1、1重積分在幾何上的應用重積分在幾何上的應用重積分在物理上的應用重積分在物理上的應用小結小結 思考題思考題 作業作業 第四節第四節 重積分的應用重積分的應用第九章第九章 重積分重積分2一、重積分在幾何上的應用一、重積分在幾何上的應用1. 平面區域的面積平面區域的面積設有平面區域設有平面區域D, DD d2. 體積體積 設曲面方程為設曲面方程為.),( , 0),(Dyxyxfz 則則D上的曲頂柱體體積為上的曲頂柱體體積為: DyxfV d),(則其面積為則其面積為:重積分的應用重積分的應用 把定積分的元素法推廣到重積分的應用中把定積分的元素法推廣到重積分的應用中.占有占有空間有界域空間有界域 的

2、立體的體積為的立體的體積為: : zyxVddd3 d(1) 設曲面設曲面S的方程為：的方程為：),(yxfz ,dD ,d),( yx點點.),(,(的切平面的切平面上過上過為為yxfyxMS ,d邊界為準線邊界為準線以以 如圖如圖,),(yxMAds xyzo 3. 曲面的面積曲面的面積;dSS為為截曲面截曲面,dA為為截切平面截切平面 SAdd 上具有上具有在在Dyxf),(),(),(yxfyxfyx和和連續偏導數連續偏導數設小區域設小區域則有則有母線平行于母線平行于z軸的小柱面軸的小柱面,在在xOy面上的投影區域為面上的投影區域為D,重積分的應用重積分的應用Sd4面面上上的的投投影影

3、在在為為xOyAdd d2211cosyxff d1d22yxffA ),(yxMxyzs o 曲面曲面S的面積元素的面積元素 cosd A DyxffA d122曲面曲面S的面積公式的面積公式 dAdn重積分的應用重積分的應用Sd(,1)xynff 5(3) 設曲面的方程為設曲面的方程為),(xzhy 曲面面積公式曲面面積公式zdxyyAxzd122 曲面面積公式曲面面積公式(2) 設曲面的方程為設曲面的方程為),(zygx 曲面面積公式曲面面積公式zyxxAzydd122 (1) 設曲面設曲面S的方程為的方程為),(yxfz yxzzAyxdd122 xyDyzDzxD重積分的應用重積分的

4、應用6xyO a a2解解)0,( yx求球面求球面,2222azyx 含在圓柱體含在圓柱體axyx 22內部的那部分面積內部的那部分面積.例例由對稱性知由對稱性知,41AA 第一掛限圖形第一掛限圖形 axyxD 221:曲面方程曲面方程222yxaz aaaD1axyx 22重積分的應用重積分的應用xyzOyxyxaadd222 于是于是, ,yxzzyxdd122 曲面面積元素為曲面面積元素為7xyO a a2D1 1dd4222Dyxyxaa2242aa 極坐標極坐標 d1d422aayxzzADyxdd14122 02 cosa0重積分的應用重積分的應用yxyxaadd222 yxzz

5、yxdd122 cosa8例例22yxz )0(22 aaxyx因曲面方程為因曲面方程為,22yxxzx 22yxyzy 所以所以,2 d2 DA 2 242a oxzy22yxz axyx 22D22yxz 解解221yxzz 截下的截下的有限曲面片有限曲面片的面積的面積.被柱面被柱面求曲面求曲面a重積分的應用重積分的應用9例例222ayx 222azx 所截的部分的面積所截的部分的面積. 作出圖形在作出圖形在第一卦限第一卦限的的A1:22xaz ,22xaxzx 0 yzyxxaadd22 則則222azx 222ayx 解解部分部分yxzzyxdd122 被圓柱面被圓柱面計算圓柱面計算圓

6、柱面(如圖如圖).222ayx a重積分的應用重積分的應用xyzOxyO10yxzzAyxdd1d221 在在第一掛限第一掛限部分面積為部分面積為yxxaaADdd1221 2a 整個面積整個面積2188aAA 222ayx yxxaadd22 a重積分的應用重積分的應用xyO222azx 222ayx xyzO2222001ddaaxaxyax11(0,0,2a)解解 解方程組解方程組 22222yxazazyx得兩曲面的交線為圓周得兩曲面的交線為圓周 azayx222平面上的投影域平面上的投影域xOy在在222:ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ayzy2 求由曲面求

7、由曲面所圍立體的表面積所圍立體的表面積. .oxyzazyx 22222yxaz 和和)0( a重積分的應用重積分的應用12 221yxzz22221 ayax222441yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz2 Ayxdd2 d41d02220 aaa22 a )15526(62 a 222:ayxDxy 求由曲面求由曲面所圍立體的表面積所圍立體的表面積. .azyx 22222yxaz 和和)0( axyDxyDyxyxaadd441222 重積分的應用重積分的應用13 1989年研究生考題年研究生考題,計算計算,9分分,)0(2222上上 aazyx例例解解 由于球為中心對稱圖

8、形由于球為中心對稱圖形,2222)(Razyx 2222)(Razyx 解得解得問問:R取何值取何值,重積分的應用重積分的應用設半徑為設半徑為R的球面的球面的球心在定球面的球心在定球面球面球面 在定球面內部的那部分面積最大在定球面內部的那部分面積最大?不妨設球面不妨設球面 的方程為的方程為:因為是求球面因為是求球面 在定球面內部在定球面內部的面積的面積,故由方程故由方程Ozyx222zaRxy14面積元素是面積元素是yxzzyxdd122 yxyxRRdd222 22222222)(azyxRazyx又由又由aRaz2222 )22(22aRaz :xyD2b 242224aRRyx 令令重積

9、分的應用重積分的應用即得出球面即得出球面 在定球面內部的在定球面內部的那部分在那部分在xOy面上的投影區域面上的投影區域222zaRxy15 所以所以yxyxRRdd222 極坐標極坐標 aRRR222 dd02220 bRR,23222 aRRAR 而而023222 aRRAR 令令, 0232 aR)0( R所以所以,34時時即即aR yxzzAyxdd122 .取得最大值取得最大值AxyD222:byxDxy 222byx 24224aRRb 重積分的應用重積分的應用球面球面 在定球面內部的面積設為在定球面內部的面積設為A,則則16二、重積分在物理上的應用重積分在物理上的應用1、質心、質

10、心 MMyx MMxy質點系的總質量質點系的總質量對對x軸的靜矩軸的靜矩則該質點系的質心的坐標為則該質點系的質心的坐標為它們分別位于它們分別位于,),( ,),(),(2211處處nnyxyxyx質量分別為質量分別為.,21nmmm niiniiimxm11 niiniiimym11重積分的應用重積分的應用(1) 平面薄片的質心平面薄片的質心對對y軸的靜矩軸的靜矩設設xOy平面上有平面上有n個質點個質點,17由元素法由元素法: :,d),( yx,d),( DyyxxM 所以所以, DxyxyM d),(d( , )d ,d( , )dyxMxx yMyx y設有一平面薄片設有一平面薄片, 占

11、有占有xOy面上的閉區域面上的閉區域D,在點在點(x, y)處的面密度為處的面密度為),(yx 假定假定在在D上連續上連續,平面薄片的質心平面薄片的質心),(yx 薄片中相應于薄片中相應于 d的部分的質量近似等于的部分的質量近似等于這部分質量可近似看作集中在點這部分質量可近似看作集中在點(x, y)上上,于是可寫出靜矩元素于是可寫出靜矩元素:重積分的應用重積分的應用 niiiyxmM1 niiixymM118注注,d1 DxAx DyAy d1 DA d其中其中所以所以,薄片的質心坐標為薄片的質心坐標為當薄片是當薄片是均勻均勻的的,質心稱為質心稱為,d),(d),( DDyyxyxxMMx D

12、DxyxyxyMMy d),(d),(重積分的應用重積分的應用形心形心. .平面的面積平面的面積. .19設物體占有空間域設物體占有空間域 , ,有連續密度函數有連續密度函數 vzyxvzyxxxd),(d),(則其質心坐標為則其質心坐標為常數常數時時, ,則得則得形心形心坐標坐標,dVvxx vVd物體的體積物體的體積. .重積分的應用重積分的應用(2) 物體的質心物體的質心 yyzz當物體是當物體是均勻均勻的的,dVvyy Vvzz d其中其中M1、質心、質心( , , ),x y z( , , )x y z即當20b例例 求位于兩圓求位于兩圓,cos a cosb )0(ba 之間的之間

13、的均勻均勻薄片的質心薄片的質心.axyO, 0 y DxAx d1 .)(222ababab 解解 薄片關于薄片關于x軸對稱軸對稱.,d1 DxAx DyAy d1則則22222 ayax cosa sincosyx2222 ab 20coscosdcosd2 ba質心質心).0 ,)(2(22ababab 重積分的應用重積分的應用21一個煉鋼爐為旋轉體形一個煉鋼爐為旋轉體形, ,剖面剖面壁線的方程為壁線的方程為30,)3(922 zzzx若爐內儲有高為若爐內儲有高為h的均質鋼液的均質鋼液, ,不計不計由由對稱性對稱性知質心在知質心在 z 軸上，軸上，, 0 yx爐壁方程為爐壁方程為9)3(2

14、22zzyx VzyxzVMzz ddd故故爐體的自重爐體的自重, ,求它的質心求它的質心. .重積分的應用重積分的應用例例解解222)3()(9zzyx zDhyxzddd0 zyxVddd)41229(922hhh hzzz02d)3(9 h222)3()(9zzyx zDOyxz22重積分的應用重積分的應用VzyxzVMzz ddd hzzz022d)3(9 0d d ddd dzhzDMz x y zz zx y)51233(923hhh 225409043060hhhhhVMzz )41229(922hhhV 質心為質心為.5409043060, 0, 022 hhhhh9)3(22

15、2zzyx 23(1) 平面薄片的轉動慣量平面薄片的轉動慣量重積分的應用重積分的應用2、轉動慣量轉動慣量設平面薄片占有平面區域設平面薄片占有平面區域D, DxyxI d),( DoyxI d),( 則轉動慣量為則轉動慣量為D2y2x)(22yx DyyxI d),( yxO有連續密度函數有連續密度函數),(yx 24設物體占有空間區域設物體占有空間區域 , ,),(zyx vzyxIxd),()(22zy 重積分的應用重積分的應用(2) 物體的轉動慣量物體的轉動慣量2、轉動慣量轉動慣量則轉動慣量為則轉動慣量為Oxyz vzyxIyd),()(22zx vzyxIzd),()(22yx vzyx

16、Id),(0)(222zyx 有連續的密度函數有連續的密度函數25abyxxIDydd2 bbyaxxy0)1(02dd ba3121 )1(axby 重積分的應用重積分的應用 DyyxxI d),(2例例解解設一設一均勻均勻的直角三角形薄板的直角三角形薄板, ,兩直角邊長分別兩直角邊長分別求這三角形對任一直角邊的轉動慣量求這三角形對任一直角邊的轉動慣量. .為為a、b,設三角形的兩直角邊分別設三角形的兩直角邊分別在在x軸和軸和y軸上軸上( (如圖如圖) )yxO對對y軸軸的轉動慣量為的轉動慣量為yxyIDxdd2 .1213 ab 對對x軸軸的轉動慣量為的轉動慣量為2( , )dxDIyx

17、y26用用元素法元素法求求薄片對薄片對z軸上的單位質點的引力軸上的單位質點的引力221rmmkF zyxFFFd,d,d d引力在三個坐標軸上的投影引力在三個坐標軸上的投影 zyxFFF,重積分的應用重積分的應用3 3、引力、引力(1)平面薄片對質點的引力平面薄片對質點的引力設有一平面薄片設有一平面薄片, 占有占有xOy面上的閉區域面上的閉區域D,在點在點(x, y)處的面密度為處的面密度為),(yx 假定假定在在D上連續上連續,計算該平面薄片對位于計算該平面薄片對位于z軸上的點軸上的點),(yx 處的處的單位質點單位質點的引力的引力.), 0 , 0(0aM)0( a元素元素.OxyzD 薄

18、片中薄片中 d的大小近似地為的大小近似地為 Fd的部分對該質點的引力的部分對該質點的引力2r k d),(yx 1), 0 , 0(0aM)0 ,(yx (,).xyzFF F F27222)0()0()0(ayxr 222ayx 引力的引力的方向方向)0,(ayx 方向余弦方向余弦 raryrx, 薄片中薄片中 上的投影上的投影 的元素的元素:zyxFFF,d),(d3ryxkxFx ,d),(d3ryxkyFy .d),(d3ryxkaFz 221rmmkF 重積分的應用重積分的應用 薄片中薄片中 的的大小大小近似地為近似地為2d),(1dryxkF 的部分對該質點的引力的部分對該質點的引

19、力 d d 的對該質點的引力在三個坐標軸的對該質點的引力在三個坐標軸OxyzD d), 0 , 0(0aM)0 ,(yx 28,d)(),(23222 DxayxxyxkF,d)(),(23222 DyayxyyxkF.d)(),(23222 DzayxyxakFk為引力常數為引力常數.重積分的應用重積分的應用,d),(d3ryxkxFx ,d),(d3ryxkyFy .d),(d3ryxkaFz OxyzD d), 0 , 0(0aM)0 ,(yx 29重積分的應用重積分的應用3、引力、引力(2) 物體對質點的引力物體對質點的引力設物體占有空間區域設物體占有空間區域 , ,),(zyx 物體

20、對于物體外一點物體對于物體外一點),(zyxFFFF 利用利用元素法元素法, , cosd),(1d2rvzyxkFx cosd),(1d2rvzyxkFy 有連續有連續分布分布的密度的密度引力元素在三坐標軸上的投影分別引力元素在三坐標軸上的投影分別空間一物體對于物體外一點空間一物體對于物體外一點),(0000zyxP處的處的單位質量單位質量的質點的引力的質點的引力. .函數函數),(0000zyxP的單位質量的質點的引力的單位質量的質點的引力為為221rmmkF 30)d)(,(rvxxzyxk 30)d)(,(rvyyzyxk 30)d)(,(rvzzzyxk 21( , , )ddcos

21、zx y zvFkr30 vryyzyxkFyd)( ),(30重積分的應用重積分的應用30)d)(,(drvxxzyxkFx 30)d)(,(drvyyzyxkFy 30)d)(,(drvzzzyxkFz 在在 上分別積分上分別積分, ,得得vrxxzyxkFxd)(,(30 03( , , )()dzx y zzzFkvr31Foyzx重積分的應用重積分的應用0 yxFF設有面密度為常量設有面密度為常量, ,半徑為半徑為R的均勻圓的薄片的均勻圓的薄片求它對位于點求它對位于點 由由對稱性對稱性知知, 0,222 zRyx)0(), 0 , 0(0 aaM處的單位質量質點的引力處的單位質量質點

22、的引力. . 例例解解), 0 , 0(0aM d)(1d0222023 Raak.11222 aaRka 引力為引力為 d)(123222 Dayxak d)(),(23222 DzayxyxakF極坐標極坐標).,0,0(zFF d)(),(23222 DzayxyxakF d)(),(23222 DxayxxyxkF d)(),(23222 DyayxyyxkF32求密度求密度 為常數的半圓環為常數的半圓環:)0( ,2222 ybyxa對原點一單位質點的引力對原點一單位質點的引力.答案答案:.ln2, 0 abk 重積分的應用重積分的應用引力引力為為 Oyxab33幾何應用幾何應用平面薄片、空間物體的平面薄片、空間物體的質心質心平面薄片、空間物體平面薄片、空間物體對質點的對質點的引力引力 平面的面積平面的面積物理應用物理應用三、小結三、小結重積分的應用重積分的應用曲面的面積曲面的面積體積體積平面薄片、空間物體的平面薄片、空間物體的轉動慣量轉動慣量 34重積分的應用重積分的應用)(th( t為時間為時間)的雪堆在融化的雪堆在融化,)()(2)(22thyxthz 設長度單位