1、2006 年普通高等學校招生全國統一考試（全國卷 I ）數學（理）試題A、MnN=?B、 MC1N=M、 C 、 MUN=M2、已知函數y = ex的圖像與函數y = f （x）的圖像關于直線 y =x對稱，則A、x/(2x) = e (x e R)B、/(2.r) = ln2 Inx (.r > 0)C、/(2x) = 2ex (x e R)D、/(2x) = ln2 + Inx (x > 0)3、22雙曲線 mx + y =1 的虛軸長是實軸長的2 倍，則 111 =11A、 B、 -4C、 4D、一444、如果復數 （m 2+0（l+ mj） 是實數，則實數m=A、1B 、

2、-1C、 V2D、 -V2TT5、函數 /(x) = tan(x +-） 的單調增區間為A(k7l- ,k7T + ), k eZ2 2B、(k 兀,(k +C( k 兀加 + 一), k&ZD、 (k 兀 ,k 兀+ ), keZ44446AABC 的內角 A、 B、 C 的對邊分別為a、b、c。若a、b、c成等比數列，且 c = 2a,13V2V2A_B.C_ .D 、 D4443、選擇題：21 、 設集合 M= xlx 2 -x <0 ),N = X I Ixl < 2 ，則D、MUN=R7、已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為16KB 、 20714,體積為 16

3、,則這個球的表面積是C、 2471D 、 32 冗A、拋物線 y = -x 2 上的點到直線4x + 3y - 8 =0距離的最小值是138A一BB、 一CC、 一一D、9、設平面向量念，a2?3的和a】+a2+a3=Qo如果平面向量九，b , b 3滿足也設21 % I,且外順時針旋轉 30。后與祈同向，其中 i = l, 2, 3, 則A、10 、場 + " + 打=0 B -> /? /?,+設 是公差為正數的等差數歹！巧=0 C、 +/?, 打 =0 D、 /?+/?,+J,若 ai+a2+a3 = 15, (?i (?2a3 = 80,貝U & +tzi2 +

4、G13 =打=0A、11、斷）A、12、120B 、 105用長度分別為 2、 3、 4、 5、 6 ，能夠得到的三角形的最大面積為8A/5 cm2B 、 6V10C、90單位： cm ）的cm 2設集合 I=1, 2, 3, 4, 5, 選擇 I 的兩個非空子集 方法共有A 、 50 種二、填空題：B、49 種D 、755 根細木棒圍成一個三角形（允許連接，但是不允許折2D 、 20cm2C、 3A/55 cm2B, 要使 B 中最小的數大于 A 中最大的數，C、 48 種D、則不同的選擇47 種13、 已知正四棱錐的體積為12,底面對角線長為 2 而，貝側面與底面所成的二面角等于2x-y&

5、gt;-l14、 設z = 2y-x ,式中變量x、y滿足條件< 3i + 2y V23,則z的最大值為y>i15、安排 7位工作人員在 5 月 1 日至 5月 7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在 5 月 1 日和 2 口。不同的安排方法共有種（用數字作答）16、設函數 /(x) = cos(V3x + 人)(0<(p<7i),若 /(x) + f *(x)是奇函數，則仞 =三、解答題：17、 (本題滿分12分)AABC的三個內角 A、B、C,求當A為何值時，cosA + 2cos蘭蘭取得最大值2 并求出這個最大值。18、(本題滿分12分)A、B是治療同一

6、種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗。每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A,另2只服用B,然后觀察療效。若在一個試驗組中，服用A有效的小白2鼠的只數比服用 B 有效的多，就稱該試驗組為甲類組。設每只小白鼠服用A 有效的概率為一，服用 B 有3效的概率為一。2(I )求一個試驗組為甲類組的概率；(II) 觀察 3 個試驗組，用 &表示這 3 個試驗組中甲類組的個數，求 &的分布列和數學期望。19、 ( 本題滿分 12 分) 如圖， "、匕是互相垂直的異面直線，MN 是它們的公垂線線段，/ C點 A、 B 在 ' 上， C 在匕上， AM = MB =

7、MNo/(I ) 證明 ACXNB ；/(II) 若 ZACB = 60 °,求 NB 與平面 ABC 所成角的余弦值。/NTV 一 NA20、(本題滿分12分)在平面直角坐標系 xOy中，有一個以A(0,-73)和 (0,、廳)為焦點、離心率為 *的橢圓。設 橢圓在第一象限的部分為曲線 C,動點P在C 上, C在點P處切線與x、y軸交點分別為 A、B,旦向量0M = 0A + OB求：(I ) 點 M 的軌跡方程；(II ) I 成 I 的最小值。+ X21、(本題滿分 14分)已知函數 f(.x) = e"。1-x(I )設a0,討論y = f(X)的單調性； (II)

8、若對任意xE (0, 1)恒有'f(x) >1,求a的取值范圍。412n+l22、 (本題滿分12分)設數列 a,的前n項和=-a”-x2+-, = 1,2,3，(I) 求首項與通項an ；nQ(II) 設 7； = ， = 1,2,3,? ，證明： Z】v 一。S”2參考答案、選擇題題號123456789101112答案BDABCBCADBBB1. 解：M =.巾 2 一 .*< 0=*10<<1, N = Ax|x| < 2A = x I -2 < x < 2,MCN = M ,選 B.2. 解：函數y = e,的圖象與函數 y = f (

9、x)的圖象關于直線 y = x對稱，所以/'(X)是y = e,的反函數,即 /(x) = lnx,f (2x) = ln2x = lnx + ln2(x0),選 D./13 雙曲線mx- +y2 = 1的虛軸長是實軸長的2倍，m 0,且雙曲線方程為 +y2=1, a m =44選A.4.復數(m2+z)(l + mz)=(m 2 m)+(l+m3)i是實數，1+m3=0,m= 1,選B.77775.函數 f (x) = tan|x +|的單調增區間滿足k7i1<x +1<k7i+167AABC中，1、b、c 成等比數列，且 C = 2Q,貝0 b= 4A a,:.單調增區

10、間為k 一號+選cos B = / + _普-力 2=/_+_4/_2/ 2ac4Q-7. 正四棱柱高為4,體積為16,底面積為4,正方形邊長為2,正四棱柱的對角線長即球的直徑為2 J&,球的半徑為斤，球的表面積是24&,選C.14m 3 秫 2 818. 設拋物線y = /上一點為(m, -m 2),該點到直線 4x + 3y 8 = 0的距離為 ,當2 4m= 一時，取得最小值為一，選A.3 39. W %向、a3的和 +但+。3 = °。僵 、的、順時針旋轉30°后與但、Z?2、。3同向，且=2|%| ,1+。2+ o 3=。，選 D.10 . 2是公

11、差為正數的等差數列，若+角+o 3 = 15，o 1 o 2o 3 = 80，則缶=5，=(5 d)(5 + d) = 16,d=3, Q2 = q +1 °=35, an +an +a13 = 105,選 B.11. 用2、5連接，3、4連接各為一邊，第三邊長為7組成三角形，此三角形面積最大，面積為6面c徹2,選B.12. 若集合 A、 B 中分別有一個元素，則選法種數有C；=10 種；若集合 A 中有一個元素，集合 B 中有兩 個元素，則選法種數有 =10 種；若集合 A 中有一個元素，集合 B 中有三個元素，則選法種數有 =5 種；若集合 A 中有一個元素，集合 B 中有四個元

12、素，則選法種數有 C;=l 種;若集合 A 中有兩個元素， 集合 B 中有一個元素，則選法種數有 Cj =10 種；若集合 A 中有兩個元素，集合B 中有兩個個元素，則選 法種數有 C; =5 種;若集合 A中有兩個元素，集合 B 中有三個元素，則選法種數有C|=l 種;若集合 A 中有三個元素，集合 B 中有一 ?個元素，則選法種數有=5 種；若集合 A 中有三個元素，集合B 中有兩 個元素，則選法種數有 C; =l 種;若集合 A中有四個元素，集合B 中有一個元素，則選法種數有C;=l 種；總計有 49 種，選 B.解法二：集合A 、B 中沒有相同的元素，且都不是空集，從 5 個元素中選出

13、2 個元素，有 C ； =10 種選法，小的給A 集合，大的給 B 集合；從 5 個元素中選出3 個元素，有 Cj=10 種選法，再分成1、2兩組，較小元素的一組給A 集合，較大元素的一組的給 B 集合，共有2x10=20 種方法;從 5 個元素中選出4 個元素，有 =5 種選法，再分成1、3； 2、 2；3、1兩組，較小元素的一組給 A集合，較大元素的一組的給 B 集合，共有 3x5=15 種方法;從 5 個元素中選出 5 個元素，有種選法，再分成 1、 4; 2、3; 3、2;4、兩組，較小元素的 n 組給 A集合，較大元素的-組的給B集合，共有4x1=4種方法; 總計為 10+20+15

14、+4=49 種方法。選 B.二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 4 分，共 16 分，把答案填在橫線上。7113. T 14. 11315.24007116. T6對角線的長為2 店，底面邊長為13. 正四棱錐的體積為12,底面/2 也, 底面積為12,所以正四棱錐的高為 3,則側面與底面所成的面角的正切 tana=面角等于四./2x - y > -114. < 3x + 2y < 23, 在坐標系中畫出圖象，三條線的交點分別是 A(0, 1), B(7, 1), C(3, 7), 在 AABC J>1中滿足z = 2y - x的最大值是點 C,代入得最大值等于11

15、.15. 先安排甲、乙兩人在后 5天值班，有 #=20 種排法，其余 5人再進行排列，有定 =120 種排法，所 以共有 20x120=2400 種安排方法。16. f '(x) = -V3 sin( V3x + A?),1則 f (%) + f 1 (x) = cos(V3x + A?) - A/3 sin(V3x +(p) = 2sin( - V3x - (p), 為奇函數， .6 6三 . 解答題：17. 解：由 A+B+C=7i,得旦鼻=奇 一y，所以有cos旦鼻 =siny .B+CA 2A AcosA+2cos =cosA+2siny =1 2sin+ zsin'y

16、A 23=2(sin 萬-2) 2+ 2當sin* =§即A=§時，cosA+2cosA|a取得最大值為§18. 解 : 設 A 表示事件“一個試驗組中，服用 A 有效的小鼠有 i 只”， i=0,l,2,B,表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小鼠有i只”，i=0,l,2,1 2 4 2 2 4 1 1 1依題意有：P(A I)=2xa ¥= 6, P(A2 ) =3. P(B。)=2 ><2 =命P(Bi)=2x| 4 = | , 所求概率為 : P=P(B0-Ai)+P(B 0-A2)+P(B rA2) (II) &的可能值為

17、0,1,2,3 且 &? B(3, §). P(&=0)=( )3=§ 昌， P(A=l)=c 31xAx(|) 2=A|4-9 4X,P(a=2)=C 32X(|)2X| =祟,P(&=3)=()3=若&的分布列為：g0123p125100802436472924372944數學期望:E&=3x = 3 .19. 解法一：(I)由已知 /2±M N , / 2±Zi , MNA/i =M,可得平面 ABN.由已知 MN± Zi, AM=MB=MN. 可知AN=NB 且AN± NB.又AN為AC

18、在平面 ABN內的射影.?.AC _LNB(II ) VRtACANARtACNB,乙 AC=BC,XBAnZACB=60°illI : l: AABC 為正三角形.0C?.?RtAANB竺R1ACNB, . ?.NC=NA=NB,因此N在平面 ABC內的射影 H是正三 角 形ABC的中心，連結 BH.ZNBH 為NB與平面ABC所成的角.在 RtZXNHB 中，cosZNBH=和解法二：如圖，建立空間直角坐標系M- xyz.令MN=1,則有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),(I )VM N 是小&的公垂線，仙2, .，2上平面ABN.，2平行于z軸.故

19、 可設C(O,l,m).于是 成=(l,l,m),屜=(1, 1,0).丄 At- N6=1+(-1 )+0=0 .LAC _LNB./. | A卻=IBAI,又已知 /ACB = 60 ". ZiABC(II)VAA =(1,1,m), 為正三角形,AC=BC=AB=2.在 RtACNB aa6=72.可得 NC=/，故 C(0,l, /).連結 MC,作 NH± M C 于 H,設 H(0,Z, 舊) (Z>0). .示 l=(0,l 入一桐入)，藏=(0,1, V2).曲藏=l-X-2Z=0,| ,.?.H (0, I，平)，可得脈=(0,|,平)，連結 BH,

20、則扇=(一 1,汗)，2 2?.?曲昂=0+6 § =0,.,.商昂，又 MCriBH=H".HN 1 平面 ABC,ZNBH為NB與平面 ABC所成的角.又BN=( 1,1,0),? cos 匕NBHV3220.解：橢圓方程可寫為: =1a2 b2=3j +春 式中,史寸j得a2=4,b2=/f以曲線、a = 2C的方程為x24-十=1 (x>0,y>0). y=2WI x2 (0<x<l) y '=2x設 P(x°,yo),因 P 在 C 上，有 Ovx°v|, yo=2VI ZX4xny= (x x °+y

21、 °.設 A(x,。)和B(0,y),由切線方程得，y -部,得切線AB的方程為：i 4x=- , y=-.Ix=xo由61V1=6A +拓得M的坐標為(x,y),由x() ,yo滿足C的方程，得點 M的軌跡方程為14+ 礦=1 (x>l,y>2)2 2 2 2(II) 0A11 2= x2+y , y = =4+1 A1I 6j?ll 2= x2- I+A2ZJ+5>4+5=9.且當 x2-仁aZ7，即 X=A/3>1 時，上式取等號故1。商1的最小值為3.221.解(I )f(x)的定義域為(一 8)u (1,+匆對f(x)求導數得f'(x)= a,客a 宓7v2_(i)當 a=2 時，f, (x)=2 e-2x, f '(x)在(一 oo,0), (0,1)和(l,+ oo)均大于 0所以oo,l), (l,+oo).為增函x)f(x)在(一(ii)當0<a<2 時,f'(x)>0, f(x)在(一 8,1), (1,+s)為增函數(iii)當a>2 時，0< <1,令 f，(x)=0 ,解得Xi=a當X變化時,f，(x)和f(x)的變化情況如下表：X(° /a-2 (° a)N/a-2a)la-27a ,1)(l.+ o)f'(x