結 思考題思考題 作業作業格林格林(Green)公式公式平面上曲線積分與路徑無關的平面上曲線積分與路徑無關的條件條件二元函數的全微分求積二元函數的全微分求積格林格林 Green.G. (17931841) 英國數學家、物理學家英國數學家、物理學家第十章第十章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分2DD1. 區域連通性的分類區域連通性的分類 設設D為平面區域為平面區域, ,復連通區域復連通區域單連通區域單連通區域一、格林公式一、格林公式否則稱為否則稱為則稱則稱D為平面為平面復連通區域復連通區域. .成的部分都屬于成的部分都屬于D,如果如果D

2、內任一閉曲線所圍內任一閉曲線所圍單連通區域單連通區域, ,格林公式及其應用格林公式及其應用3格林定理格林定理( (定理定理1)1) 設設閉區域閉區域D由分段光滑的由分段光滑的曲線曲線L圍成圍成, , LDyQxPyxyPxQdddd)()1(),(),(yxQyxP及及函函數數在在D上具有上具有一階連續偏導數一階連續偏導數, ,則有則有2. 格林公式格林公式公式公式(1)稱稱其中其中L是是 D的取的取正向正向的邊界曲線的邊界曲線.格林公式格林公式. .格林公式及其應用格林公式及其應用4DLl當觀察者沿邊界行走時當觀察者沿邊界行走時, ,(1) P、Q在閉區域在閉區域D上一階偏導數的連續性上一階

3、偏導數的連續性; (2) 曲線曲線L是封閉的是封閉的, ,并且取正向并且取正向. .注注規定規定 邊界曲線邊界曲線L的的正向正向區域區域D總在他的總在他的左邊左邊. .格林公式及其應用格林公式及其應用xyODL5),()(),(21bxaxyxyxD ),()(),(21dycyxyyxD (1)先對簡單區域證明先對簡單區域證明:證明證明 LDyQxPyxyPxQdddd)(若區域若區域D既是既是型型 X又是又是型型 Y即平行于坐標軸的直線即平行于坐標軸的直線和和L至多交于兩點至多交于兩點.格林公式及其應用格林公式及其應用xyOabdcD)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx

4、6D)(2yx )(1yx DyxxQdd dcyyyQd),(2 CBEyyxQd),(同理可證同理可證 LDxyxPyxyPd),(dd dcyd dcyyyQd),(1 LDyQxPyxyPxQdddd)( yyxQd),( EACyyxQd),( dcyyyyxQd),()()(21 xxQyyd)()(21 CBECAE yyxQd),( LDyQxPyxyPxQdddd)( LyyxQd),(格林公式及其應用格林公式及其應用xyOdcABCE7DL(2) 再對一般區域證明再對一般區域證明: :1L1D2D3D DyxyPxQdd)(積分區域的可加性積分區域的可加性 若區域若區域D由

5、按段光由按段光(如圖如圖)將將D分成三個既是分成三個既是型型 X又是又是型型 Y的區域的區域,1D yxyPxQdd)(2L3L321DDD ,2D.3D格林公式及其應用格林公式及其應用滑的閉曲線圍成滑的閉曲線圍成.8 LyQxPdd),(32, 1來說為正方向來說為正方向對對DLLL DyxyPxQdd)( 321dd)(DDDyxyPxQ yxyPxQdd)( yxyPxQdd)( yQxPdd yQxPdd LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式及其應用格林公式及其應用 yxyPxQdd)(1D2D3D yQxPdd1L2L3LDL1L2L3L1D2D3D91L2L3L(3) 對復

6、連通區域證明對復連通區域證明: :由由(2)知知 DyxyPxQdd)( 3L)0, 0( CEECABBA 若區域不止由一條閉曲線若區域不止由一條閉曲線添加直線段添加直線段,AB.CE則則D的邊界曲線由的邊界曲線由,AB,2L,BA,AFC,CE,3LECCGA及及構成構成.格林公式及其應用格林公式及其應用 LyQxPdd ),(32, 1來說為正方向來說為正方向對對DLLL所圍成所圍成. . AB 2L BA AFC CE)dd(yQxP EC CGA)dd(yQxP 2L( 3L 1L)對復連通區域對復連通區域D,格林公式格林公式且邊界的方向對區且邊界的方向對區的曲線積分的曲線積分,右端

7、應包括沿區域右端應包括沿區域D的的全部邊界全部邊界域域D來說都是正向來說都是正向.GFDCEAB10 便于記憶形式便于記憶形式: LDyQxPyxQPyxdddd格林公式的實質格林公式的實質之間的聯系之間的聯系.溝通了沿閉曲線的積分與溝通了沿閉曲線的積分與二重積分二重積分 LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式及其應用格林公式及其應用11 Lxyyxdd(1) 計算平面面積計算平面面積3. 簡單應用簡單應用 LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式格林公式 LxyyxAdd21y x得得 Dyxdd2閉區域閉區域D的的面積面積格林公式及其應用格林公式及其應用12Oxy 例例 求橢圓求

8、橢圓解解由公式由公式得得tttabAd)sin(cos212202 ab D 20 ,sin,cos ttbytax所圍成的面積所圍成的面積.格林公式及其應用格林公式及其應用 LxyyxAdd21132.1(2) 簡化曲線積分簡化曲線積分例例 LyyyyxexyxeI,d)2(d3計算計算其中其中L為圓周為圓周xyx222 解解,yeP yxexyQy23 ,yeyP yeyxQ 33yyPxQ 由由格林公式格林公式有有 LDyQxPyxyPxQdddd)( I對稱性對稱性的的正向正向.Oxy格林公式及其應用格林公式及其應用 yxyDdd3014對對平面閉曲線平面閉曲線上的對坐標曲線積分上的對

9、坐標曲線積分,yPxQ 當當比較簡單時比較簡單時, ,常常考慮通過常常考慮通過格林格林公式公式化為化為二重積分二重積分來計算來計算. .格林公式及其應用格林公式及其應用15例例 計算計算 ,d)cos(d)sin(ymyexmyyexAOx .22axyx 分析分析但由但由myeQx cos xQ yP可知可知 yPxQ非常簡單非常簡單.)0 ,(aA)0 , 0(Om,cos yexmyex cos,sinmyyePx 其中其中AO是從點是從點的上半圓周的上半圓周到點到點此積分路徑此積分路徑AO不是閉曲線不是閉曲線! !格林公式及其應用格林公式及其應用Oxy( ,0)A a16Oxy為應用為

10、應用格林公式格林公式再補充一段曲線再補充一段曲線,因在補充的曲線上還要算曲線積分因在補充的曲線上還要算曲線積分,補充的曲線要簡單補充的曲線要簡單,使之構成使之構成閉曲線閉曲線.所以所以因而這里補加直線段因而這里補加直線段直線段直線段.通常是補充與坐標軸平行的通常是補充與坐標軸平行的 L不閉合不閉合+邊邊L,使使L+ L閉合閉合,再用再用格林公式格林公式.格林公式及其應用格林公式及其應用由由格林公式格林公式 Dyxmdd ymyexmyyexOAAOxd)cos(d)sin( 281am 解解.OAaxy 0, 0OA的方程為的方程為 ax0d0故故0所以所以, I.812am 0812am A

11、O OA OA000myPxQ (sin)d(cos)dxxOAeymyxeymy( ,0)A a170(3) 簡化二重積分簡化二重積分則則 yPxQ解解 令令, 0 P2yxeQ 例例為頂點的三角形閉區域為頂點的三角形閉區域. Dyyxe,dd2計算計算是是其中其中D)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(BAO以以 LDyQxPyxyPxQdddd)(格林公式格林公式 Dyyxedd2 BOABOAyyxed2 OAyyxed2 AByyxed2 BOyyxed22ye 格林公式及其應用格林公式及其應用)1(211 e 10d2xxex0 0 0Oxy11ABD181987年研究生考

12、題年研究生考題,填空填空(3分分)則曲線積分則曲線積分為取正向的圓周為取正向的圓周設設, 922 yxL Lyxxxyxy).(d)4(d)22(2 18 解解,22yxyP 設設xxQ42 由格林公式由格林公式42 xxQ, 22 xyP Lyxxxyxyd)4(d)22(2 Dyxxxdd)2242( Dyxdd2 18 格林公式及其應用格林公式及其應用19解解記記L所圍成的閉區域為所圍成的閉區域為D,其中其中L為一條無重點為一條無重點,分段光滑且分段光滑且不經過原點不經過原點的連續閉曲線的連續閉曲線,L的方向為逆時針方向的方向為逆時針方向.例例 Lyxxyyx,dd22計算計算令令,22

13、yxyP 22yxxQ 時，時，則當則當022 yx有有 xQyP 22222)(yxxy 格林公式及其應用格林公式及其應用20L Lyxxyyx22dd即即L為為不包圍原點不包圍原點的任一閉曲線的任一閉曲線.即即L為為包圍原點包圍原點在內的任一在內的任一閉曲線閉曲線.由格林公式由格林公式時，時，當當D )0 , 0()1(時，時，當當D )0 , 0()2(應用由應用由格林公式格林公式,得得 LDyQxPyxyPxQdddd)(0yPxQ 作位于作位于D內圓周內圓周222:ryxl ,1所圍成所圍成和和由由記記lLD格林公式及其應用格林公式及其應用DLxyOD1DrlxyO21 Lyxxyy

14、x22dd 2022222dsincosrrr Lyxxyyx22dd 2 注意格林公式的條件注意格林公式的條件yxyPxQdd 00 lyxxyyx22dd sincosryrx1DyPxQ lyxxyyx22dd222:ryxl 格林公式及其應用格林公式及其應用其中其中l 的方向取的方向取逆時針方向逆時針方向L1DrlxyO22練習練習計算計算.d)(d)3( LxyxyyxL L是圓周是圓周: :如把如把圓周寫成參數方程圓周寫成參數方程: :,cos31 x再將線積分化為定積分計算再將線積分化為定積分計算,用用格林公式格林公式易求易求.答案答案: : 18分析分析 sin34 y)20(

15、 則過程較麻煩則過程較麻煩.格林公式及其應用格林公式及其應用22(1)(4)9xy23Oxy 0sindyeyD 格林公式及其應用格林公式及其應用2003年研究生考題年研究生考題(數學一數學一)(10分分)已知平面區域已知平面區域,0 ,0),( yxyxDL為為D的正向邊界的正向邊界.試證試證:;dddd)1(sinsinsinsin LxyLxyxyeyxexyeyxe.2dd)2(2sinsin Lxyxyeyxe證證左邊左邊 =L 0sindyey,)d(0sinsin xeexx右邊右邊 = 0sind xex,)d(0sinsin xeexx法一法一 0sind xexxxxx(1

16、) 2sinsin xxee LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin24.2dd)2(2sinsin Lxyxyeyxe 0sinsin)d(xeexx格林公式及其應用格林公式及其應用2003年研究生考題年研究生考題(數學一數學一)(10分分)已知平面區域已知平面區域,0 ,0),( yxyxDL為為D的正向邊界的正向邊界.試證試證:;dddd)1(sinsinsinsin LxyLxyxyeyxexyeyxe證證(2) 由于由于, 2sinsin xxee故由故由(1)得得 Lxyxyeyxeddsinsin .22 25格林公式及其應用格林公式及其應用2003

17、年研究生考題年研究生考題(數學一數學一)(10分分)已知平面區域已知平面區域,0 ,0),( yxyxDL為為D的正向邊界的正向邊界.試證試證:;dddd)1(sinsinsinsin LxyLxyxyeyxexyeyxe.2dd)2(2sinsin Lxyxyeyxe證證 法二法二 (1) 根據根據格林公式格林公式,得得左邊左邊 =右邊右邊 =,d)(sinsin xDyee ,d)(sinsin xDyee 因為因為D關于關于xy 對稱對稱,所以所以 d)(sinsinxDyee d)(sinsinxDyee LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsinOxyD L

18、 LDyQxPyxyPxQdddd)( , )d( , )dDDf x yf y x26.2dd)2(2sinsin Lxyxyeyxe格林公式及其應用格林公式及其應用2003年研究生考題年研究生考題(數學一數學一)(10分分)已知平面區域已知平面區域,0 ,0),( yxyxDL為為D的正向邊界的正向邊界.試證試證:;dddd)1(sinsinsinsin LxyLxyxyeyxexyeyxe證證 法二法二由由(1)知知 Lxyxyeyxeddsinsin d)(sinsinxDyee d)(sinsinxDxee d2 D.22 Lxyxyeyxeddsinsin d)(sinsinxDy

19、ee d)(sinsinxDyee Lxyxyeyxeddsinsin+( , )d( , )dDDf x yf y x27G 1ddLyQxP 2ddLyQxPB如果在區域如果在區域G內有內有二、平面上曲線積分與路徑無關二、平面上曲線積分與路徑無關的條件的條件AL1L21. 平面上曲線積分與路徑無關的定義平面上曲線積分與路徑無關的定義否則與路徑有關否則與路徑有關.格林公式及其應用格林公式及其應用則稱曲線積分則稱曲線積分 LyQxPdd在在G內內與路徑無關與路徑無關, ,xyO28定理定理2 2設開區域設開區域G是一個單連通域是一個單連通域,xQyP 在在G內恒成立內恒成立.函數函數P(x,y

20、),Q(x,y)在在G內具有一階連續偏導數內具有一階連續偏導數,則則曲線積分曲線積分 LyQxPdd在在G內與路徑無關內與路徑無關(或沿或沿G內任意閉內任意閉曲線的曲線積分為零曲線的曲線積分為零)的的充要條件充要條件是是2. .平面上曲線積分與路徑無關的條件平面上曲線積分與路徑無關的條件格林公式及其應用格林公式及其應用兩條件缺一不可兩條件缺一不可29三、二元函數的全微分求積二元函數的全微分求積考慮表達式考慮表達式如果存在一個函數如果存在一個函數yyxQxyxPd),(d),( ),(yxu使得使得 ),(dyxu則稱則稱yyxQxyxPd),(d),( 并將并將的一個的一個稱為稱為yyxQxy

21、xPyxuud),(d),(),( yyxQxyxPd),(d),( 全微分式全微分式, ,為一為一原函數原函數. .格林公式及其應用格林公式及其應用30 由由例例,ddd2xxyyxxy .ddd2yyxxyyx 可知可知:,dd2xxyyx 2ddyyxxy 都是都是分別是上面的分別是上面的,xy,xyyxyxxyxydd)(d ,ddyxxy 原函數原函數. .全微分式全微分式. .格林公式及其應用格林公式及其應用31定理定理3 3設開區域設開區域G是一個是一個單連通域單連通域, 函數函數P(x,y),Q(x,y) 在在G內具有一階連續偏導數內具有一階連續偏導數,則則xQyP 下面說明一

22、般怎樣下面說明一般怎樣yyxQxyxPd),(d),( ),(yxu在在G內恒成立內恒成立.格林公式及其應用格林公式及其應用在在G內為某一函數內為某一函數的全微分的的全微分的充要條件充要條件是等式是等式求原函數求原函數 判斷全微分式判斷全微分式32必要性必要性. . xu yxu2 xyu2由設由設P、Q的偏導數連續的偏導數連續,因而因而 yxu2.2xyu 即即.xQyP 設存在某一函數設存在某一函數 yu證證于是于是連續連續.,2yxu xyu 2所以所以yyxQxyxPyxud),(d),(),(d ),(yxu使得使得,yP xQ ),(yxP),(yxQxQyP 格林公式及其應用格林

23、公式及其應用33充分性充分性. . 設已知條件設已知條件 xQyP 由由定理定理2可知可知:.d),(d),( yyxQxyxP當起點當起點M0(x0,y0)固定時固定時,.d),(d),(),(),(),(00 yxyxyyxQxyxPyxu格林公式及其應用格林公式及其應用在在G內恒成立內恒成立.則則于是把曲線積分寫作于是把曲線積分寫作:上述積分上述積分x, y的函數的函數, 記為記為即即 ),(yxu),(yxu),(yx),(00yx曲線積分在區域曲線積分在區域G內與路徑無關內與路徑無關.M(x,y).起點為起點為M0(x0,y0), 終點為終點為M(x,y)的的此積分的值取決于終點此積

24、分的值取決于終點34 下面證明函數下面證明函數u(x,y)的全微分就是的全微分就是:因為因為P(x,y),Q(x,y)都是都是因此只要證明因此只要證明).,(),(yxQyuyxPxu (1) 偏導數定義偏導數定義,(3) 積分中值定理積分中值定理.(2) 曲線積分與路徑無關曲線積分與路徑無關,其中用到下面的知識點其中用到下面的知識點:格林公式及其應用格林公式及其應用.d),(d),(yyxQxyxP 連續的連續的.35xQyP 若若 ),(),(1100d),(d),(yxByxAyyxQxyxPxyxPxxd),(100 ),(01yxC ),(11yxB yyxQyyd),(100 D(

25、x0 , y1)yyxQyyd),(101 xyxPxxd),(101 或或 ),(),(1100d),(d),(yxByxAyyxQxyxP則則格林公式及其應用格林公式及其應用Oxy),(00yxA 36例例問問 是否為全微分式是否為全微分式?yyxexxeyyd)2(d)( 用曲線積分求其一個原函數用曲線積分求其一個原函數.如是如是,解解在全平面成立在全平面成立.xQeyPy 所以上式是所以上式是全微分式全微分式. 222yxexy 因而一個原函數是：因而一個原函數是：全平面為單連通域，全平面為單連通域，yyxexxeyxuyyxyd)2(d )(),(),()0 , 0( yyxeyyd

26、 )2(0 xxexd )(00 xyO格林公式及其應用格林公式及其應用法一法一 )0 ,(x(x,y)37這個原函數也可用下法這個原函數也可用下法“分組分組”湊出湊出: 222dyxxey222),(yxexyxuy yyxexxeyyd)2(d)( )dd(yxexeyy )(dyxe )d2d(yyxx 222dyx),(yxu格林公式及其應用格林公式及其應用法二法二38因為函數因為函數u滿足滿足Pxexuy 故故yy2)( 從而從而所以所以,Cyxxeyxuy 222),(問問 是否為全微分式是否為全微分式?yyxexxeyyd)2(d)( 用曲線積分求其一個原函數用曲線積分求其一個原

27、函數.如是如是, xxeuyd )(22xxey )(y 由此得由此得yxey2 y的待定函數的待定函數格林公式及其應用格林公式及其應用法三法三( )yue xyy2( )2 dyy yyC 39xyO 解解1523 原式原式=yyxxxyxd)(d)2(422 102dxxyy d )1(104 xyxxxQ2)(42 xxyxyyP2)2(2 原積分與路徑無關原積分與路徑無關.例例 Lyyxxxyx.d)(d)2(422計算計算為為其中其中L.2sin)1 , 1()0 , 0(xyBO 的曲線弧的曲線弧到點到點由點由點xQyP )0 , 0()1 , 1()1 , 1(B )0 , 1(

28、格林公式及其應用格林公式及其應用40解解,2)(2xyxyyyP )()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP )(),(xyyxQ xQyP 積分與路徑無關積分與路徑無關 1989年研究生考題年研究生考題, 計算計算,5分分設曲線積分設曲線積分與路徑無關與路徑無關,yxyxxyLd)(d2 具有連續的導數具有連續的導數, 其中其中, 0)0( 且且 )1 , 1()0,0(2.d)(dyxyxxy 計算計算例例即即格林公式及其應用格林公式及其應用( )2yxxy41xyO 10d0 x21 (1,0) 10dyyxyxy2)( 由由Cxx 2)( 0 C知知2)(xx )1 , 1( 法一法

29、一設曲線積分設曲線積分與路徑無關與路徑無關,yxyxxyLd)(d2 具有連續的導數具有連續的導數, 其中其中, 0)0( 且且 )1 , 1()0,0(2.d)(dyxyxxy 計算計算 )1 , 1()0,0(2d)(dyxyxxy , 0)0( 由由格林公式及其應用格林公式及其應用 )1 , 1()0,0(22ddyyxxxy42xyO法二法二)1 , 1( )1 , 1()0,0(2d)(dyxyxxy )1 , 0( 10d0 yy 102d1xx0 1022x 21 格林公式及其應用格林公式及其應用設曲線積分設曲線積分與路徑無關與路徑無關,yxyxxyLd)(d2 具有連續的導數具

30、有連續的導數, 其中其中, 0)0( 且且 )1 , 1()0,0(2.d)(dyxyxxy 計算計算 )1 , 1()0,0(22ddyyxxxy43格林公式及其應用格林公式及其應用 2002研究生考題研究生考題(數學一數學一) 8分分),()(在在設函數設函數xf內具有一階連續導數內具有一階連續導數, ,L是上半平面是上半平面 (y 0)內的有向分段光滑曲線內的有向分段光滑曲線, ,其起點為其起點為(a, b),終點為終點為(c, d).,d1)(d)(11222yxyfyyxxxyfyyIL 記記(1) 證明證明曲線積分曲線積分I 與路徑與路徑L無關無關;(2) 當當ab = cd 時時

31、,求求I 的值的值.證證 )(112xyfyyyyP 因為因為 1)(22 xyfyyxxxQ)(1)(2xyfxyyxyf 所以在上半平面內所以在上半平面內曲線積分曲線積分I 與路徑與路徑L無關無關.(1)44badc 格林公式及其應用格林公式及其應用解解(2)由于由于曲線積分曲線積分I 與路徑與路徑L無關無關,yxyfyyxxxyfyyILd1)(d)(11222 L是上半平面是上半平面 (y 0)內的有向分段光滑曲線內的有向分段光滑曲線, ,起點起點(a, b),終點終點(c, d).),(dc 所以所以xbxfbbIcad)(112 ycyfyycdbd1)(22 xbxbfbacca

32、d)( bcdcycyfcdb d)(ttfttfbadccdbcbcabd)(d)( (2) 當當ab = cd 時時,求求I 的值的值.0tt法一法一xyO( , )a b( , )c b45格林公式及其應用格林公式及其應用解解(2)yxyfyyxxxyfyyILd1)(d)(11222 L是上半平面是上半平面 (y 0)內的有向分段光滑曲線內的有向分段光滑曲線, ,起點起點(a, b),終點終點(c, d).(2) 當當ab = cd 時時,求求I 的值的值.法二法二 I,d)(d)(yxyxfxxyyfL 2ddyyxyxLbadc 2ddyyxyxL 設設F(x)為為f(x)的一個原函數的一個原函數,則則)d()(d)(d)(xyxyfyxyxfxxyyfLL )()(a