1、-1 -湖南師大附中 2020-2021 學年度高一第二學期入學自主檢測數學時量：20 分鐘滿分：50 分一、單項選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有 項是符合題目要求的.21.已知集合Mxx 2x 0，N 0,1,2，則M N（）A.0B.0,1C.0,2D.0,1,2235-，則a,b,c的大小關系是（）5A.a b cB.bcaC.cabD.cba1x13.函數f xx2的零點個數為（）2A.0 B.1 C.2D.34.已知函數fxasi nxbcos x，且f 43，則f 2021的值為（）A.1B.1 C.3 D.325.關于x的方程

2、x ax b 0，有下列四個命題：甲：x 1是該方程的根；乙：x 3是該方程的根；丙：該方程兩根之和為2； 丁：該方程兩根異號.如果只有一個假命題，則該命題是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁12 .6.若實數a，b滿足一一 ab，則ab的最小值為（）a bA.2B.2 C.2-2D.47.若函數f xx x b在區間0,2上是減函數，則實數b的取值范圍是（）A.,4B.,2C.2,D.4,8.已知函數y fx的定義域為R，則“f x無最大值”的一個充分條件是（）C2一52 - 5b3 _52一5a設-2 -12.已知Xy 1，y 0，X0.則-乩的值可能是（y 1A.f X為偶函數且關于直線

3、X 1對稱B.f X為偶函數且關于點1,1對稱C.f X為奇函數且關于直線X 1對稱D.f X為奇函數且關于點1,1對稱二、多項選擇題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得 5 分，部分選對的得 2 分，有選錯的得 0 分.9已知a 0，b 0，且a b 4.則下列結論正確的是（）A.ab 4B.丄丄1C.2a2b16D.a2b28a b10.下列幾個說法中，正確的是（）1A.已知函數f X的定義域是 一,8，則f 2X的定義域是1,32B.命題“X 0，eXX1”的否定為：“X。B.函數f x在 ，一上單調遞增12 3C.若f

4、X1f X22，則X1X2的最小值為 3D.函數fX的圖象向右平移 一個單位長度得到函數y cos3x的圖象4C 若函數fX2X2 b有兩個零點，則實數b的取值范圍是0 b 221 XD.若函數f x 4 x2ln在區間1 X1 1-1,-上的最大值與最小值分別為2 2M和m，則11.已知函數fXsin 3X的圖象關于直線X對稱，則（）224A.函數X 為奇函數12-3 -235A.B.C.1 D.-344三、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.13.已知4a2，lg x a，則,上單調遞減，則6 2x, x16.設函數f x2x已知函數f xx22x a lgx(1)求使

5、f a1的a最小值;18.(本小題滿分 12 分)已知函數f x sin2x sinx茲s2x于(1)求f x的最大值及取得最大值時x的值;、2(2)若方程f X在0,上的解為x1，x2，而，求cos x-!x2的值.319.(本小題滿分 12 分)1.已知函數f x是定義域為R的奇函數，當x0時,2x.則x0時,15.已知函數f x sin x3cos x 0，若x 0,使得f 1x f 1 x成立，則實數a的取值范圍是若函數f x為R上的單調函數,則實數a的取值范圍是四、解答題：本題共 6 個小題，共70 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.(本小題滿分10 分)(2)若對任意x

6、1,，有意義，求實數a的取值范圍.a,2x, x a,-4 -xe a設a 0,f xx是R上的偶函數.a e（1）求a的值；（2） 判斷f x在0,上是增函數還是減函數，并證明你的結論.20. （本小題滿分 12 分）倡導環保意識、生態意識，構建全社會共同參與的環境治理體系，讓生態環保思想成為社會生活中的主流文化某化工企業探索改良工藝，使排放的廢氣中含有的污染物數量逐漸減少已知改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數量r0為2mg / m3，首次改良工藝后排放的廢氣一3中含有污染物數量ri為1.94mg/m，第n次改良后所排放的廢氣中的污染物數量r.可由函數模型rnroro ”50.5n pp

7、 R,n N*給出，其中n是指改良工藝的次數.（1）試求改良后rn的函數模型；（2） 依據國家環保要求，企業所排放的廢氣中含有的污染物數量不能超過0.08mg /m3試問：至少進行多少次改良工藝后才能使企業所排放的廢氣中含有污染物數量達標？（參考數據：取lg2 0.3）21. （本小題滿分 12 分）已知函數f x10、.3sincos仝10cos2.2 2 2（1）求函數f x的最小正周期；（2）將函數f x的圖象向右平移 一個單位長度，再向下平移a a 0個單位長度后得到函6數g x的圖象，且函數g x的最大值為 2.（i）求函數g x的解析式；（ii） 證明：存在無窮多個互不相同的正整數

8、x0，使得g x00.22. （本小題滿分 12 分）2-5 -已知f xax bx 2，x R.（1）若b 1，且3 y yf x , x R，求a的取值范圍；-6 -(2)若a 1，且方程f xx212在0,2上有兩個解x,x2，求b的取值范圍，并湖南師大附中 2020-2021 學年度高一第二學期入學自主檢測證明21Xi丄X24.-7 -數學參考答案、單項選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題給出的四個選項中，只有項是符合題目要求的題號12345678答案CDBDACDD、多項選擇題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分在每小題給出的選項中，有多項符合題

9、目要求.全部選對的得 5 分，部分選對的得 2 分，有選錯的得 0 分題號9101112答案ABACDACBCD三、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.13.1015. 2【解析】Tf x在一，一上單調遞減，且f一f一0,f0,6 26 2f x sin x .3 cos x2si nx3 f L21f2sin_0,2333-kkZ3k 1k Z,331 2又由2- -一0,得03,2262.161,01四、解答題:本題共6 個小題， 共 70 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.【解析】(1)fa1即lg 3 a1，所以3 a 10,即a 7,所以a的最小值為

10、 7214.x0,因為f x是奇函數，所以所以f X f x22x 2 x x 2x.-8 -2小, x 2x aL+上，0恒成x2立x 2x a 0恒成立.設y x22x a,x 1,所以a的取值范圍是3,方法二： 對任意x 1,fx有意義在區間1,2,x 2x上，xa0恒成立2x2x a0恒成立a2x 2x恒成立，設g x2x2x,x1,，則agxmax，因為g xx22x2x 11，故當x 1時g x取得最大值g 13,所以a 3，即a的取值范圍是3,當2x2k k Z，325即xk k Z時，函數f x取最大值，且最大值為1.125 k（2）由（1）知，函數f x圖象的對稱軸為x kZ

11、，12 2511當x 0,時，對稱軸為x 或一.12122又方程f x在0,上的解為x-i,x2.3225結合圖象知點x1-與點x2-關于x對稱.3312（2）方法一：對任意X 1,f X有意義 在區間1,2y x 2xaa 1遞增，所以當x 1時，ymin于是當且僅當ymin3 a 0時,x在x 1,上有意義，故a 3.18.【解析】（1）f xcosxsin xsin 2x2討2xsin 2x 3-9 -x-ix25，則X156COS XiX25COS -62x2sin 2x2又f x2sin 2x2-，故COS X1x2319.【解析】因為f是R上的偶函數,所以XX即e aXa eXe_

12、aXa e又exex不可能恒為“ 0 ”,0，而a(2)f在0,上是增函數 證明如下:在0,上任取x1X2，x1f x2X2eexeX2X1ee51eX2/2X11X1X2e1e2eX2因為1，所以由0為X2得1eX1x2X1xX1所以.xX1ee2e1e 1eX1eX20，即fX1所以在0,上是增函數20.【解析】(1)由題意得r01.94，所以當n1時，A rrr150.5X1x2e1e2從而x2X2即1.94 22 1.94 50.5 p，解得p 0.5所以rn2 0.06 50.5n 0.5n故改良后所排放的廢氣中含有的污染物數量的函數模型rn2 0.06 50.5 n 0.5n N-

13、10 -(2)由題意可得，rn0.5 n 0.52 0.06 50.08,整理得50.5n 0.5竺0.06即50.5n 0.532,兩邊同時取常用對數，得0.5 n 0.5Ig5，整理得n 2翌21，1 lg2取Ig2 0.3代入，得25lg 21 lg230 1757，又因為n N，所以n6.綜上，至少進行 6 次改良工藝后才能使得該企業所排放的廢氣中含有的污染物數量達標21.x x2xx 10、3 si n cos 10cos2 25.3 sin x 5cos x25 10sin5.所以函數f x的最小正周期T(2)( i)將f x的圖象向右平移-個單位長度后得到y610sin x5的圖

14、象, 再向下平移a a 0個單位長度后得到g x10sin xa的圖象.又已知函數g x的最大值為 2,所以102，解得a13.所以g x 10sin x &(ii)要證明存在無窮多個互不相同的正整數X。，使得g x00，就是要證明存在無窮多個互不相同的正整數x0，使得10sin x0840，即sin x05由5子知，存在003，使得sin由正弦函數的性質可知，當x時, 均有sin x因為y sin x的周期為2，所以當x 2k0,2kZ時，均有sin x因為對任意的整數k，2k2k0031,-11 -所以對任意的正整數k，都存在正整數xk2k0,2k4，使得sin xk5即存在無窮多個互不相同的正整數Xo，使得g Xo0.22.【解析】（1）b1時，fx ax2x 2,因為3,x R關于x的方程2axx 23即ax2x 10無實數解,易