1、力學力學習題課習題課第8次 振動例例8.1 8.1 一質量為一質量為MM的盤子系于豎直懸掛的彈簧下的盤子系于豎直懸掛的彈簧下端，彈簧的勁度系數為端，彈簧的勁度系數為k k。現有一質量為。現有一質量為mm的小的小物體自離盤高物體自離盤高h h處自由下落掉在盤上，沒有反彈。處自由下落掉在盤上，沒有反彈。如以物體掉在盤上的瞬間作為計時起點，求盤如以物體掉在盤上的瞬間作為計時起點，求盤子的振動表達式（取物體掉在盤子后的平衡位子的振動表達式（取物體掉在盤子后的平衡位置為坐標原點，位移以向下為正）。置為坐標原點，位移以向下為正）。【解解】空盤振動時，角頻率：空盤振動時，角頻率：1kM 物體落在盤上后，角頻

2、率：物體落在盤上后，角頻率：2kMm 設新的平衡位置對應于彈簧的伸長量為設新的平衡位置對應于彈簧的伸長量為l l2 2，則，則2()klMm g 而物體未落在盤上時彈簧的伸長量為而物體未落在盤上時彈簧的伸長量為l l1 1，則，則1klM g 以新的平衡位置為原點，則以新的平衡位置為原點，則t t0 0時，盤子的初始位移時，盤子的初始位移021()MmM gm gyllgkkk 由動量守恒得由動量守恒得00()m vmM V （式中（式中v v0 0、V V0 0分別是物體落在盤上前后的速度）分別是物體落在盤上前后的速度）而而02vgh 故有故有02mVghmM 222220022222/ (

3、)()21()Vm gmkAyghkmMmm gkhkmMgM 求得振幅的初相求得振幅的初相00022arctarcan(tanarctan)mghVmMym gkkmMkhmMg 000y Acos 且此時物體向著且此時物體向著y y軸正方向運動，所以軸正方向運動，所以0 0在第三象限，在第三象限，即即032 注意到注意到cos()cos 于是得到于是得到221mghkkhkytkMmMmMm gcosarctan()()() 例例8.2 8.2 一不可伸長的細線穿過光滑桌面上的小一不可伸長的細線穿過光滑桌面上的小孔，一端系質量為孔，一端系質量為mm的小球，另一端系質量為的小球，另一端系質量

4、為MM的重物。小球在桌面上以角速度以勻角速的重物。小球在桌面上以角速度以勻角速 0 0作圓周運動，重物靜止不動，若重物受到豎直作圓周運動，重物靜止不動，若重物受到豎直向上的擾動。試證明：重物將上下諧振動，并向上的擾動。試證明：重物將上下諧振動，并求振動頻率。求振動頻率。【解解】重物靜止時，線的張力為重物靜止時，線的張力為T T0 0，小球的圓周運動，小球的圓周運動的半徑為的半徑為r r，200 0TMgmr 故有故有020(1)Mgr m M M受擾動后，張力受擾動后，張力T T和小球運動半徑和小球運動半徑r r皆隨時間皆隨時間t t變化，變化，M M的運動方程為的運動方程為2222()(2)

5、dlrd rMgTMM dtdt （l l是線的全長，為常量）是線的全長，為常量）m m的運動為徑向運動與圓周運動的疊加，方程為的運動為徑向運動與圓周運動的疊加，方程為2232drTmrm dt( ) （因為徑向加速度為（因為徑向加速度為）2rarr 消去消去T T可得到可得到22222d rd rM gmrmM dtdt 即即222()0(4)d rmMmrM g dt 由角動量守恒得由角動量守恒得22005Jm r=m r ( ) （4 4）帶入（）帶入（5 5）得）得222306d rJmMM g dtm r()( ) 由于是微擾，小球的半徑由于是微擾，小球的半徑 r r(t) (t)

6、可寫成可寫成0( )( )r trt 而而2222( )d rdtdtdt 33330000111311rrrrr 代入（代入（6 6）得）得3222003()10dJmMMg dtrmr 代入上式，得代入上式，得220030JM gm rm r 由（由（1 1），（），（5 5），有），有2203()0dM gmM dtr 或或22030()dM g dtmMr 這是典型的諧振動方程，振動的角頻率和頻率為這是典型的諧振動方程，振動的角頻率和頻率為0031322M gM g mMrmMr,()() 例例8.3 8.3 兩個同頻率的簡振兩個同頻率的簡振, ,它們的它們的x xt t圖象如圖所示圖

7、象如圖所示, ,求：求：(1)(1)兩個簡振的位相差兩個簡振的位相差; (2); (2)合振動的振動方程合振動的振動方程x so55cmt2x1xA1A2A248x so55cmt2x1xA1A2A248xx so55cmt2x1x48xx so55cmt2x1x48x so55cmt2x1xA1A2A248x so55cmt2x1xA1A2A248【解解】：(1) A(1) A1 1=A=A2 2=5 (cm) , T=4 (s)=5 (cm) , T=4 (s)12302 ,12s 22125 2AAAcm(2)142S ，5 224xtcosAAAA AAAtgAA 2211121211

8、2211222cos)sinsincoscos（ 由由得到得到例例8.4 8.4 寫出單擺的周期相對變化寫出單擺的周期相對變化dT/TdT/T與重力加速度的與重力加速度的相對變化相對變化dg/gdg/g之間的關系式之間的關系式, ,在在g=9.80cm/Sg=9.80cm/S-2-2處走時處走時準確的一只鐘準確的一只鐘, ,移至另一地點后每天慢移至另一地點后每天慢10S,10S,試用上述關試用上述關系式計算該地的重力加速度值。假設該鐘用單擺計時。系式計算該地的重力加速度值。假設該鐘用單擺計時。【解解】：對對 兩邊進行微分兩邊進行微分T = 2l g -2dTdgTg329 802 269 10

9、9 798ggdgm s. 3210229 802 2691086400dTdggm sT. 例例8.5 8.5 兩相同的圓柱體，半徑為兩相同的圓柱體，半徑為R R，它們的軸平行，且，它們的軸平行，且在同一水平面上，相距在同一水平面上，相距d=2Ld=2L，以相同的角速度并向相，以相同的角速度并向相反的方向繞軸迅速的旋轉。在圓柱上放一塊勻質木板，反的方向繞軸迅速的旋轉。在圓柱上放一塊勻質木板，木板與圓柱體間的滑動摩擦系數為木板與圓柱體間的滑動摩擦系數為 。若開始把木板放。若開始把木板放在平衡位置偏右在平衡位置偏右x x0 0位置，且給它一個向右的初速度位置，且給它一個向右的初速度v v0 0，

10、求木板的運動。求木板的運動。12.o omgN1xN2F2F1x.2dLcc 【解解】可將木板看作位于質心的一個質點，質量為可將木板看作位于質心的一個質點，質量為m m。對于固定對于固定O O點，應用角動量定理，點，應用角動量定理，12mg LxNL由、式可解出由、式可解出代入式得代入式得+0gxxL 02=2LTg 運動周期運動周期由牛頓定律由牛頓定律0Jrmvximxi注意注意1212=+=mx FFNN120NNmg則則0dJMdt有有210N LN Lmgx22mg LxNL0coscosgxAtAtL 通解為通解為固有頻率固有頻率0gL 最終得最終得由初始條件由初始條件000,txx

11、xv220000cosarctanv LgvLxxtgLxg 有有00cos,singAxAvL 得到得到2200v LAxg 00arctanvLxg 又因為又因為sin0 所以所以在第四象限，在第四象限，例例8.6 8.6 如圖，一倔強系數為如圖，一倔強系數為k k的輕彈簧，一端固定在的輕彈簧，一端固定在墻上，另一端連接一質量為墻上，另一端連接一質量為mm1 1的物體，放在光滑的水的物體，放在光滑的水平面上，一質量為平面上，一質量為mm2 2的物體跨過一質量為的物體跨過一質量為MM，半徑為，半徑為R R的定滑輪與的定滑輪與mm1 1相連，求此系統的振動圓頻率。相連，求此系統的振動圓頻率。2

12、m1mMkR解法一：以彈簧原長的端點為坐標原解法一：以彈簧原長的端點為坐標原點點, ,向右為向右為S S坐標軸正向坐標軸正向, m, m1 1 、m m2 2、M M受力如圖所示，顯然有：受力如圖所示，顯然有：gm11Tfgm2MR/1T2T/2TN111Tksm am s2222m gTm am sasRR 212102m gmmM sk sk2m gxsk20 xx 1212kmmM 2211()2TT RJMR解上述解上述4 4個方程，可得個方程，可得令令上式可化為上式可化為xs2m gxsk由于由于M M沒有平動，只有轉動，對于軸心應用角動量定理有，沒有平動，只有轉動，對于軸心應用角動

13、量定理有，212102m gmmM Sk Sk解法二：研究對象解法二：研究對象m m1 1 、m m2 2、M M、k k、地球。只有重力和彈簧的彈力、地球。只有重力和彈簧的彈力做功，因此系統的做功，因此系統的E E守恒。設守恒。設m m1 1運動到運動到o o點時，彈簧勢能為零，點時，彈簧勢能為零，m m2 2所在處的重力勢能為為零，由于所在處的重力勢能為為零，由于m m1 1的重力勢能不變，則當的重力勢能不變，則當m m2 2下降下降s s時：時：20 xx 1212kmmM 22222122111 110222 22ksmMRmm gsR 上式對上式對t t求導，可得求導，可得xs由于由

14、于2m gxsk令令例例8.7 8.7 如圖，一彈簧振子的勁度系數如圖，一彈簧振子的勁度系數k k1 1=9.8N/m=9.8N/m，質，質量量m=9.8m=9.810-2kg10-2kg，它的影子水平投射在一屏上，該，它的影子水平投射在一屏上，該屏的質量屏的質量M=0.98kgM=0.98kg，通過勁度系數，通過勁度系數k k2 2=98N/m=98N/m的彈的彈簧掛起來。開始時，把它們都從平衡位置拉下簧掛起來。開始時，把它們都從平衡位置拉下0.1m0.1m，先釋放彈簧振子，如果要使影子在屏上振動的振幅為先釋放彈簧振子，如果要使影子在屏上振動的振幅為0.050m0.050m，問要過多長時間釋

15、放屏？并寫出影子在屏上，問要過多長時間釋放屏？并寫出影子在屏上的振動方程。的振動方程。【解解】用用x x1 1、x x2 2分別表示分別表示m m、M M的坐標，向下為正，原點均取在平的坐標，向下為正，原點均取在平衡位置。衡位置。影子運動影子運動120.05cos 10 xxxt 12xxx影子在屏上的坐標表示為：影子在屏上的坐標表示為：如何求如何求t t0 0和和？釋放振子時：釋放振子時：0t 釋放屏時：釋放屏時：0tt111cos0.1cos10kxAttm振子運動：振子運動：22200cos0.1cos10kxAttttM屏運動：屏運動：【解法解法1 1】用分析法。用分析法。兩式平方后再

16、相加得兩式平方后再相加得1200.1cos100.1cos100.050cos 10 xxxtttt 展開后得展開后得000.1cos100.1cos10 cos100.1sin10 sin100.050cos10 cos0.050sin10 sinttttttt比較兩邊，比較兩邊，cos10 ,sin10tt的系數相等，得的系數相等，得00.10.1cos100.05cost 00.1sin100.05sint 22022 0.10.05cos100.87520.1t010arccos0.8750.5052tn 00.05050.628=0,1,2,.tn sn 【解法解法1 1】用分析法。

17、用分析法。00.05050.628=0,1,2,.tn sn 因為因為t t0 0須取正值（后釋放屏）不取須取正值（后釋放屏）不取0-0.0505ts01=cos0.100.10cos10=1.318()0.050arctrad =0.050cos 101.318xtm【解法解法2 2】用矢量作圖法。見下圖（用矢量作圖法。見下圖（a a），圖（），圖（b b）是兩個）是兩個t t0 0的解。的解。由圖（由圖（a a）010.052102arcsin+20.10tn 00.05050.628,0,1,2,.tn s n【解法解法2 2】用矢量作圖法。見下圖（用矢量作圖法。見下圖（a a），（），

18、（b b）是兩個）是兩個t t0 0的解。的解。由圖（由圖（b b）010.0521022arcsin+210.10tn00.05050.628,0,1,2,.tn s n 【解法解法2 2】用矢量作圖法。用矢量作圖法。00.05050.628, =0,1,2,.tn s n 可合寫成可合寫成10.0502=cos=1.318()0.10arcrad = cos 2x At 【解解】（1 1）=cos 2x At 22cos 2aAt 電子在振蕩一周期內輻射的能量為電子在振蕩一周期內輻射的能量為4222302244243032312cos211=161+ cos 482=/TTEkeAt dtcke AtdtcckeA 【解解】（2 2）( )( )= 2= 2( )-( +)( )dE tE tQE tE tTE t 振子的能量振子的能量22