1、高等數學在中學數學教學中的滲透摘要:深刻領會高等數學知識是基礎,高等數學居高臨下是關鍵。文章以實例論證高等數學指導中學數學教學的意識形成的必要性及在中學數學教學中高等數學觀的指導作用。教書十年,從初中到高中教材熟悉,滿腹經輪,既有成功的喜悅,又有耕耘的苦辣。現在回想起來每每一個進步,無不是高等數學知識在發揮作用。偶陷困境,幫我解圍,使我臨陣不亂,最終在學生的驚嘆聲中以最妙的方法解決問題。適逢隨李三平教授學習從高等數學看中學數學,高等數學的原理、思想、觀點、方法對中學數學指導作用比比皆是,感觸頗深.那么作為中學數學老師最關注的是怎樣才使高等數學與中學數學相結合。第一,深刻領會高等數學知識是基礎高

2、等數學有許多分支,不同分支體現的知識和方法,對中學數學指導的側重點略有不同,熟練掌握高等數學的各個分支的知識,在處理中學數學教材時,才可取得得心應手之高效。(1)數學分析的辯證觀點對加深理解中學數學問題有指導作用.數學分析不僅繼承了初等數學的方法,而且又引進新的思想方法極限法.運用極限方法,“常量”與“變量”、“直”與“曲”、“均勻”與“非均勻”等可實現相互轉化。所以,從方法論的角度來講,數學分析的有關知識和方法對理解和解決一些中學數學問題會起導向作用。例如:設有三次函數y=x3+px+q (p、qR),用微分方法求函數極值。由此方法探尋出該問題的一個初等解法。這從思想、方法上更有指導性的是數

3、學分析中的辯證觀點,運用這樣的方法,將會使我們中學數學問題的解決思路大為開闊,方法更加靈活有效,從而擺脫對問題束手無策或盲目亂試的困境。(2)高等幾何對解決中學有關幾何命題提供一種新的模式。高等幾何對教材內容的安排一般不同于中學幾何,它是先給出定義、定理而后直觀解釋和證明,中學幾何一般是先通過實例描述而后給出重要的概念和定理。前者訓練抽象思維,后者訓練形象思維,出發點不同,對同一問題得出的結論相同。全面了解歐氏幾何、仿射幾何、射影幾何的聯系與區別,從本質上認識,從整體上把握,又從局部上深入,才能深刻認識動與靜、特殊與一般的辯證關系。就內容而言,高等幾何比中學幾何豐富,而且分析問題、處理問題的觀

4、點新穎,方法獨特。如對偶原則,在研究點幾何的同時,也研究了線幾何的內容,對二次曲線的定義,既有幾何定義,又有代數定義,開拓了認識眼界。從方法論來看,高等幾何對具體問題處理的方法獨特,而且靈活,對解決中學幾何的有關命題提供了一種新的模式,也為中學幾何的有關問題提供了知識背景。(3)高等代數的部分內容已納入中學課程。近幾年來,代數在深度、廣度、應用等方面都有巨大的發展,產生了拓樸群、算子環、同調代數。大學的近世代數中的歐氏環,是中學數學“因式分解”的理論基礎。如果不用高代知識指導,因式分解中的一些問題看似明白,但卻難以表述清楚。例如:因式分解進行到什么程度才能結束,形式是否唯一,是否所有的多項式都

5、能分解因式等等。新教材高中數學把線性規劃作為必修內容,伽羅華群理論解決代數方程的可解性。(4)集合論的觀點和方法在中學數學教材中的滲透是一種必然趨勢。集合論是整個數學的基礎,它不僅是數學的基本語言,而且樹立了現代數學的傳統。它蘊含著極其深刻的數學思想和豐富的數學方法,對分析和理解中學數學具有指導意義。映射是集合論的有力研究工具,也是數學中十分重要的化歸方法,利用映射可以把不容易研究的集合上的問題轉化到容易研究的集合上去,從而實現由未知(難、復雜)到已知(易、簡單)的轉化。映射方法的基本思想是:當處理某問題甲有困難時,可聯想適當的映射,把問題甲及關系結構R映成與它有一一對應關系且易于考察的問題甲

6、*及關系結構R*;在新的關系結構R*中對問題甲處理完畢后,再把所得結果通過逆映射反演到R,求得關于問題甲所需的結果。這樣啟發了解題思路,又可用來指導數學發現。如此等等,高等數學知識怎樣和初等數學相結合?如何指導中學數學教學?怎樣溝通現代數學與中學數學之間的內在聯系?第二,高等數學居高臨下是關鍵作為一名優秀的中學數學教師,應該學習更多的數學,這樣在教學中才能達到給學生一杯水,自己有一桶水,顯得胸有成竹,游刃有余、得心應手,同時提高了自己的數學修養,接觸和了解現代高等數學的思想、觀點和方法,使自己的知識更加現代化,那么最關鍵的是用新知識和新理念去理解中學數學的有關內容,使高等數學有的放矢地指導中學

7、數學教學實踐,真正體現居高臨下的指導作用。(1)中學數學教學以學生的發展為根本。過去數學教學往往是教師把課本的內容略加刪減,傳授給學生,學生模仿練習,再做習題。使學生覺得數學枯燥、神秘,數學是書上寫的,老師講的,使數學學習失去了應有的魅力,知道數學重要但學不進去。隨著時代的發展,人們的認識不斷的提高,新的教學理念逐漸形成,數學教育是以人的發展為根本出發點,樹立正確的學習觀念,注重學生的可持續發展原則,著眼于提高國民素質的教育。德才兼備,具有創新能力的新型人才的需求,中學數學教與學的過程是學生主動建構知識的過程,倡導學習過程的探索性,讓學生在再創造過程中學習,從而培養學生創新思維能力。沒有中學數

8、學的基礎,高校培養高等的數學研究型人才成為“空中樓閣”、“海市蜃樓”。因此,高等數學新思想指導中學數學教學以人的發展為基本出發點。(2)中學數學教學以滲透高等數學思想、觀點,使它們相結合?，F代高等數學的新思想、新理念、新觀點及許多美妙而誘人的技巧和方法,使它更具有魅力。高等數學教材中的以“動”求“靜”觀點、“合”與“分”的觀點、“變量”與“常量”的觀點、“整體”和“局部”化觀點也是解決中學數學問題很有用的方法觀點。以“動”求“靜”的觀點。極限體現了這樣一個哲理:“穩定不變的事物是過程、運動的結果”。中學數學中遇到的問題一般都與定值與定形等有關,即“靜”的問題,按照上述觀點,便可將其看作某種“動

9、”的結果,從而以“動”求“靜”,實現問題的解決。例如:解不等式x2-x-6<0,利用換元方法設-y2=x2-x-6,即x2+y2-x-6=0,可化( x-12)2+y2=254表示橢圓,這樣“靜”轉化為“動”,滿足不等式的解應為橢圓內部的變量x的范圍(-2<x<3)。這個不等式很容易解,教學的過程也能滲透如此方法,對進一步開拓學生的思維,開發學生的智力,更顯奇效?！昂稀迸c“分”的觀點,數學變形計算常用的方法。在教學中的枚舉法、疊加法、添項、拆項、割補法是合分觀點的具體體現,解題中采用“化整為零”、“積零為整”這種“欲進則退”的策略。例如:求數列的和Sn=13×7&#

10、215;11+17×11×15+1(4n-1)×(4n+3)×(4n+7),常用此法化簡為常規數列的求和問題,再求出最后的結果?！白兞俊迸c“函數”的觀點,“變量”與“函數”是數學分析研究的對象靈活處理變量的方法,給中學數學教材以常量為主的教學提供了指導思想,甚至常量看做變量,而將字母的關系看作函數,這樣會使一些問題變得更容易。例如:解x方程x3+2 5x2+5x- 5-1=0,如用常規思維按三次方解,相當困難,教學過程中引導學生把5看作“未知數”,那么就成為關于5的一元二次方程,易解之。這是高觀給我們的啟示,使學生的思維更敏捷?！熬植炕钡挠^點,數學分析中微分思想就在局部范圍內,“以直代曲”使問題簡單化。對中學數學解題的指導是把字母的允許范圍化為若干部分,分別加以討論。開拓了解題視野,為中學數學提供學習方法。其實在中學數學教中能用高等數學的方法去解中學數學問題的例子比比皆是,在教學過程中只要我們不斷的滲透高等數學的思想和方法,這些方法和觀點將成為學生探索數學奧秘的工具。遇到難度大的數學問題不再望而生畏,單項思維,而是靈活的完成各種轉化,選擇恰當方法技巧,得出完滿的甚至奇妙的結果。人常言“功夫不負有心人”,這是我們堅持高等數學和中學數學相結合的必然產物,是居高臨下的見證。綜上所述,要使高等數學和中學數學相結合,既需打好基礎,