1、第1 1頁共 2323 頁2020 屆湖南省株洲市高三一模數學(文)試題、單選題1 i1 1 .已知復數z，其中 i i 為虛數單位2 iA A .邁3B B.衛3【答案】C C【解析】 直接利用復數的除法運算求得復數【詳解】則|z()C C .邁D D .上55z z,再根據模的定義即可求得復數的模解：Q z1i2i1 i2 i13zi2 i2 i55即：J1232怖| y555故選 C C.【點睛】本題考查復數模的求法，是基礎的計算題2 2.設集合I I：. . I I ，則()A A . (1,2)(1,2)B B. 1,21,2C C. (1,2(1,2D D . 1,2)1,2)【答

2、案】C C【解析】由已知，:/- ：.：所以，選.【考點】絕對值不等式的解法，對數函數的性質，集合的交集.3 3 .已知a、b為實數，則log3a log3b是 a a b b 的( )條件A A .充分不必要C C 充要條件【答案】A A【解析】求出log3alog3b的等價條件，然后根據充分條件和必要條件的定義進行判斷即可. .B B 必要不充分D D.不充分也不必要故選：B.B.第 2 2 頁共 2323 頁【詳解】第3 3頁共 2323 頁由log3a log3b得a b 0，此時 a a b b 成立, 由 a a b b，此時當a、b有負數時，Iog3a log3b不成立，即Tog

3、3a log3b”是“a a b b ”的充分不必要條件，故選：A.A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據不等式的關系是解決本題的關鍵，考查推理能力，屬于基礎題. .4 4.已知向量a、b滿足，r a43, |t1, a a b b，則r r a2b( )A A. 73B B.C. 77D D.3【答案】C C【解析】可先得出a b 0，從而進行數量積的運算即可求出r r出a 2b的值. .【詳解】Qa a b b，a b 0，且a運， 因此，a 2b 77. .故選：C.【點睛】 本題考查了向量垂直的充要條件，向量數量積的運算，向量長度的求法，考查了計算能力，屬于基礎題5 5

4、 .等差數列an的前n項的和是Sn,ai1,S99S3，則an()A A.nB.2n 1C C.3n 2D D.2 n【答案】B B【解析】設等差數列an的公差為d，由a11,S99S3，可得9 36d 9 3 3d解得d，再利用等差數列的通項公式即可得出結果. .【詳解】設等差數列an的公差為d , Q 3 1,S99S3,9 36d 9 3 3d，解得d 2. .因此，an12 n 1 2n 1. .r r22rr2a 2ba 4ab4b 3 4 7,2r b2 ra7,從而可得故選：B.B.第 2 2 頁共 2323 頁【點睛】本題考查了等差數列的通項公式的求解，涉及等差數列求和公式的應

5、用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題 雙曲線的離心率e故選：B.B.【點睛】 本題考查雙曲線的性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題 7 7 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（6 6.已知雙曲線方程2 2X9 b1，其焦點3，則雙曲線的離心率A A .遼2B.,2【答【解求出雙曲線的焦點到條漸近線的距離，可得求出c，即可求出雙曲線的離心率 【詳雙曲線方程2&1的一條漸近線為bx ayX2Q雙曲線方程92令1的焦點到一條漸近線的距離為第5 5頁共 2323 頁【詳解】本題考查根據三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關鍵，考查空間想象能力與計算能力，屬于中等題正視

6、圖3側視圖俯視圖B B.24C C.60D D.80【答【解判斷幾何體的形狀，禾U用三視圖的數據求解幾何體的體積即可幾何體的直觀圖如圖，是多面體EF ABCD，是長方體的一部分,幾何體的體積為：132114 3 3 24. .3 2【點第6 6頁共 2323 頁8 8 如圖，AB是圓0直徑,C、D是弧AB的三等分點，M、N是線段AB的三等unm分點，若AB 12，貝yMDumrNC第7 7頁共 2323 頁A A .26B B.20C C. 1616D D.12【答案】A A【解析】根據向量加法的三角形法則， 把要求向量數量積的兩個向量轉化為兩個向量和的形式，根據向量數量積的運算律，展開代入向

7、量的模長和夾角，得到結果 【詳解】ujuruuuuuruurLOT uuuQ MDMOOD，NCNOOC，UULVUUUV uuuv uuuvuuu/uuu/uuuv uuuv uuuu uuvuu/ uuu/ uuuv uuvMD NCMOODNOOCMONOMO OCODNOOD OC1114 2 62 66 626. .222故選：A.A.【點睛】本題考查向量的三角形法則，考查向量的數量積，考查兩個向量的夾角，是一個把向量 化未知為已知的問題，題目比較新穎 2上x9 9 .函數f x|-一的圖象大致是（）31第8 8頁共 2323 頁第9 9頁共 2323 頁【答案】D D【解析】 根據

8、題意，分析函數的奇偶性，排除 除 C C,即可得答案. .【詳解】X2根據題意，函數f X一，其定義域為31函數y f X為非奇非偶函數，排除 A A、B B ；又由X時，f X 0，排除 C.C.故選：D.D.【點睛】本題考查函數的圖象分析，注意分析函數的奇偶性以及單調性，考查推理能力，屬于中等題 A A 圖象關于點,0對稱12C C 在0,一上遞增61010 若將函數X 2sin X6 圖象上各點的橫坐標縮短到原來的-(縱坐標不2變)，再向下平移一個單位得到的函數g X的圖象，函數g X(A A、B B,進而分析函數值的變化趨勢，排-，則2第1010頁共 2323 頁B B .最小正周期是

9、 i iD D.在0,6上最大值是1第1111頁共 2323 頁【答案】C C【解析】 根據三角函數的圖象變換關系求出函數y g x的解析式，結合三角函數的性質分別進行判斷即可 【詳解】1若將函數f x2sin x 圖象上各點的橫坐標縮短到原來的-（縱坐標不變），6 2得到函數y 2sin 2x舌的圖象,A.A.20，則函數g x關于，1對稱， 故 A A 錯誤，12612B.B.函數的周期T22-，故 B B 錯誤，C.C.當x 0,時，2x，此時函數6 6 2y g x為增函數，故 C C 正確,6D.由C知當x 0,時，2x,，此時函數y g x無最大值，故D錯6 6 6 2誤，故選：C

10、.C.【點睛】本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角函數的圖象變換法則求出函數的解析式，以及利用三角函數的性質是解決本題的關鍵，難度不大1111.梅賽德斯- -奔馳（Mercedes-BenzMercedes-Benz ）創立于 19001900 年，是世界上最成功的高檔汽車品牌之一，其經典的三叉星”商標象征著陸上、水上和空中的機械化 已知該商標由 1 1 個向下平移一個單位得到的函數y g x的圖象，貝y g x2sin2x -6圓形和 6 6 個全等的三角形組成（如圖），點O為圓心,OAB 15，若在圓內任取一第1212頁共 2323 頁點，則此點取自陰影部分的概率為（）第1313頁共

11、 2323 頁【答案】D D【解析】分別求出圓與陰影部分的面積，作商即可得到結果【詳解】故選 D.D.【點睛】本題考查幾何概型的面積概型，合理求出陰影部分的面積是解題的關鍵，考查學生的計6；3 94由已知可得AOB60，貝V ABO 105o. .又sin 15sin 4530sin 105sin 45604.6則SAOB-482所以陰影部分的面積為/6 .2廠S 24,3 36PS 166.3 94A.不妨設OA 4，則由正弦定理可得圓O的面積為S 16OB OAsin150第1414頁共 2323 頁算能力，屬于中檔題 11X1212.已知exln x e a對任意xxA A.(0,e 1

12、)C C.( ,e 1)(0,1)恒成立，則實數a的取值范圍為(B B .(0,e 1D D .( ,e 1第1515頁共 2323 頁【答案】D D_ 1 1 1【解析】先由題意得到exIn a a e，令t，得到eInt at a e對x xx任意t (1,)恒成立；令h(t) etInt at a(t 1)，對函數求導，用導數的方法研究其單調性，分別討論a e 1，a e 1兩種情況，即可得出結果 【詳解】1由exIn x e1 xa可得x11:eI nax1-axe,令t1,t 1,x由題可得：etIn t ata e對任意t (1,)恒成立；令h(t)etIntat a(t1)，則h

13、(t)t1e - ta(t1),所以h (t)et!0在tt21上顯然恒成立，所以h(t)在(1,)上單增，所以h(t) h(1)e 1 a當ae 1時，對t (1,)恒成立，所以h(t)h(1) e，符合題意 當ae 1時，1 h (t)在(1,)上遞增可知，to(1,)使得h t0且x1,to時，h(t) 0,x to,時,h(t)0 所以h(t)在1,to上單減所以h(t) h(1)e，綜上ae 1. .故選 D D【點睛】本題主要考查由不等式恒成立求參數的問題，熟記導數的方法研究函數單調性，最值等,屬于常考題型 二、填空題131313 .若x 0,y 0，且xy 3，則一一的最小值為

14、_. .x y【答案】2【解析】由已知結合基本不等式即可直接求解最值. .【詳解】第1616頁共 2323 頁131 3Q x 0,y0，且xy3，則2 2,xy.x y1當且僅當一3且xy3, 即x1,y y 3 3 時取等號，xy13因此，的最小值為2. .x y故答案為：2. .【點睛】本題主要考查了基本不等式在求解最值中的應用，屬于基礎試題1414 在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述 兩顆星的星等與亮度滿足E1，其中星等為 m mk的星的亮度為 E Ek(k=1,2k=1,2). .已知太陽的星等是T26.7 7,E2【答案】101010.1【詳解】【點睛】則直線L的斜率

15、是【答案】m2-m1%2天狼星的星等是-.45.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為【解析】將m21.45, m26.7代入m2-m1jg5旦即可求得. .E2兩顆星的星等與亮度滿足m2m1|lgf，令m22E21.45,m126.7,lg旦2m2m1E2526.7)10.1,旦E210.110本題考查了對數的運算， 屬基礎題. .21515 .已知拋物線E : y2px p0的焦點為F,過點F的直線L與拋物線E交于A、B兩點，且直線L與圓x -2p2交于C、D兩點,且|AB 3 CD,第1717頁共 2323 頁2【解析】根據圓的性質，求得CD,設直線L的方程，代入拋物線方程，根據韋達定理及拋

16、物線的焦點弦公式，即可求得AB，根據題意即可求得直線L的斜率. .第1818頁共 2323 頁故答案為:【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理及拋物線的焦點弦公式的應用, 轉化思想，計算能力，屬于中檔題21616 .正項等比數列an滿足：a21,a864，則數列4n a.的前n項和是【答案】n22n 3 2n 16【解析】先設正項等比數列an的公比為q q 0，然后根據等比數列的通項公式及 題干可計算出首項 印和公比 q 的值，即可計算出數列an的通項公式，再計算出數列4n a.的通項公式，再連續兩次運用錯位相減法可計算出數列4n a.的前n項和. .【詳解】由題意，設正項等比數

17、列an的公比為q q 0，則a8a2q6q664，解得q= 2,a1a21，an12n12n2,n N*. .q 22令bn4n2an, 則bn4n22n 2n22n. .設數列4n2an的前n項和為Tn,則Tn122122223223n22n,1從這5天中任選2天，記這2天藥用昆蟲的產卵數分別為m、n，求 事件m,n均不小于24”的概率？【詳圓x I y2p2的圓心為F導0，半徑為P，所以CD 2p,設直線L的斜率為k，則直線L的方程為y代入y22px可得k2x2k22 px設A x-i, y-i、B X2, y2，則X1k22所以ABx1x2p2p 1I?X2k22p，解得k考查第1919

18、頁共 2323 頁2Tn12222223n 122nn22n 1兩式相減，可得Tn11 221221222322223n2n 12n2n2* 11 213 225 232n 1 2nn22n 1,2，可得2Tn1 223 232n3n22n 12n12n2n2,，可得Tn1 212 222 232n2n2 n 21n 12n 1 22n2n21n 22 2n 112* 1228 1 222nn2n12 28 -n2n 1 21 2n22n 3 2n 16. .故答案為：n22n 3 2n 16. .【點睛】本題主要考查等比數列的性質應用，以及連續兩次運用錯位相減法求數列的前n項和,考查了方程思

19、想，轉化和化歸思想，換元法的應用，以及邏輯思維能力和數學運算能力，屬中檔題 三、解答題1717 為響應國家 精準扶貧、精準脫貧”的號召，某貧困縣在精準推進上下功夫，在精準 扶貧上見實效 根據當地氣候特點大力發展中醫藥產業，藥用昆蟲的使用相應愈來愈多，每年春暖以后到寒冬前，昆蟲大量活動與繁殖，易于采取各種藥用昆蟲 已知一只藥用昆蟲的產卵數y(單位：個)與一定范圍內的溫度x(單位：c)有關，于是科研人員在3月份的 3131 天中隨機選取了5天進行研究，現收集了該種藥物昆蟲的5組觀察數據 如表：日期2日7 7 日15日22日30日溫度C101113128產卵數y/個222429251616立線性回歸

20、方程，再對被選取的2組數據進行檢驗 1若選取的是3月2日與3月30日這2組數據，請根據3月 7 7 日、15日和22日這三組 數據，2 科研人員確定的研究方案是：先從這5組數據中任選2組，用剩下的3組數據建第2020頁共 2323 頁求出y關于x的線性回歸方程？2若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的差的絕對值均不超過2個，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問中所得的線性回歸方程是否可靠？nX X X X y yiy y附公式：y $x $，b b 丄. .X XiX Xi 13【答案】（1 1）丄；（2 2）$25X4；是可靠的 10y【解析】（1 1）用列舉法求出基本事件數，

21、計算所求的概率值；（2 2）由數據計算平均數和回歸系數，寫出y關于X的線性回歸方程；根據線性回歸方程計算X 10、8時$的值，再驗證所得到的線性回歸方程是否可靠 . . 【詳解】（1 1）依題意得，m、n的所有情況為：22,24、22,29、22,25、22,16、24,29、24,25、24,16、29,25、29,16、25,16，共有10個，設m、n均不小于24 ”為事件A，則事件A包含的基本事件為：24,29、24,25、29,25共有3個，33P A，即事件A的概率為；1010（2 2）由數據得X12，y 263_X Xyiy$ -3- 22.5，ay26 2.5 124，人xi 1

22、y y 關于X的線性回歸方程為$2.5X4；由知，y關于X的線性回歸方程為$2.5X4，當x 10時，$2.5 10 421，且21222，當x 8時，$2.5 8 416，且16 162. .因此，所得到的線性回歸方程是可靠的. .【點睛】本題考查了線性回歸方程與古典概型的概率計算問題，是中檔題第2121頁共 2323 頁1818 .已知三角形ABC中，2acosA c cosB b cosC. .(1) 求A;(2) 若a 7,sinB sinC13遼，求三角形ABC的面積 14【答案】(1 1)A 60o；( 2 2)10、3. .【解析】(1 1)通過正弦定理化簡已知條件，利用兩角和的

23、正弦公式與二倍角公式即可求A;(2 2)利用正弦定理和余弦定理及三角形的面積公式求出結果【詳解】(1 1)三角形ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,2acosA c cosB b cosC,由正弦定理可知2sin AcosA sin BcosC sinCcosB，可得sin2A sin B C,2sin AcosA sin A,1Q 0oA 180o,sisi nAnA 0 0 ,可得cosA，因此，A 60o；2(2 2)根據正弦定理得c14，得b14sin.33B,c14sin C,3si nB si nCsi nA因為sin B sinC生3，所以b c 13.14由余弦定理

24、得72b2c22bccos60b2c 3bc，得bc40. .可得SABC1bcsi nA 103. .2【點睛】本題考查了正弦定理，余弦定理的應用，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關鍵，屬于中等題. .1919 .已知四棱柱ABCD AB1GD1的所有棱長都為 2 2,且第2222頁共 2323 頁AAB AAD BAD 60（2 2）求直線BCi與平面AAC所成的角 的正弦值. .【答案】（1 1）詳見解析；（2 2）上色.6【解析】（1 1）要證平面AAC平面AiBD，轉化為證明BD平面AAC，通過證明BD AC及AO BD可得；（2）連接OCi，由（1 1）可得

25、BCQ為直線BCi與平面AiAC所成的角，在BCiO中求角 的正弦值 另外可以用向量法求線面角 【詳解】（1 1）證明：設AC與BD的交點為0，連接A0，因為AB AD，AABAAD，AA AA1，所以AAB AAD，所以A1B A,D，又因為0是BD的中點，所以AO BD，另由BD AC且ACI A0 0，所以BD平面AAC，而BD平面ABD，所以平面AAC平面ABD. .第2323頁共 2323 頁（2 2）（法一）連接OG，由（1 1 ）知BD平面A1AC,所以BCiO為直線BCi與平面AAC所成的角故AD12AAsin602 2所以BC1AD12 3立如圖所示空間直角坐標系,G 0,孚

26、2用3uuir所以AAUUUT，AC- uuuu0,2,3,0，BC1設平面A1AC的法向量為nx,y,z，在菱形ADDA中，A AD60，又因為 BADBAD 6060，所以OB1,平面ABCD，分別以OB、0C、OZ為x、y、z z 軸，建依題意，得A 0,、3,0，A0，33 2蟲，B 1,0,0，3C 0, 3,0（法二）過0作直線0Z所以sin第2424頁共 2323 頁2 32 6Mryz 0小r所以33，令x 1，則y z 0，即n 1,0,0,2、3y 0所以sinuuun rBC1nuuuu_r-BC1n本題考查面面垂直的判定以及空間線面角的求解，其中關鍵是要找到線面角的平面

27、角, 考查了學生空間想象能力，是中檔題 2 22020 橢圓C：篤 占1 a b 0的離心率是 ,且以兩焦點間的線段為直徑的圓a2b22的內接正方形面積是2. .(1 1)求橢圓C的方程；(2)過左焦點F1的直線L與C相交于A、B兩點，直線m:x 2,過F,作垂直于L的直線與直線m交于點T，求 團 的最小值和此時的直線L的方程 |AB|【答案】X22TF1、2(1 1) -y21； (2 2)1的最小值為，此時直線L的方程為X1. .2；()AB2【解析】(1 1)由離心率及圓內接正方形的面積和a、b、c之間的關系可求出橢圓的方程；(2 2)由(1 1)可得左焦點F1的坐標，設直線L的方程與橢

28、圓聯立，求出兩根之和及兩根之積，進而求出弦長AB的值，再由題意設m的方程，令x即直線BC1與平面A,AC所成的角【點睛】即求出了T的坐標，進而求出TF|的值，求出所以TF1AB比值的表達式，由均值不等式2求出T的縱坐標,第2525頁共 2323 頁所以TF1,2所以 的最小值為，此時直線L的方程為x 1 AB2【點睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了橢圓中的最值問題， 涉及韋達定理設而不求法的應用，考查運算求解能力，屬于中檔題 求出最小值 【詳c 2a2(1(1)由題意可得2c si n42a邁，解得a22，b b21 1,所以橢圓的方程為b22X2(2(2)由(1 1)得左焦點Fi1,0

29、，顯然直線L的斜率不為設直線L的方程為xkyB X2,y2，聯立直線與橢圓的方程ky 12y22o，整理可得22ky 10，2kY1Y2TV，所以弦長y2AB 1 k22Y1Y24Y2-.1 k24k22 k2 242 k22.2 1 k22 k2由題意設直線m的方程為y，令x 2可得YTk，即T 2,k，TF1AB.1 k22、2 1 k22、；2第2626頁共 2323 頁2121 .已知函數f xxlnx asinx. .第2727頁共 2323 頁(1)當a 0時，證明：f x x 1；(2)若f x在 丄， 有且只有一個零點，求a的范圍. .【答案】【解析】(1(1)證明見解析;(1

30、(1)構造函數 F F(2)(2)171,esi nexln x x 1 x，利用導數可得其最小值大于等于 0 0 ,進而得證;(2)構造函數g xxln x，h x asinx，x1,，則函數e的圖象在上有且僅有一個交點，分類討論即可得出結論【詳解】(1)(1)0時,xln x xxlnx xx 0，則F x ln x，0,1時,時，F x 0，所以, 函數x的單調遞減區間為0,1，單調遞增區間為1,所以, 函數x在x 1處取得極小值，亦即最小值，即F xmin故xln x x 10，即xln x x 1，即得證;(2)依題意，方程xln xasin x在上只有一個解,xlnx，asinx，

31、則函數的圖象在上有且僅有個交點,ln x 1上恒成立，故函數上單調遞增,(i)當a0時，函數y1在-，單調遞增，在e 2單調遞減,第2828頁共 2323 頁1 1.1，又a 0,故.1 esi nesi nee【點睛】 本題考查利用導數證明不等式，考查函數零點與方程根的關系，考查轉化思想，數形結合思想，分類討論思想以及推理論證能力，屬于難題.1 asin exmax0，如圖,顯然，此時滿足函數y g1的圖象在 -e上有且僅有合題意;(ii(ii )當a0時，f xxln x，顯然在上有且僅有一個零點x 1，符合題意；(iii(iii )當0 0 時，函數y單調遞減，在,單調遞增，且21a sin 0，h xmax0，如圖,要使函數的圖象在上有且僅有一個交點，只需綜上, 實數a的取值范圍為1.1，esin e1，即asin -ee2第2929頁共 2323 頁（1 1）求圓 C C 的直角坐標方程;（2）過直線 J 上的一點M作一條傾斜角為45的直線L2與圓C交于A、B兩點，求MA| |MB的最小值. .2o6【答案】（