1、 線性代數課后題詳解第一章 行列式1.利用對角線法則計算下列三階行列式：相信自己加油（1）； （2）（3）； （4）.解 注意看過程解答（1）=（2）（3）（4）2.按自然數從小到大為標準次序，求下列各排列的逆序數：耐心成就大業（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3；（5）1 3 2 4 ；（6）1 3 2.解（1）逆序數為0（2）逆序數為4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序數為5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1（4）逆序數為3：2 1，4 1，4 3（5）逆序數為：3 2 1個5 2，5 4 2個7 2，7 4，7 6 3個

2、 2， 4， 6，個（6）逆序數為3 2 1個5 2，5 4 2個 2， 4， 6，個4 2 1個6 2，6 4 2個 2， 4， 6，個3.寫出四階行列式中含有因子的項.解 由定義知，四階行列式的一般項為，其中為的逆序數由于已固定，只能形如，即1324或1342.對應的分別為或和為所求.4.計算下列各行列式：多練習方能成大財（1）；（2）；（3）；（4）解(1)=0(2)=0(3)=(4)=5.證明:(1)=;(2)=;(3);(4);(5).證明(1)(2)(3) (4) =(5) 用數學歸納法證明假設對于階行列式命題成立，即所以，對于階行列式命題成立.6.設階行列式,把上下翻轉、或逆時針

3、旋轉、或依副對角線翻轉，依次得， ，證明.證明同理可證7.計算下列各行列式（）：(1),其中對角線上元素都是，未寫出的元素都是0；(2);(3) ;提示：利用德蒙德行列式的結果(4) ;(5);(6),.解(1) ()(2)將第一行乘分別加到其余各行，得再將各列都加到第一列上，得(3)從第行開始，第行經過次相鄰對換，換到第1行，第行經次對換換到第2行，經次行交換，得此行列式為德蒙德行列式(4)由此得遞推公式：即 而 得 (5)=(6)8.用克萊姆法則解下列方程組：解(1)(2)()9.有非零解？解，齊次線性方程組有非零解，則即 得 不難驗證，當該齊次線性方程組確有非零解.10.有非零解？解齊次

4、線性方程組有非零解，則得 不難驗證，當時，該齊次線性方程組確有非零解.第二章矩陣與其運算1已知線性變換：求從變量到變量的線性變換解由已知：故 2已知兩個線性變換求從到的線性變換解 由已知所以有 3設, 求解4計算下列乘積：(1); (2); (3);(4);(5);(6).解(1)(2)(3)(4)(5)(6)5設,，問：(1)嗎?(2)嗎?(3)嗎?解(1),則(2)但故(3)而故 6舉反列說明下列命題是錯誤的:（）若,則;（）若,則或;（）若,且,則.解 (1)取,但(2)取,但且(3)取且 但7設,求.解 利用數學歸納法證明:當時,顯然成立,假設時成立,則時由數學歸納法原理知:8設,求.

5、解 首先觀察由此推測 用數學歸納法證明: 當時,顯然成立. 假設時成立，則時，由數學歸納法原理知:9設為階矩陣，且為對稱矩陣，證明也是對稱矩陣.證明已知：則 從而 也是對稱矩陣.10設都是階對稱矩陣，證明是對稱矩陣的充分必要條件是.證明由已知：充分性：即是對稱矩陣.必要性：.11求下列矩陣的逆矩陣：(1)； (2)； (3); (4);(5); (6)解(1)故 (2) 故存在從而 (3), 故存在而 故 (4)故(5) 故存在而 從而(6)由對角矩陣的性質知 12解下列矩陣方程：(1); (2);(3);(4).解(1)(2)(3)(4)13利用逆矩陣解下列線性方程組:(1) (2)解(1)

6、方程組可表示為 故 從而有 (2) 方程組可表示為 故 故有 14設(為正整數),證明.證明一方面，另一方面，由有故兩端同時右乘就有15設方陣滿足,證明與都可逆,并求與.證明由得兩端同時取行列式:即,故所以可逆,而 故也可逆.由又由16設,求.解由可得故17設,其中,求.解故所以而 故18設次多項式,記稱為方陣的次多項式.(1)設,證明:,;(2)設,證明:,.證明(1) i)利用數學歸納法.當時命題成立,假設時成立,則時故命題成立.ii)左邊=右邊(2) i)利用數學歸納法.當時成立假設時成立,則時成立,故命題成立,即 ii) 證明右邊=左邊19設階矩陣的伴隨矩陣為，證明：(1)若,則;(2

7、).證明(1)用反證法證明假設則有由此得這與矛盾，故當時有(2)由于, 則取行列式得到:若 則若由(1)知此時命題也成立故有20取,驗證檢驗: 而故21設,求與解，令則故22設階矩陣與階矩陣都可逆,求解 將分塊為其中 為矩陣,為矩陣為矩陣,為矩陣則由此得到故 第三章矩陣的初等變換與線性方程組1把下列矩陣化為行最簡形矩陣：(1); (2);(3); (4).解(1)(2)(3)(4)2在秩是的矩陣中,有沒有等于0的階子式?有沒有等于0的階子式?解在秩是的矩陣中,可能存在等于0的階子式,也可能存在等于0的階子式.例如，同時存在等于0的3階子式和2階子式.3從矩陣中劃去一行得到矩陣,問的秩的關系怎樣

8、?解 設，且的某個階子式.矩陣是由矩陣劃去一行得到的，所以在中能找到與一樣的階子式，由于，故而.4求作一個秩是4的方陣,它的兩個行向量是,解設為五維向量,且,則所求方陣可為秩為4,不妨設取故滿足條件的一個方陣為5求下列矩陣的秩,并求一個最高階非零子式：(1); (2)；(3).解(1)二階子式(2).二階子式(3)秩為3三階子式6求解下列齊次線性方程組:(1) (2)(3) (4)解(1)對系數矩陣實施行變換:即得故方程組的解為(2)對系數矩陣實施行變換:即得故方程組的解為(3)對系數矩陣實施行變換:即得故方程組的解為(4)對系數矩陣實施行變換:即得故方程組的解為7求解下列非齊次線性方程組:(

9、1) (2)(3)(4)解(1)對系數的增廣矩陣施行行變換,有而,故方程組無解(2)對系數的增廣矩陣施行行變換:即得亦即(3)對系數的增廣矩陣施行行變換:即得即(4) 對系數的增廣矩陣施行行變換:即得即8取何值時,非齊次線性方程組(1)有唯一解；(2)無解；(3)有無窮多個解?解(1),即時方程組有唯一解.(2)由得時,方程組無解.(3),由,得時,方程組有無窮多個解.9非齊次線性方程組當取何值時有解？并求出它的解解方程組有解，須得當時,方程組解為當時,方程組解為10設問為何值時,此方程組有唯一解、無解或有無窮多解？并在有無窮多解時求解解當,即且時，有唯一解.當且，即時，無解.當且，即時，有無

10、窮多解.此時，增廣矩陣為原方程組的解為 ()11試利用矩陣的初等變換，求下列方陣的逆矩陣：(1); (2).解（1）故逆矩陣為(2)故逆矩陣為12(1)設,求使;(2) 設,求使.解(1)(2)第四章向量組的線性相關性1設,求與.解 2設其中,求解由整理得3舉例說明下列各命題是錯誤的:(1)若向量組是線性相關的,則可由線性表示.(2)若有不全為0的數使成立,則線性相關, 亦線性相關.(3)若只有當全為0時,等式才能成立,則線性無關, 亦線性無關.(4)若線性相關, 亦線性相關,則有不全為0的數,使同時成立.解 (1) 設滿足線性相關,但不能由線性表示.(2) 有不全為零的數使原式可化為取其中為

11、單位向量,則上式成立,而,均線性相關(3) 由 (僅當)線性無關取取為線性無關組滿足以上條件,但不能說是線性無關的.(4)與題設矛盾.4設,證明向量組線性相關.證明設有使得則(1) 若線性相關,則存在不全為零的數,;由不全為零,知不全為零,即線性相關.(2) 若線性無關,則由知此齊次方程存在非零解則線性相關.綜合得證.5設,且向量組線性無關,證明向量組線性無關.證明設則因向量組線性無關,故因為故方程組只有零解則所以線性無關6利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個最大無關組:(1) ; (2) .解 (1)所以第1、2、3列構成一個最大無關組.(2)，所以第1、2、3列構成一個最大無關組7求下

12、列向量組的秩,并求一個最大無關組:(1),;(2),.解(1)線性相關.由秩為2,一組最大線性無關組為.(2) 秩為2,最大線性無關組為.8設是一組維向量,已知維單位坐標向量能由它們線性表示,證明線性無關.證明 維單位向量線性無關不妨設:所以兩邊取行列式，得由即維向量組所構成矩陣的秩為故線性無關.9設是一組維向量,證明它們線性無關的充分必要條件是：任一維向量都可由它們線性表示.證明設為一組維單位向量，對于任意維向量則有即任一維向量都可由單位向量線性表示.線性無關，且能由單位向量線性表示，即故兩邊取行列式，得由令則由即都能由線性表示，因為任一維向量能由單位向量線性表示，故任一維向量都可以由線性表

13、示.已知任一維向量都可由線性表示，則單位向量組：可由線性表示，由8題知線性無關.10設向量組:的秩為,向量組:的秩向量組:的秩,證明證明 設的最大線性無關組分別為,含有的向量個數(秩)分別為,則分別與等價,易知均可由線性表示,則秩()秩(),秩()秩()，即設與中的向量共同構成向量組,則均可由線性表示,即可由線性表示,從而可由線性表示，所以秩()秩(),為階矩陣，所以秩()即.11.證明.證明:設且行向量組的最大無關組分別為顯然,存在矩陣,使得,因此12設向量組能由向量組線性表示為，其中為矩陣，且組線性無關。證明組線性無關的充分必要條件是矩陣的秩.證明若組線性無關令則有由定理知由組:線性無關知

14、，故.又知為階矩陣則由于向量組:能由向量組:線性表示,則綜上所述知即若令,其中為實數則有又,則由于線性無關,所以即（1）由于則(1)式等價于下列方程組:由于所以方程組只有零解.所以線性無關,證畢.13設問是不是向量空間？為什么？證明集合成為向量空間只需滿足條件：若，則若，則是向量空間，因為：且故故不是向量空間，因為：故故當時，14試證:由所生成的向量空間就是.證明設于是故線性無關.由于均為三維,且秩為3,所以為此三維空間的一組基,故由所生成的向量空間就是.15由所生成的向量空間記作,由所生成的向量空間記作,試證.證明設任取中一向量,可寫成,要證,從而得由得上式中,把看成已知數,把看成未知數有唯

15、一解同理可證: ()故16驗證為的一個基,并把用這個基線性表示.解 由于即矩陣的秩為3故線性無關，則為的一個基.設，則故設，則故線性表示為17求下列齊次線性方程組的基礎解系:(1) (2)(3).解(1)所以原方程組等價于取得取得因此基礎解系為(2)所以原方程組等價于取得取得因此基礎解系為(3)原方程組即為取得取得取得所以基礎解系為18設,求一個矩陣,使,且.解由于,所以可設則由可得,解此非齊次線性方程組可得唯一解，故所求矩陣19求一個齊次線性方程組,使它的基礎解系為.解顯然原方程組的通解為,()即消去得此即所求的齊次線性方程組.20設四元非齊次線性方程組的系數矩陣的秩為3，已知是它的三個解向

16、量且，求該方程組的通解解 由于矩陣的秩為3，一維故其對應的齊次線性方程組的基礎解系含有一個向量，且由于均為方程組的解，由非齊次線性方程組解的結構性質得為其基礎解系向量，故此方程組的通解：，21設都是階方陣，且，證明證明 設的秩為，的秩為，則由知，的每一列向量都是以為系數矩陣的齊次線性方程組的解向量(1) 當時,該齊次線性方程組只有零解,故此時,，結論成立(2)當時,該齊次方程組的基礎解系中含有個向量,從而的列向量組的秩,即,此時,結論成立。綜上,22設階矩陣滿足,為階單位矩陣,證明(提示:利用題11與題21的結論)證明所以由21題所證可知又由11題所證可知由此23求下列非齊次方程組的一個解與對

17、應的齊次線性方程組的基礎解系：(1) (2)解(1)(2) 24設是非齊次線性方程組的一個解,是對應的齊次線性方程組的一個基礎解系,證明:(1)線性無關；(2)線性無關。證明 (1)反證法,假設線性相關,則存在著不全為0的數使得下式成立: (1)其中,否則,線性相關,而與基礎解系不是線性相關的產生矛盾。由于為特解，為基礎解系，故得而由(1)式可得故，而題中,該方程組為非齊次線性方程組,得產生矛盾,假設不成立, 故線性無關.(2)反證法,假使線性相關.則存在著不全為零的數使得下式成立:（2）即1) 若,由于是線性無關的一組基礎解2) 系,故,由(2)式得此時與假設矛盾.3) 若由題(1)知, 線

18、性無關,故與假設矛盾,綜上,假設不成立,原命題得證.25.設是非齊次線性方程組的個解，為實數，滿足.證明也是它的解.證明 由于是非齊次線性方程組的個解.故有 而即 （）從而也是方程的解26設非齊次線性方程組的系數矩陣的秩為，是它的個線性無關的解(由題24知它確有個線性無關的解)試證它的任一解可表示為（其中）.證明設為的任一解由題設知：線性無關且均為的解取，則它的均為的解用反證法證：線性無關反設它們線性相關，則存在不全為零的數：使得即亦即由線性無關知矛盾，故假設不對線性無關，為的一組基由于均為的解，所以為的解可由線性表出令則,證畢第五章 相似矩陣與二次型1試用施密特法把下列向量組正交化：(1)；

19、(2)解(1)根據施密特正交化方法:令，故正交化后得:(2)根據施密特正交化方法令故正交化后得 2下列矩陣是不是正交陣:(1); (2)解(1)第一個行向量非單位向量,故不是正交陣(2)該方陣每一個行向量均是單位向量，且兩兩正交，故為正交陣3設與都是階正交陣，證明也是正交陣證明 因為是階正交陣，故，故也是正交陣4求下列矩陣的特征值和特征向量:(1); (2); (3).并問它們的特征向量是否兩兩正交?解 (1)故的特征值為當時,解方程,由 得基礎解系所以是對應于的全部特征值向量當時,解方程,由 得基礎解系所以是對應于的全部特征向量故不正交(2)故的特征值為當時，解方程，由得基礎解系故是對應于的

20、全部特征值向量.當時,解方程，由得基礎解系故是對應于的全部特征值向量當時，解方程，由得基礎解系故是對應于的全部特征值向量，所以兩兩正交(3) =, 當時，取為自由未知量，并令，設.故基礎解系為當時，可得基礎解系綜上所述可知原矩陣的特征向量為5設方陣與相似，求.解 方陣與相似，則與的特征多項式一樣，即6設都是階方陣，且，證明與相似證明 則可逆 則與相似7設3階方陣的特征值為；對應的特征向量依次為，求.解 根據特征向量的性質知可逆,得:可得得8設3階對稱矩陣的特征值6，3，3，與特征值6對應的特征向量為,求.解 設由，知3是的二重特征值,根據實對稱矩陣的性質定理知的秩為1，故利用可推出秩為1.則存在實的使得成立由解得得9試求一個正交的相似變換矩陣,將下列對稱矩陣化為對角矩陣:(