1、高考專(zhuān)題突破四高考中的立體幾何問(wèn)題考點(diǎn)自測(cè)1(2013·廣東)某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該四棱臺(tái)的體積是()A4 B. C. D6答案B解析由三視圖知四棱臺(tái)的直觀圖為由棱臺(tái)的體積公式得：V(2×21×1)×2.2(2013·課標(biāo)全國(guó))已知m，n為異面直線(xiàn)，m平面，n平面.直線(xiàn)l滿(mǎn)足lm，ln，l，l，則()A且lB且lC與相交，且交線(xiàn)垂直于lD與相交，且交線(xiàn)平行于l答案D解析假設(shè)，由m平面，n平面，則mn，這與已知m，n為異面直線(xiàn)矛盾，那么與相交，設(shè)交線(xiàn)為l1，則l1m，l1n，在直線(xiàn)m上任取一點(diǎn)作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直線(xiàn)m與n

2、1所確定的平面，所以l1l.3(2014·四川)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)O為線(xiàn)段BD的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P在線(xiàn)段CC1上，直線(xiàn)OP與平面A1BD所成的角為，則sin 的取值范圍是()A，1 B，1C， D，1答案B解析根據(jù)題意可知平面A1BD平面A1ACC1且兩平面的交線(xiàn)是A1O，所以過(guò)點(diǎn)P作交線(xiàn)A1O的垂線(xiàn)PE，則PE平面A1BD，所以A1OP或其補(bǔ)角就是直線(xiàn)OP與平面A1BD所成的角.設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則根據(jù)圖形可知直線(xiàn)OP與平面A1BD可以垂直當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C1重合時(shí)可得A1OOP，A1C12，所以×××sin ×2×2

3、，所以sin ；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，可得sin .根據(jù)選項(xiàng)可知B正確4(2014·山東)三棱錐PABC中，D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，記三棱錐DABE的體積為V1，PABC的體積為V2，則_.答案解析設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h.D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，SBDESPBC，.5(2014·江蘇改編)如圖，在三棱錐PABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)若PAAC，PA6，BC8，DF5.則PA與平面DEF的位置關(guān)系是_；平面BDE與平面ABC的位置關(guān)系是_(填“平行”或“垂直”)答案平行垂直解析(1)因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)，所以DEPA.又因?yàn)?/p>

4、PA平面DEF，DE平面DEF，所以直線(xiàn)PA平面DEF.(2)因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA6，BC8，所以DEPA3，EFBC4.又因?yàn)镈F5，故DF2DE2EF2，所以DEF90°，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因?yàn)锳CEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC，又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.題型一空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系例1(2014·安徽)如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為8的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為2.點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH平面ABCD，BC平面G

5、EFH.(1)證明：GHEF；(2)若EB2，求四邊形GEFH的面積思維點(diǎn)撥(1)證明GHEF，只需證明EF平面PBC，只需證明BCEF，利用BC平面GEFH即可；(2)求出四邊形GEFH的上底、下底及高，即可求出面積(1)證明因?yàn)锽C平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可證EFBC，因此GHEF.(2)解如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，BD交EF于點(diǎn)K，連接OP，GK.因?yàn)镻APC，O是AC的中點(diǎn)，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面內(nèi)，所以PO底面ABCD.又因?yàn)槠矫鍳EFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面

6、GEFH.因?yàn)槠矫鍼BD平面GEFHGK，所以POGK，且GK底面ABCD，從而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，從而KBDBOB，即K為OB的中點(diǎn)再由POGK得GKPO，即G是PB的中點(diǎn)，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四邊形GEFH的面積S·GK×318.思維升華高考對(duì)該部分的考查重點(diǎn)是空間的平行關(guān)系和垂直關(guān)系的證明，一般以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度中等，但對(duì)空間想象能力和邏輯推理能力有一定的要求，在試卷中也可能以選擇題或者填空題的方式考查空間位置關(guān)系的基本定理在判斷線(xiàn)面位置關(guān)系中的應(yīng)用 (2013

7、3;江蘇)如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.過(guò)A作AFSB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn)求證：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.證明(1)由ASAB，AFSB知F為SB中點(diǎn)，則EFAB，F(xiàn)GBC，又EFFGF，ABBCB，因此平面EFG平面ABC.(2)由平面SAB平面SBC，且AFSB，知AF平面SBC，則AFBC.又BCAB，AFABA，則BC平面SAB，又SA平面SAB，因此BCSA.題型二平面圖形的翻折問(wèn)題例2(2014·廣東)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如圖(2)折疊，折

8、痕EFDC.其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線(xiàn)段PD，PC上，沿EF折疊后點(diǎn)P疊在線(xiàn)段AD上的點(diǎn)記為M，并且MFCF.(1)證明：CF平面MDF；(2)求三棱錐MCDE的體積思維點(diǎn)撥折疊后，MD與平面CDEF的垂直關(guān)系不變(1)證明因?yàn)镻D平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.又因?yàn)锳BCD是矩形，CDAD，PD與CD交于點(diǎn)D，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF.又MFCF，MDMFM，所以CF平面MDF.(2)解因?yàn)镻DDC，BC2，CD1，PCD60°，所以PD，由(1)知FDCF，在直角三角形DCF中，CFCD.過(guò)點(diǎn)F作FGCD交CD于點(diǎn)G，得FGFCsi

9、n 60°×，所以DEFG，故MEPE，所以MD .SCDEDE·DC××1.故VMCDEMD·SCDE××.思維升華平面圖形的翻折問(wèn)題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線(xiàn)面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況一般地翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化 已知四邊形ABCD是矩形，AB1，BC，將ABC沿著對(duì)角線(xiàn)AC折起來(lái)得到AB1C且頂點(diǎn)B1在平面ACD上的射影O恰落在邊AD上，如圖所示(1)求證：平面AB1C平面B1CD；(2)求三棱錐B1ABC的體積VB1ABC.(1)證明B1O平面ABCD，

10、CD平面ABCD，B1OCD，又CDAD，ADB1OO，CD平面AB1D，又AB1平面AB1D，AB1CD，又AB1B1C，且B1CCDC，AB1平面B1CD，又AB1平面AB1C，平面AB1C平面B1CD.(2)解由于AB1平面B1CD，B1D平面ABCD，所以AB1B1D，在RtAB1D中，B1D，又由B1O·ADAB1·B1D得B1O，所以VB1ABCSABC·B1O××1××.題型三線(xiàn)面位置關(guān)系中的存在性問(wèn)題例3(2014·四川)在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形(1)若ACBC

11、，證明：直線(xiàn)BC平面ACC1A1；(2)設(shè)D，E分別是線(xiàn)段BC，CC1的中點(diǎn)，在線(xiàn)段AB上是否存在一點(diǎn)M，使直線(xiàn)DE平面A1MC？請(qǐng)證明你的結(jié)論思維點(diǎn)撥(1)先證明AA1平面ABC，可得AA1BC，利用ACBC，可以證明直線(xiàn)BC平面ACC1A1；(2)取AB的中點(diǎn)M，連接A1M，MC，A1C，AC1，A1C與AC1交于點(diǎn)O，證明四邊形MDEO為平行四邊形即可(1)證明因?yàn)樗倪呅蜛BB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因?yàn)锳B，AC為平面ABC內(nèi)兩條相交的直線(xiàn)，所以AA1平面ABC.因?yàn)橹本€(xiàn)BC平面ABC，所以AA1BC.又由已知，ACBC，AA1和AC為平面ACC1A1

12、內(nèi)兩條相交的直線(xiàn)，所以BC平面ACC1A1.(2)解取線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設(shè)點(diǎn)O為A1C，AC1的交點(diǎn)由已知，點(diǎn)O為AC1的中點(diǎn)連接MD，OE，則MD，OE分別為ABC，ACC1的中位線(xiàn)，所以MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE.連接OM，從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DEMO.因?yàn)橹本€(xiàn)DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直線(xiàn)DE平面A1MC.即線(xiàn)段AB上存在一點(diǎn)M(線(xiàn)段AB的中點(diǎn))，使直線(xiàn)DE平面A1MC.思維升華對(duì)于線(xiàn)面關(guān)系中的存在性問(wèn)題，首先假設(shè)存在，然后在這假設(shè)條件下，利用線(xiàn)面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿(mǎn)足的條件，若滿(mǎn)足則肯定假

13、設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè) 如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC.(1)求證：D1CAC1；(2)問(wèn)在棱CD上是否存在點(diǎn)E，使D1E平面A1BD.若存在，確定點(diǎn)E位置；若不存在，說(shuō)明理由(1)證明在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，連接C1D，DCDD1，四邊形DCC1D1是正方形，DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1D，AD平面DCC1D1，又D1C平面DCC1D1，ADD1C.AD平面ADC1，DC1平面ADC1，且ADDC1D，D1C平面ADC1，又AC1平面ADC1，D1CAC1.(2)解假設(shè)存在點(diǎn)E，使D1E平面

14、A1BD.連接AD1，AE，D1E，設(shè)AD1A1DM，BDAEN，連接MN，平面AD1E平面A1BDMN，要使D1E平面A1BD，可使MND1E，又M是AD1的中點(diǎn)，則N是AE的中點(diǎn)又易知ABNEDN，ABDE.即E是DC的中點(diǎn)綜上所述，當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時(shí)，可使D1E平面A1BD.(時(shí)間：70分鐘)1(2014·重慶)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A54 B60 C66 D72答案B解析由俯視圖可以判斷該幾何體的底面為直角三角形，由正視圖和側(cè)視圖可以判斷該幾何體是由直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱)截取得到的在長(zhǎng)方體中分析還原，如圖(1)所示，故該幾何體的直觀圖如圖

15、(2)所示在圖(1)中，直角梯形ABPA1的面積為×(25)×414，計(jì)算可得A1P5.直角梯形BCC1P的面積為×(25)×5.因?yàn)锳1C1平面A1ABP，A1P平面A1ABP，所以A1C1A1P，故RtA1PC1的面積為×5×3.又RtABC的面積為×4×36，矩形ACC1A1的面積為5×315，故幾何體ABCA1PC1的表面積為1461560.2已知m，n分別是兩條不重合的直線(xiàn)，a，b分別垂直于兩不重合平面，有以下四個(gè)命題：若m，nb，且，則mn；若ma，nb，且，則mn；若m，nb，且，則mn；若

16、m，nb，且，則mn.其中正確的命題是()A B C D答案D解析對(duì)于，b，nb，n，m，且，mn，錯(cuò)誤；對(duì)于，a，b分別垂直于兩不重合平面，ab，ma，nb，mn，正確；對(duì)于，nb，b，n，m，mn，正確；對(duì)于，m，b，mb，nb，mn或mn或m，n相交，不正確所以正確3如圖梯形ABCD中，ADBC，ABC90°，ADBCAB234，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，將四邊形ADFE沿直線(xiàn)EF進(jìn)行翻折，給出四個(gè)結(jié)論：DFBC；BDFC；平面DBF平面BFC；平面DCF平面BFC.在翻折過(guò)程中，可能成立的結(jié)論是_(填寫(xiě)結(jié)論序號(hào))答案解析因?yàn)锽CAD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不

17、垂直，則不成立；設(shè)點(diǎn)D在平面BCF上的射影為點(diǎn)P，當(dāng)BPCF時(shí)就有BDFC，而ADBCAB234，可使條件滿(mǎn)足，所以正確；當(dāng)點(diǎn)P落在BF上時(shí)，DP平面BDF，從而平面BDF平面BCF，所以正確；因?yàn)辄c(diǎn)D的射影不可能在FC上，所以平面DCF平面BFC不成立，即錯(cuò)誤故答案為.4如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)_時(shí)，D1E平面AB1F.答案1解析如圖，連接A1B，則A1B是D1E在平面ABB1A1內(nèi)的射影AB1A1B，D1EAB1，又D1E平面AB1FD1EAF.連接DE，則DE是D1E在底面ABCD內(nèi)的射影，D1EAFDEAF.ABCD是正方形

18、，E是BC的中點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，DEAF，即當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，D1E平面AB1F，1時(shí)，D1E平面AB1F.5如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1平面BCHG.證明(1)GH是A1B1C1的中位線(xiàn)，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四點(diǎn)共面(2)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G與EB平行且相等，四邊形A1EBG是平行四邊形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平

19、面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.6如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F平面A1BE？并證明你的結(jié)論解在棱C1D1上存在點(diǎn)F，使B1F平面A1BE.因?yàn)槠矫鍭BB1A1平面DCC1D1，所以A1B與平面A1EB和平面DCC1D1的交線(xiàn)平行，如圖所示，取CD的中點(diǎn)G，連接EG，BG，則EG，BG就是平面A1BE分別與平面DCC1D1和平面ABCD的交線(xiàn)取C1D1的中點(diǎn)F，CC1的中點(diǎn)H，連接HF，B1F，B1H.因?yàn)镠FEG，所以HF平面A1EB.因?yàn)锳1B1C1D1HE，所以A1，B1，H，E四點(diǎn)共面，又平面BB1C1C平面AA1D1D，所以B1HA1E，從而B(niǎo)1H平面A1EB，因?yàn)锽1HHFH，所以平面B1HF平面A1EB，所以B