1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第5講 數(shù)形結合思想在解題中的應用一、知識整合 1數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷。所謂數(shù)形結合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法。數(shù)形結合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質，它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結合。2實現(xiàn)數(shù)形結合，常與以下內容有關：實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系；函數(shù)與圖象的對應關系；曲線與方程的對應關系；以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復數(shù)、三角函數(shù)等；所給的等

2、式或代數(shù)式的結構含有明顯的幾何意義。 3縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數(shù)形結合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結合的重點是研究“以形助數(shù)”。 4數(shù)形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域，最值問題中，在求復數(shù)和三角函數(shù)問題中，運用數(shù)形結合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。二、例題分析 例1. 分析：， 例2. 解：法一、常規(guī)解法： 法二、數(shù)形結合解法： 例3. A. 1個B. 2個C.

3、 3個D. 1個或2個或3個 分析：出兩個函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個交點，故方程有2個實根，選（B）。 例4. 分析： 例5. 分析：構造直線的截距的方法來求之。 截距。 例6. 分析：以3為半徑的圓在x軸上方的部分，（如圖），而N則表示一條直線，其斜率k=1，縱截 例7. MF1的中點，O表示原點，則|ON|=（ ） 分析：設橢圓另一焦點為F2，（如圖）， 又注意到N、O各為MF1、F1F2的中點， ON是MF1F2的中位線， 若聯(lián)想到第二定義，可以確定點M的坐標，進而求MF1中點的坐標，最后利用兩點間的距離公式求出|ON|，但這樣就增加了計算量，方法較之顯得有些復雜。例8. 分析： 例9

4、. 解法一（代數(shù)法）：， 解法二（幾何法）： 例10. 分析：轉化出一元二次函數(shù)求最值；倘若對式子平方處理，將會把問題復雜化，因此該題用常規(guī)解法顯得比較困難，考慮到式中有兩個根號，故可采用兩步換元。 解： 第一象限的部分（包括端點）有公共點，（如圖） 相切于第一象限時，u取最大值 三、總結提煉數(shù)形結合思想是解答數(shù)學試題的的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題是發(fā)揮著奇特功效，復習中要以熟練技能、方法為目標，加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度。四、強化訓練見優(yōu)化設計。【模擬試題】一、選擇題： 1. 方程的實根的個數(shù)為（ ） A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個 2. 函數(shù)的圖象恰

5、有兩個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 3. 設命題甲：，命題乙：，則甲是乙成立的（ ） A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件 C. 充要條件D. 不充分也不必要條件 4. 適合且的復數(shù)z的個數(shù)為（ ） A. 0個B. 1個C. 2個D. 4個 5. 若不等式的解集為則a的值為（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 6. 已知復數(shù)的最大值為（ ） A. B. C. D. 7. 若時，不等式恒成立，則a的取值范圍為（ ） A. （0，1）B. （1，2）C. （1，2D. 1，2 8. 定義在R上的函數(shù)上為增函數(shù)，且函數(shù)的圖象的對稱軸為，則（ ） A. B. C.

6、 D. 二、填空題： 9. 若復數(shù)z滿足，則的最大值為_。 10. 若對任意實數(shù)t，都有，則、由小到大依次為_。 11. 若關于x的方程有四個不相等的實根，則實數(shù)m的取值范圍為_。 12. 函數(shù)的最小值為_。 13. 若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是_。三、解答題： 14. 若方程上有唯一解， 求m的取值范圍。 15. 若不等式的解集為A，且，求a的取值范圍。 16. 設，試求下述方程有解時k的取值范圍。 【試題答案】一、選擇題 1. C 提示：畫出在同一坐標系中的圖象，即可。 2. D 提示：畫出的圖象 情形1： 情形2： 3. A 4. C 提示：|Z1|=1表示以（1，

7、0）為圓心，以1為半徑的圓，顯然點Z對應的復數(shù)滿足條件，另外，點O對應的復數(shù)O，因其輻角是多值，它也滿足，故滿足條件的z有兩個。 5. B 提示：畫出的圖象，依題意，從而。 6. C 提示：由可知，z2對應的點在以（0，0）為圓心，以2為半徑的圓上， 而 表示復數(shù)對應的點的距離， 結合圖形，易知，此距離的最大值為： 7. C 提示：令， 若a>1，兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當時， 要使，只需使，綜上可知 當時，不等式對恒成立。 若，兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當時，不等式恒不成立。 可見應選C 8. A 提示：f(x+2)的圖象是由f(x)的圖象向左平移2個單位而得到的，又知f(x+2)的

8、圖象關于直線x=0（即y軸）對稱，故可推知，f(x)的圖象關于直線x=2對稱，由f(x)在（）上為增函數(shù)，可知，f(x)在上為減函數(shù)，依此易比較函數(shù)值的大小。二、填空題： 9. 提示：|Z|=2表示以原點為原心，以2為半徑的圓，即滿足|Z|=2的復數(shù)Z對應的點在圓O上運動，（如下圖），而|z+1i|=|z（1+i）|表示復數(shù)Z與1+i對應的兩點的距離。 由圖形，易知，該距離的最大值為。 10. 提示：由知，f(x)的圖象關于直線x=2對稱，又為二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線，由f(x)的圖象，易知的大小。 11. 提示：設，畫出兩函數(shù)圖象示意圖，要使方程有四個不相等實根，只需使 12. 最

9、小值為 提示：對，聯(lián)想到兩點的距離公式，它表示點（x，1）到（1，0）的距離，表示點（x，1）到點（3，3）的距離，于是表示動點（x，1）到兩個定點（1，0）、（3，3）的距離之和，結合圖形，易得。 13. 提示：y=xm表示傾角為45°，縱截距為m的直線方程，而則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線的縱截距，即。三、解答題： 14. 解：原方程等價于 令，在同一坐標系內，畫出它們的圖象， 其中注意，當且僅當兩函數(shù)的圖象在0，3）上有唯一公共點時，原方程有唯一解，由下圖可見，當m=1，或時，原方程有唯一解，因此m的取值范圍為3，01。 注：一般地，研究方程時，需先將其作等價變形，使之簡化，再利用函數(shù)圖象的直觀性研究方程的解的情況。 15. 解：令表示以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在x軸的上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，表示過原點的直線系，不等式的解即是兩函數(shù)圖象中半圓在直線上方的部分所對應的x值。 由于不等式解集