1、1冪級數的運算冪級數的運算小結小結 思考題思考題 作業作業power series第三節第三節 冪冪 級級 數數冪級數及其收斂性冪級數及其收斂性函數項級數的概念函數項級數的概念 第十一章第十一章 無窮級數無窮級數21. .定義定義 0nnx級數級數 )(1xunn如如)(,)(),(21xuxuxun設設則則函數項級數函數項級數. . )()()(21xuxuxun 21xx定義定義1 1冪冪 級級 數數一、函數項級數的概念一、函數項級數的概念為定義在為定義在(a, b)內內的函數序列的函數序列,稱為定義在稱為定義在(a, b)內的內的32. .收斂點與收斂域收斂點與收斂域),(0bax 設設

2、若數項級數若數項級數0 x收斂收斂(或發散或發散) 則稱則稱x0為函數項級數為函數項級數)(1xunn 的收斂點的收斂點(或發散點或發散點). 函數項級數函數項級數的的)(1xunn 所有所有收斂點收斂點(或發散點或發散點) 稱為其稱為其收斂域收斂域 (或發或發)(1 nnu定義定義2 2散域散域).冪冪 級級 數數43. .和函數和函數定義定義3 3)(xsn設設為函數項級數為函數項級數),()(limxsxsnn則則s(x)稱為函數項級數稱為函數項級數和函數和函數. .)(1xunn 的前的前n項和序列項和序列, 若極限若極限),(bax 存在存在,的的)(1xunn 冪冪 級級 數數如如

3、, , 201xxxnn它的收斂域為它的收斂域為, 1| x發散域為發散域為. 1| x等比級數等比級數在在收斂域內收斂域內和函數和函數是是,11x 即有即有,111xxnn ).1 , 1( x5)()(limxsxsnn 函數項級數的部分和函數項級數的部分和余項余項)()()(xsxsxrnn (x在收斂域上在收斂域上)0)(lim xrnn注注函數項級數在某點函數項級數在某點x的收斂問題的收斂問題,實質上是實質上是 )(xs定義域定義域),(xsn顯然顯然s(x) 的的定義域定義域就是就是,)1 , 1(上上 D 201xxxnn), 1()1 ,( )()()(21xuxuxun級數的

4、級數的收斂域收斂域.數項級數數項級數 的收斂問題的收斂問題.冪冪 級級 數數一般考慮函數一般考慮函數,11時時x 它的定義域是它的定義域是但只有在但只有在它才是它才是的和函數的和函數.6例例nxnnn311)1( 解解 由由比值比值(達朗貝爾達朗貝爾)判別法判別法nnnuu1lim 3x 31limxnnn(1) 當當 時時,1 x原級數原級數(2) 當當 時時,1 x原級數原級數nxnxnnn3331lim 絕對收斂絕對收斂;發散發散.求函數項級數的求函數項級數的收斂域收斂域.冪冪 級級 數數7級數為級數為,1)1(11nnn 條件收斂條件收斂級數為級數為,11 nn發散發散總之總之,所討論

5、的級數的所討論的級數的收斂域收斂域為區間為區間 把函數項級數中的變量把函數項級數中的變量x視為參數視為參數,時時，即即1, 1 xx時時，1 x時時，1 x(3) 1 x當當通過常數通過常數項級數的斂散性判別法項級數的斂散性判別法,哪些哪些 x 值發散值發散,些些 x 值收斂值收斂,來判定函數項級數對哪來判定函數項級數對哪這是確定函數項級數這是確定函數項級數收斂域的基本方法收斂域的基本方法.nxnnn311)1( .1 , 1( 冪冪 級級 數數81.1.定義定義,00時時當當 x,0nnnxa 如下形式的函數項級數如下形式的函數項級數nnnxxa)(00 稱為稱為的的冪級數冪級數. .為常數

6、為常數其中其中na的的冪級數冪級數. .定義定義)(0 xx nnnxxa)(00 稱為稱為x nnxxaxxaa)()(0010冪冪 級級 數數二、二、冪級數及冪級數及其收斂性其收斂性92. .收斂半徑和收斂域收斂半徑和收斂域 201xxxnn,1|時時當當 x,1|時時當當 x級數級數);1 , 1( )., 11,( 冪冪 級級 數數收斂收斂;發散發散;收斂域收斂域發散域發散域10證證0lim0 nnnxa收斂收斂 00)1(nnnxa阿貝爾阿貝爾 (Abel)(挪威挪威) 18021829nnnxa 0nnnxa 0|0 xx 定理定理1 1 (阿貝爾阿貝爾(Abel)定理定理)0(0

7、0 xxx在在|0 xx 處處在在0 xx 則它在滿足則它在滿足不等式不等式絕對收斂絕對收斂;發散發散.收斂收斂,發散發散,冪冪 級級 數數如果級數如果級數則它在滿足不等式則它在滿足不等式的一切的一切x處處如果級數如果級數的一切的一切x處處從而數列從而數列0nnxa有界有界, 即有常數即有常數 M 0,使得使得0|(0,1,2,)nna xMn11nnxannnxxxa00 nxxM0 ,10時時當當 xx,00收收斂斂等等比比級級數數nnxxM ,0收收斂斂 nnnxa 0nnnxa即即級級數數nnnnxxxa00 |0 xx ;|)|(|0絕絕對對收收斂斂xx 冪冪 級級 數數0(2),x

8、x定理所設當時發散由由(1)結論結論,這與定理所設矛盾這與定理所設矛盾.使級數收斂使級數收斂,則級數則級數時應收斂時應收斂,0 xx 當當(反證反證)假設有一點假設有一點x1適合適合|01xx |0 xx 0|(0,1,2,)nna xMn12Ox 推論推論nnnxa 1也不是在整個數軸上都收斂也不是在整個數軸上都收斂,則必有一個完全確則必有一個完全確冪級數冪級數 絕對收斂絕對收斂;,|時時當當Rx ,|時時當當Rx 冪級數冪級數 發散發散.冪級數冪級數,時時與與當當RxRx 可能收斂也可能發散可能收斂也可能發散. .冪冪 級級 數數幾何說明幾何說明R R收斂區域收斂區域發散區域發散區域發散區

9、域發散區域如果冪級數如果冪級數不是僅在不是僅在x = 0一點收斂一點收斂,定的正數定的正數R存在存在,它具有下列性質它具有下列性質:13正數正數R稱為冪級數的稱為冪級數的冪級數的冪級數的收斂域的開區間收斂域的開區間稱為冪級數的稱為冪級數的),RR ,(RR .,RR 規定規定, R問問: :如何求冪級數的收斂半徑如何求冪級數的收斂半徑?),(RR 定義定義收斂半徑收斂半徑. .收斂區間收斂區間. .冪冪 級級 數數(1)冪級數只冪級數只在在x = 0處收斂處收斂, 0 R無收斂區間，收斂域為無收斂區間，收斂域為; 0 x(2)冪級數對一切冪級數對一切 x 都都收斂收斂,收斂區間收斂區間).,(

10、 而一般冪級數的而一般冪級數的收斂域可能為下列區間之一：收斂域可能為下列區間之一：14證證,0 nnnxa對對級級數數nnnnnxaxa11lim xaannn1lim x 設設,0)1(時時當當 ,0)2(時時當當 ,)3(時時當當 ;1 R; R. 0 R定理定理2 2nnnxa 0如果冪級數如果冪級數的所有系數的所有系數0 nannnaa1lim ）或或 nnalim(n冪冪 級級 數數由由比值審斂法比值審斂法,15,)0(lim)1(1存在存在如果如果 nnnaa,1|時時當當 x 0|nnnxa級級數數 0nnnxa,1|時時當當 x 0|nnnxa級級數數|,|11nnnnxaxa

11、 0nnnxa|lim1xaannn 1 R收斂半徑收斂半徑0|nnxa冪冪 級級 數數收斂收斂,從而級數從而級數絕對收斂絕對收斂.發散發散,并且從某個并且從某個n開始開始從而級數從而級數發散發散. 比值審斂法比值審斂法16, 0)2( 如果如果, 0 x),(011 nxaxannnn有有 0|nnnxa級級數數 0nnnxa; R,)3( 如果如果, 0 x 0nnnxa級級數數)|00收收斂斂使使 nnnxax. 0 R定理證畢定理證畢.|lim1xaannn 冪冪 級級 數數收斂收斂,從而級數從而級數絕對收斂絕對收斂.收斂半徑收斂半徑必發散必發散.(否則由定理否則由定理1知將有點知將有

12、點收斂半徑收斂半徑17例例 求下列冪級數的求下列冪級數的收斂半徑收斂半徑與與收斂域收斂域:解解)1(nnnnn 21)1(21lim12 R 1)()2(nnnx 12)!2() !()3(nnxnnnnnnxn)21(2)1()4(1 12)1(nnnnx21 nnnaa1lim )1(2lim nnn 1 R冪冪 級級 數數18,2時時當當 x,2時時當當 x,)1(1 nnn級級數數為為,11 nn級級數數為為是收斂的交錯級數是收斂的交錯級數. 是調和是調和級數級數,發散發散.故收斂域為故收斂域為).2 , 2 , 級級數數只只在在0 x處處收收斂斂.0 R 1)()2(nnnx解解nn

13、 lim 12)1(nnnnxnna limn 冪冪 級級 數數19nnnaa1lim 12)!2() !()3(nnxnn)22)(12()1(lim2 nnnn )!2() !(!)1(2!)1(lim22nnnnn 41 4 R解解 1 R冪冪 級級 數數20級數為正項級數級數為正項級數 124)!2() !(nnnn因為因為112221 nnuunn所以所以,0lim nnu故級數故級數 發散發散. 124)!2() !(nnnn對應的常數項級數也對應的常數項級數也發散發散.當當 x = 4 時時,4時時當當 x).4, 4( 12)!2() !()3(nnxnn故收斂域為故收斂域為冪

14、冪 級級 數數212121| xt)1 , 0( xnnnnxn)21(2)1()4(1 ,0時時當當 x 11nn級數為級數為,1時時當當 x 1)1(nnn級數為級數為發散發散收斂收斂故收斂域為故收斂域為 R21 ,21 xt令令nnnntn2)1(1 解解還有別的方法嗎還有別的方法嗎 1limnnnaannn21lim (0,1.即即收斂收斂即即收斂收斂冪冪 級級 數數22解解是是缺偶次冪缺偶次冪的冪級數的冪級數.)()(lim1xuxunnn 例例 求函數項級數求函數項級數 的收斂區間的收斂區間.)!12() 1(ln120 nxxnnn去掉第一項去掉第一項,1232|)!12()!3

15、2(|lim nnnxnnx)32)(22(|lim2 nnxn所以所以,去掉第一項去掉第一項,級數處處收斂級數處處收斂.定義域為定義域為0 因為第一項因為第一項lnx的的所以所以,原級數的原級數的收斂區間收斂區間是是冪冪 級級 數數, 0 x)., 0( 比值審斂法比值審斂法23 2002年研究生考題年研究生考題,選擇選擇(3分分)例例nnnxa 1設冪級數設冪級數nnnxb 1與與的的收斂半徑分別為收斂半徑分別為,3135與與則冪級數則冪級數nnnnxba 122的的收斂半徑為收斂半徑為( )5)(A35)(B31)(C51)(DA分析分析22nnnbac 設設 1nncc 212122n

16、nnnabba2121 nnnnaabb535322 冪冪 級級 數數注：選擇填空題可以加強條件做！24討論冪級數討論冪級數 的收斂域的收斂域.13)1(201 nnnnx解解 此級數是缺項的冪級數此級數是缺項的冪級數,作變換作變換,令令,2xy 級數變為級數變為13)1(01 nnnny因為因為131131lim1 nnnyR3 當當 y = 3時時, 級數為級數為,133)1(01 nnnn由于由于133lim nnn所以此級數發散所以此級數發散.不滿足定理不滿足定理2的條件的條件., 01 冪冪 級級 數數25故故 y(0)的冪級數收斂域是的冪級數收斂域是因此因此,原冪級數收斂域是原冪級

17、數收斂域是.33 x收斂半徑收斂半徑.3 R即為即為:. 30 y, 302 x冪冪 級級 數數26確定函數項級數確定函數項級數 的收斂域的收斂域. 1)(nxnnnxn解解 對任意固定的對任意固定的x,xnnnnxnxu )()(nxnnxnxu 11)(0 即即用用比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式:)(limxunn 而級數而級數 是是p = x的的p 級數級數, 11nxn所以所以, 當當n充分大時充分大時,有有nnnx 1limxe xn1發散發散.故級數的收斂域為故級數的收斂域為. 1 x,),(充充分分大大時時當當任任意意nx 可視為可視為.正正項項級級數數冪冪 級級 數數

18、時時1 x收斂收斂.時時1 x27 1988年研究生考題年研究生考題,計算計算,5分分.)3(311的收斂域的收斂域求冪級數求冪級數nnnxn 解解,)3(31)(nnnxnxu 由由nnnnnxnxn)3(31)3(3)1(1lim11 |3|)1(3lim xnnn|3|31 x, 1|3|31 x令令)6 , 0( x即即)()(lim1xuxunnn 得得冪冪 級級 數數28內內在開區間在開區間)6 , 0()3(311nnnxn ,0時時當當 x,6時時當當 x的收斂域為的收斂域為因而因而nnnxn)3(311 ).6, 0nnn1)1(1 11nn冪冪 級級 數數處處收斂處處收斂.

19、收斂收斂發散發散291. 代數運算性質代數運算性質(1) 加減法加減法 00nnnnnnxbxa 0nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac ),(RRx 00nnnnnnxbxa和和設設冪冪 級級 數數三、冪級數的性質三、冪級數的性質的收斂半徑各為的收斂半徑各為R1和和R2 ,30(2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa 0nnnxc),(RRx (其中其中)0110bababacnnnn (3) 除法除法 00nnnnnnxbxa 0nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內收斂域內(相除后的收斂區間比原來相除后的收斂區間比原來兩級數的收斂區間小得多兩級數的收斂區間小

20、得多)冪冪 級級 數數312. .和函數的分析運算性質和函數的分析運算性質),0()1(0 RRxannn的收斂半徑為的收斂半徑為冪級數冪級數,),()(內內連連續續在在區區間間和和函函數數RRxs ),0()2(0 RRxannn的收斂半徑為的收斂半徑為冪級數冪級數,),()(內內是是可可積積的的在在區區間間和和函函數數RRxs 可逐項積分可逐項積分. .),(RRx 且對且對則其則其在端點收斂在端點收斂, ,則則在端點單側連續在端點單側連續. .則其則其冪冪 級級 數數32 xxsd)(即即 00dnxnnxxa101 nnnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變) xnnnxxa00d)( 0

21、nnnxa，內是可導的內是可導的在區間在區間和函數和函數),()(RRxs )(xs 即即 0)(nnnxa 1nnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變) 0)(nnnxa0 x逐項求導任意次逐項求導任意次. .并可并可則其則其1 n冪冪 級級 數數(3) 冪級數冪級數的收斂半徑為的收斂半徑為R (R 0),33解解.1的和函數的和函數求冪級數求冪級數 nnnx(1)求收斂區間求收斂區間1lim nnnaaR)1(11lim nnn時時，當當1 x,11 nn級數為級數為發散發散時時，當當1 x,)1(1 nnn級數為級數為1 收斂收斂故級數的求收斂區間為故級數的求收斂區間為).1 , 1 容易求

22、和函數的冪級數是幾何級數容易求和函數的冪級數是幾何級數,分析分析設法設法用逐項求導或逐項積分的方法把通項變形用逐項求導或逐項積分的方法把通項變形.例例冪冪 級級 數數34),1ln()(xxs 即即 xxsd)( 1)(nnnxxs,11x )11( x)(xs由牛由牛萊公式得萊公式得)1ln(x xxx0d11利用性質利用性質3,逐項求導逐項求導 11nnx)11( x,1處處在在 x,)(連續連續xs,)1ln(也連續也連續x 因因此此.1)(處也成立處也成立在在 xxs(2)求求和函數和函數s(x),)(1 nnnxxs設和函數設和函數. 0)0( s ,)1 , 1)(連連續續在在則則

23、 xs2ln)1( s得得0 x)0( s 冪冪 級級 數數35例例 求冪級數求冪級數 的和函數的和函數.1121 nnnxn解解 (1)求收斂域求收斂域1lim nnnaaR,211 nn級數為級數為發散發散,21)1(11 nnn級數為級數為收斂收斂12)1(121lim nnnnn2 故級數的故級數的收斂域收斂域).2 , 2 時時，當當2 x時時，當當2 x冪冪 級級 數數36(2)求求和函數和函數s(x) 設所求和函數為設所求和函數為s(x),21)(11 nnnxnxs有有 11nn逐項求導逐項求導21121x )( xxs 112nnx21x 21即即)2 , 2 x)(xsxx

24、 nnnxn 1211121 nnnxnnx 2冪冪 級級 數數37由牛由牛 萊公式得萊公式得:)0(0)(sxxs xx0)2ln( xxxxs0d )(xxxd210 )2ln(x 21lnx2ln 因此因此,)2 , 0()0 , 221ln1)( xxxxs當當x = 0時時,顯然有顯然有)0( s總之有總之有 1121nnnxn,21ln1 xx,21)2 , 0()0 , 2 x,21 0 x 冪冪 級級 數數xxxs 21 )(38 1996年研究生考題年研究生考題,計算計算,7分分.2)1(122的和的和求級數求級數 nnn解解 222)1(1nnn,11)(22nnxnxs

25、可設可設1 R收收斂斂半半徑徑nnxnnxs 111121)(2nnn 211122nnxnn 2111121,0時時當當 x例例冪冪 級級 數數39121121 nnxnx121121 nnxnx nxnx12x 11逐項求導逐項求導),1ln(x nxnx1211 n3 nnnxnxg 11)(設設 11)(nnxxg則則積分積分0)0( g得得)(xg)1ln(x 冪冪 級級 數數0( )(0)( )dxg xgg xx40知知由由)1ln()(xxg 2)(123xxxgxnnn 2)1ln(2xxx )(xs代入代入211( )ln(1)ln(1)222xs xxxxxx 得得 nx

26、nx12 nxnx1211 n3 n得得令令,21 x 212)1(122snnn. 2ln4385 冪冪 級級 數數41解解收斂收斂區間為區間為1lim nnnaaR 11nnnxxxnnnnxd)1(10 11nnnx(1)求收斂區間求收斂區間(2)求和函數求和函數s(x)利用性質利用性質2,逐項積分逐項積分 1)1()(nnnxs設和函數設和函數)2)(1()1(lim nnnnn1 ).1 , 1( 2x例例.2)1(1 nnnn的和的和求求xd0 x0 x 1)1()(nnxnnxs)(xgnx冪冪 級級 數數 xd 數項級數間接求和法數項級數間接求和法42 12)1(nnnn故故8 3)1(2xx xxnnxnxxxg0011dd)( 1nnxxx 1即即 101dnxnxnx又設又設,)(11 nnnxxg則則利用性質利用性質2,逐項積分逐項積分(3)求函數求函數s(x)在在 的值的值21 x2)1(1x xxxs0d)(22)1(xx xxxg1)()(d)(20 xgxxxsx 22)1()(xxxs)(xs 1)1(nnxnnn 21 21冪冪 級級 數數43 12)1()1(nnnnx求求 的收斂域與和