1、曲面上的半測地坐標網及其應用摘要：本文給出了曲面上半測地坐網的定義，在此基礎上論述了曲面上測地線的短程性.然后給出了曲面上半車比雪夫坐標網的定義，并討論了半測地坐標網和半車比雪夫坐標網的關系，以及它們同極小曲面的聯系等,得到若干結果.另外，本文給出了半測地坐標網的等價刻劃等一些性質,其應用是簡便易行的.關鍵詞：曲面上半測地坐網，短程性，半車比雪夫坐標網1 曲面上的半測地坐網定義1：曲面上的一個坐標網，其中一族是測地線，另一族是這族測地線的正交軌線，則這個坐標網稱為半測地坐標網.極坐標網是它的特例.定理1：給出曲面上的一條曲線，則總存在一個半測地坐標網，它的非測地坐標曲線族中包含給定的一條曲線.

2、證明：由定理，過曲面上給定的曲線上的每一點，沿著，在切平面上對應于垂直于的方向，存在唯一條測地線，然后再作這一族曲面的正交軌線，則這族測地線和它的正交軌線組成了曲面上的一個半測地坐標網，并且的正交軌線族中包含了.對于曲面上的半測地坐標網，有，我們現在證明這個結論.首先，由于半測地坐標網是正交的，所以，半測地坐標網中有一簇坐標曲線是測地線，不妨設為線,即， 它滿足測地線微分方程：但當坐標曲線正交時，即與無關，只與有關，可設在曲面上引進新參數從而第一基本形式變為：2 曲面上測地線的短程性定理2：若給出曲面上充分小的鄰域內的兩點則過這兩點在小鄰域內的測地線是連結這兩點的曲面上的曲線中弧長最短的曲線.

3、證明：設是曲面上連結的一條測地線，在曲面上選取半測地坐標網，使曲面上包含在內的一測地線族為u-線，它的正交軌線為v-線，于是曲面的第一基本形式為：不妨設曲線的方程為，和的坐標分別為,，于是沿測地線由到的弧長為又在這個小鄰域內連結和的任意曲線的方程為，于是沿，從到的弧長為 只有當時，上式等號才成立，但此時為常數，即為u-線，而且是過的u-線，即，表示此時重合，所以是連結的最短線.由這個定理，我們又稱測地線為短程線.注意：定理若不是限制在一個小鄰域內則不一定成立.如球面上的大園是測地線，所以球面上不是直徑兩端的兩點，連結它們的大園弧有兩段，顯然長的不是連結它們兩點的最短線，而短的是.3半測地坐標網

4、和半車比雪夫坐標網的幾個性質定義2：如果曲面上的曲線網所構成的四邊形中，有一雙對邊相等，則稱這種曲線網為半比雪夫坐標網.命題：曲面上的坐標網為半車比雪夫坐標網的充要條件是， （或者，）定理3：若曲面上的坐標網是半測地坐標網, 且（或）, 則它是半車比雪夫坐標網.證明：因已知曲面的坐標網是半測地坐標網, 故（或交換：）.而（或）由命題便知：曲面上的坐標網必是半車比雪夫坐標網.定理4：在高斯曲率的極小曲面上，若坐標網是半車比雪夫坐標網, 則由高斯映射所得到的球面像的坐標網, 也必是半車比雪夫坐標網.證明曲面的三個基本形式為：并且它們之間滿足其中為曲面的高斯曲率，為曲面的平均曲率.由以上各式易得：當

5、時，且曲面是極小曲面，平均曲率，故得,又因曲面上是半車比雪夫坐標網, 必有（或），于是, （或，故曲面的球面像的坐標網是半車比雪夫坐標網.推論1：在高斯曲率的極小曲面上, 若坐標網是半測地網, 且（或），則由高斯映射所得到的球面像的坐標網是半車比雪夫坐標網.證明由定理3和定理4可直接得出.推論2：若曲面的坐標網是半測地網, 且，則曲面是可展曲面.證明：因為所以又由，故，即曲面是可展曲面.定理5：如果曲面的坐標網是半測地網, 又是共軛網, 且（或）, 則曲面是極小曲面.證明已知曲面的坐標網是半測地網和共軛網,則必有，此時的科達齊一一邁因納爾迪公式為： 又因（或），由1或2可得,是極小曲面.由上述

6、定理5的證明不難知道：推論3：若曲面的坐標網是正交網又是共軛網, 且（或），則曲面是極小曲面.推論4：如果曲面的坐標網是曲率線網, 且（或），則曲面是極小曲面.推論5：若曲面（, 非極小曲面）的坐標網是漸近線網又是曲率線網, 則必是車比雪夫坐標網.證明：由曲面的坐標網是曲率線網可知，此時科達齊一一邁因納爾迪公式為： 又由坐標網是漸近網知， 而則由（3）和（4）得.由（2）知：坐標網是車比雪夫坐標網（也可能是車比雪夫網）定理6：如果曲面的坐標網是半測地網, 且（或）則曲面是極小曲面.證明：因半測地坐標網是正交網, 故，此時的科達齊一一邁因納爾迪公式為： 由（或），以及，（或），則由(5)或(6)可得：，故曲面是極小曲面.同理可得推論6：如果曲面的坐標網是正交網，且（或），則曲面是極小曲面.參考文獻1王國民.半測地坐標網和車比雪夫坐標網的幾個性質,哈科技大學學報,1990, 14( 1) : 89 90.2王國民.半測地坐標網和半車比雪夫坐標網的幾個性質,哈科技大學學報, 1991, 15( 3) : 105