1、概率論基礎知識第一章 隨機事件及其概率一 隨機事件§1幾個概念1、隨機實驗:滿足下列三個條件的試驗稱為隨機試驗；（1）試驗可在相同條件下重復進行；（2）試驗的可能結果不止一個，且所有可能結果是已知的；（3）每次試驗哪個結果出現是未知的；隨機試驗以后簡稱為試驗，并常記為E。  例如：E1：擲一骰子，觀察出現的總數；E2：上拋硬幣兩次，觀察正反面出現的情況；   E3：觀察某電話交換臺在某段時間內接到的呼喚次數。2、隨機事件：在試驗中可能出現也可能不出現的事情稱為隨機事件：常記為 A，B，C  例如，在E1中，A表示“擲出2點”

2、，B表示“擲出偶數點”均為隨機事件。3、必然事件與不可能事件：每次試驗必發生的事情稱為必然事件，記為。每次試驗都不可能發生的事情稱為不可能事件，記為。  例如，在E1中，“擲出不大于6點”的事件便是必然事件，而“擲出大于6點”的事件便是不可能事件,以后，隨機事件，必然事件和不可能事件統稱為事件。4、基本事件：試驗中直接觀察到的最簡單的結果稱為基本事件。  例如，在E1中，“擲出1點”，“擲出2點”，“擲出6點”均為此試驗的基本事件。  由基本事件構成的事件稱為復合事件，例如，在E1中“擲出偶數點”便是復合事件。5、樣本空間：從集合觀點

3、看，稱構成基本事件的元素為樣本點，常記為e.  例如，在E1中，用數字1，2，6表示擲出的點數，而由它們分別構成的單點集1，2，6便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此試驗的樣本點有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）顯然，任何事件均為某些樣本點構成的集合。   例如，在E1中“擲出偶數點”的事件便可表為2，4，6。試驗中所有樣本點構成的集合稱為樣本空間。記為。   例如，   在E1中，=1

4、，2，3，4，5，6   在E2中，=（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）   在E3中，=0，1，2，例1，一條新建鐵路共10個車站，從它們所有車票中任取一張，觀察取得車票的票種。    此試驗樣本空間所有樣本點的個數為N=P 210=90.（排列：和順序有關，如北京至天津、天津至北京）    若觀察的是取得車票的票價，則該試驗樣本空間中所有樣本點的個數為(組合)例2隨機地將15名新生平均分配到三個班級中去，觀察15名新生分配的情況。此試驗的樣

5、本空間所有樣本點的個數為        第一種方法用組合+乘法原理；第二種方法用排列§2事件間的關系與運算   1、包含:“若事件A的發生必導致事件B發生，則稱事件B包含事件A，記為AB或BA。 例如，在E1中，令A表示“擲出2點”的事件，即A=2B表示“擲出偶數”的事件，即B=2，4， 6則   2、相等：若AB且BA，則稱事件A等于事件B，記為A=B 例如，從一付52張的撲克牌中任取4張，令A表示“取得到少有3張紅桃”的事件；B表示“取得至多有一張不是

6、紅桃”的事件。顯然A=B  3、和：稱事件A與事件B至少有一個發生的事件為A與B的和事件簡稱為和，記為AB，或A+B 例如，甲，乙兩人向目標射擊，令A表示“甲擊中目標”的事件，B表示“乙擊中目標”的事件，則AUB表示“目標被擊中”的事件。 推廣：有限個無窮可列個   4、積：稱事件A與事件B同時發生的事件為A與B的積事件，簡稱為積，記為AB或AB。 例如，在E3中，即觀察某電話交換臺在某時刻接到的呼喚次數中，令A=接到偶數次呼喚，B=接到奇數次呼喚，則AB=接到6的倍數次呼喚推廣：    

7、60; 任意有限個      無窮可列個   5、差：稱事件A發生但事件B不發生的事件為A減B的差事件簡稱為差，記為A-B。 例如，測量晶體管的參數值，令A=測得值不超過50，B=測得值不超過100，則，A-B=，B-A=測得值為50100  6、互不相容：若事件A與事件B不能同時發生，即AB=，則稱A與B是互不相容的。 例如，觀察某定義通路口在某時刻的紅綠燈：若A=紅燈亮，B=綠燈亮，則A與B便是互不相容的。7、對立：稱事件A不發生的事件為A的對立事件，記為顯然，A=例如，從有3個次品，7個正

8、品的10個產品中任取3個，若令A=取得的3個產品中至少有一個次品，則=取得的3個產品均為正品。 §3事件的運算規律1、交換律 AB=BA； AB=BA2、結合律（AB）C=A（BC）；（AB）C=A（BC）3、分配律 A（BC）=（AB）（AC）， A（BC）=（AB）（A C）4、對偶律  此外，還有一些常用性質，如   A B A，ABB（越求和越大）；ABA，ABB（越求積越小）。 若AB，則A B=B, A B=AA-B=A-AB=A等等。例3，從一批產品中每次取一件進行檢驗，令Ai=第i次取得合格品,i=1,2,3,試用事件

9、的運算符號表示下列事件。A=三次都取得合格品三次中至少有一次取得合格品三次中恰有兩次取得合格品三次中最多有一次取得合格品解：表示方法常常不唯一，如事件又可表為    或例4，一名射手連續向某一目標射擊三次，令i=第i次射擊擊中目標 , i=1,2,3，試用文字敘述下列事件：解：A1A2A3=三次射擊都擊中目標A3-A2=第三次擊中目標但第二次未擊中目標例5，下圖所示的電路中，以A表示“信號燈亮”這一事件，以B,C,D分別表示繼電器接點，閉合，試寫出事件A,B,C,D之間的關系。 解，不難看出有如下一些關系： 二 事件的概率§1概率的定義所謂事件

10、A的概率是指事件A發生可能性程度的數值度量，記為P（A）。規定P(A)0，P（）=1。1、古典概型中概率的定義古典概型：滿足下列兩條件的試驗模型稱為古典概型。（1）所有基本事件是有限個；（2）各基本事件發生的可能性相同；例如：擲一勻稱的骰子，令A=擲出2點=2，B=擲出偶數總=2，4，6。此試驗樣本空間為=1，2，3，4，5，6，于是，應有1=P（）=6P（A），即P（A）=。而P（B）=3P（A）=定義1：在古典概型中，設其樣本空間所含的樣本點總數，即試驗的基本事件總數為N而事件A所含的樣本數，即有利于事件A發生的基本事件數為NA，則事件A的概率便定義為：例1，將一枚質地均勻的硬幣一拋三次，

11、求恰有一次正面向上的概率。解：用H表示正面，T表示反面，則該試驗的樣本空間=（H，H，H）（H，H，T）（H，T，H）（T，H，H）（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）（T，T，T）?？梢奛=8 令A=恰有一次出現正面，則A=（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）可見，令NA=3 故例2，（取球問題）袋中有5個白球，3個黑球，分別按下列三種取法在袋中取球。（1）有放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個，看后放回袋中，再取下一個球；（2）無放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個，看后不再放回袋中，再取下一個球；（3）一次取球：從袋中任取3個球。在以上三種取法中均求A=恰好取得2個白球的

12、概率。解：（1）有放回取球 N=8×8×8=83=512(袋中八個球，不論什么顏色，取到每個球的概率相等)（先從三個球里取兩個白球，第一次取白球有五種情況，第二次取白球還有五種情況<注意是有放回>，第三次取黑球只有三種情況） （2）無放回取球故 （3）一次取球故屬于取球問題的一個實例：設有100件產品，其中有5%的次品，今從中隨機抽取15件，則其中恰有2件次品的概率便為（屬于一次取球模型）例3（分球問題）將n個球放入N個盒子中去，試求恰有n個盒子各有一球的概率（nN）。解：令A=恰有n個盒子各有一球，先考慮基本事件的總數先從N個盒子里選n個盒

13、子，然后在n個盒子里n個球全排列故屬于分球問題的一個實例：全班有40名同學，向他們的生日皆不相同的概率為多少？令A=40個同學生日皆不相同，則有(可以認為有365個盒子，40個球)故例4（取數問題）從0，1，,9共十個數字中隨機的不放回的接連取四個數字，并按其出現的先后排成一列，求下列事件的概率：（1）  四個數排成一個偶數；（2）  四個數排成一個四位數；（3）  四個數排成一個四位偶數；解：令A=四個數排成一個偶數，B=四個數排成一個四位數，C=四個數排成一個四位偶數      ，

14、例5（分組問題）將一幅52張的樸克牌平均地分給四個人，分別求有人手里分得13張黑桃及有人手里有4張A牌的概率各為多少？解：令A=有人手里有13張黑桃，B=有人手里有4張A牌于是     ，故 不難證明，古典概型中所定義的概率有以下三條基本性質：1°P（A）02° P（）=13°若A1，A2，An兩兩互不相容，則2、概率的統計定義頻率：在n次重復試驗中，設事件A出現了nA次，則稱：為事件A的頻率。頻率具有一定的穩定性。示例見下例表試驗者拋硬幣次數 n正面（A）出現次數nA 正面（A）出現的頻率德·

15、摩爾根2048106105180浦豐4040214805069皮爾遜12000601905016皮爾遜240001201205005維尼300001499404998定義2：在相同條件下，將試驗重復n次，如果隨著重復試驗次數n的增大，事件A的頻率fn(A)越來越穩定地在某一常數p附近擺動，則稱常數p為事件A的概率，即P（A）=p不難證明頻率有以下基本性質：1°2°3°若A1，A2，兩兩互不相容，則3、概率的公理化定義（數學定義）定義3：設某試驗的樣本空間為，對其中每個事件A定義一個實數P（A），如果它滿足下列三條公理：1° P（A）0（非負性）2

16、6; P（）=1（規范性）3°若A1，A2，An兩兩互不相容，則（可列可加性，簡稱可加性）則稱P（A）為A的概率4、幾何定義定義4：假設是Rn(n=1,2,3)中任何一個可度量的區域，從中隨機地選擇一點，即中任何一點都有同樣的機會被選到，則相應隨機試驗的樣本空間就是，假設事件A是中任何一個可度量的子集，則P(A)=(A)/()§2概率的性質性質1：若AB, 則P(B-A)=P(B)-P(A)差的概率等于概率之差證： 因為：A B 所以：B=A(B-A)且A(B-A)=,由概率可加性得P（B）=PA（B-A）=P（A）+P（B-A）即 P（B-A）=P（B）-P（A）性質2：

17、若AB，則P（A）P（B）概率的單調性證：由性質1及概率的非負性得 0P（B-A）=P（B）-P（A），即P（A）P（B）性質3：P（A）1證明：由于A，由性質2及概率的規范性可得P（A）1性質4：對任意事件A，P（）=1-P（A）證明：在性質1中令B=便有P（）=P（-A）=P（）-P（A）=1-P（A）性質5：P（）=0證：在性質4中，令A=，便有P（）=P（）=1-P（）=1-1=0性質6 （加法公式）對任意事件A，B，有P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）證：由于AB=A（B-AB）且A（B-AB）=（見圖）由概率的可加性及性質1便得   

18、0; P（AB）=PA（B-AB）=P（A）+P（B-AB）     =P（A）+P（B）-P（AB）推廣: P（ABC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）例6 設10個產品中有3個是次品，今從中任取3個，試求取出產品中至少有一個是次品的概率。解：令C=取出產品中至少有一個是次品，則=取出產品中皆為正品，于是由性質4得例7，甲，乙兩城市在某季節內下雨的概率分別為0.4和0.35，而同時下雨的概率為0.15，問在此季節內甲、乙兩城市中至少有一個城市下雨的概率。解：令A=甲城下雨，B=乙城下雨，按題意所要求的是P

19、（AB）=P（A）+P（B）P（AB）=0.4+0.35-0.15=0.6例8設A,B,C為三個事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求A,B,C至少有一個發生的概率。于是所求的概率為三 條件概率§1條件概率的概念及計算在已知事件B發生條件下，事件A發生的概率稱為事件A的條件概率，記為P（A/B）。條件概率P（A/B）與無條件概率P（A）通常是不相等的。例1：某一工廠有職工500人，男女各一半，男女職工中非熟練工人分別為40人和10人，即該工廠職工人員結構如下：人數男女總和非熟練工人401050其他職工2102404

20、50總和250250500現從該廠中任選一職工，令A= 選出的職工為非熟練工人，B= 選出的職工為女職工顯然，；而，定義1設A、B為兩事件，如果P（B）>0，則稱為在事件B發生的條件下，事件A的條件概率。同樣,如果P（A）>0，則稱為在事件A發生條件下，事件B的條件概率。條件概率的計算通常有兩種辦法：(1)由條件概率的含義計算（通常適用于古典概型），(2)由條件概率的定義計算。例2：一盒子內有10只晶體管，其中4只是壞的，6只是好的，從中無放回地取二次晶管，每次取一只，當發現第一次取得的是好的晶體管時，向第二次取的也是好的晶體管的概率為多少？解：令 A=第一次取的是好的晶體管，B=

21、第二次取的是好的晶體管按條件概率的含義立即可得：按條件概率的定義需先計算：；于是例3：某種集成電路使用到2000小時還能正常工作的概率為0.94,使用到3000小時還能正常工作的概率為0.87 .有一塊集成電路已工作了2000小時,向它還能再工作1000小時的概率為多大?解：令 A=集成電路能正常工作到2000小時，B=集成電路能正常工作到3000小時已知:：P(A)=0.94, P(B)=0.87 且，既有AB=B于是P(AB)=P(B)=0.87按題意所要求的概率為：§2關于條件概率的三個重要公式1.乘法公式定理1:，例4:已知某產品的不合格品率為4%,而合格品中有75%的一級品

22、,今從這批產品中任取一件,求取得的為一級的概率.解: 令 A= 任取一件產品為一級品, B= 任取一件產品為合格品，顯然，即有AB=A 故P（AB）=P（A）。于是, 所要求的概率便為例5:為了防止意外,在礦內安裝兩個報警系統a和b,每個報警系統單獨使用時,系統a有效的概率為0.92,系統b的有效概率為0.93,而在系統a失靈情況下,系統b有效的概率為0.85，試求：(1)當發生意外時,兩個報警系統至少有一個有效的概率；(2)在系統b失靈情況下,系統a有效的概率.解: 令 A=系統a有效 B=系統b 有效已知,對問題(1) ,所要求的概率為    

23、60;   ，其中 (見圖)=于是對問題(2),所要求的概率為：=推廣：如果     證:由于所以上面等式右邊的諸條件概率均存在,且由乘法公式可得=    （依此類推）=例6：10個考簽中有4個難簽,三個人參加抽簽(無放回)甲先,乙次,丙最后,試問(1)    甲、乙、丙均抽得難簽的概率為多少? (2)    甲、乙、丙抽得難簽的概率各為多少?解: 令A,B,C分別表示甲、乙、丙抽得難簽的事件，對問題(1),所求的概率為：對問題(2),

24、 甲抽得難簽的概率為：乙抽得難簽的概率為丙抽得難簽的概率為        其中          于是2.全概率公式完備事件組:如果一組事件在每次試驗中必發生且僅發生一個,即則稱此事件組為該試驗的一個完備事件組例如，在擲一顆骰子的試驗中，以下事件組均為完備事件組： 1，2， 3，4，5，6； 1，2，3，4，5 ， 6； ，（A為試驗中任意一事件）定理2：設為一完備事件組，且，則對于任意事件A有證：由于且對于任意  ，于是由概率的可加性

25、及乘法公式便得：例7，某屆世界女排錦標賽半決賽的對陣如下：根據以往資料可知，中國勝美國的概率為0.4 ，中國勝日本的概率為0.9，而日本勝美國的概率為0.5，求中國得冠軍的概率。解：令H= 日本勝美國,=美國勝日本, A= 中國得冠軍由全概率公式便得所求的概率為例8，盒中放有12個乒乓球，其中9個是新的，第一次比賽時，從盒中任取3個使用，用后放會盒中，第二次比賽時，再取3個使用，求第二次取出都是新球的概率解：令 H=第一次比賽時取出的3個球中有i個新球i=0，1，2，3，A = 第二次比賽取出的3個球均為新球于是,而, 由全概率公式便可得所求的概率=0.1463 貝葉斯公式 定理3：設 H,H

26、,.H為一完備事件組，且又設A為任意事件，且 P(A) >0，則有證：由乘法公式和全概率公式即可得到先驗概率例9：某種診斷癌癥的實驗有如下效果：患有癌癥者做此實驗反映為陽性的概率為0.95，不患有癌癥者做此實驗反映為陰的概率也為0.95，并假定就診者中有0.005的人患有癌癥。已知某人做此實驗反應為陽性，問他是一個癌癥患者的概率是多少？解：令 H=做實驗的人為癌癥患者，=做實驗的人不為癌癥患者，A=實驗結果反應為陽性，實驗結果反應為陰性，由貝葉斯公式可求得所要求的概率：例10：兩信息分別編碼為X和Y傳送出去，接收站接收時，X被誤收作為Y的概率0.02,而Y被誤作為X的概率為0.01.信息

27、X與Y傳送的頻繁程度之比為2:1,若接收站收到的信息為X，問原發信息也是X的概率為多少?解：設H=原發信息為X由題意可知由貝葉斯公式便可求得所要求的概率為例11：設有一箱產品是由三家工廠生產的，已知其中的產品是由甲廠生產的，乙、丙兩廠的產品各占，已知甲，乙兩廠的次品率為2%，丙廠的次品率為4%，現從箱中任取一產品（1）       求所取得產品是甲廠生產的次品的概率；（2）       求所取得產品是次品的概率；（3）     

28、;  已知所取得產品是次品，問他是由甲廠生產的概率是多少？解：令分別表示所取得的產品是屬于甲、乙、丙廠的事件，A=所取得的產品為次品顯然， ， ，對問題（1），由乘法公式可得所要求的概率：對問題（2），由全概率公式可得所要求的概率          對問題（3），由貝葉斯公式可得所要求的概率四 獨立性§1事件的獨立性如果事件B的發生不影響事件A的概率，即則稱事件A對事件B獨立。如果事件A的發生不影響事件B的概率，即，則稱事件B對事件A獨立。不難證明，當時，上述兩個式子是等價的。事實上，

29、如果，則有反之，如果，則有即同樣可證總之，可見事件獨立性是相互的。定義1設A，B為兩個事件，如果，則稱事件A與事件B相互獨立。例1,袋中有3個白球2個黑球，現從袋中（1）有放回；（2）無放回的取兩次球，每次取一球，令 A=第一次取出的是白球 B=第二次取出的是白球 問A，B是否獨立？解：（1）有放回取球情況，則有2*3可見，可見A，B獨立。（2）無放回取球情況，則有可見，故A，B不獨立。（實際上就是抓鬮模型）例2,設有兩元件，按串聯和并聯方式構成兩個系統，（見圖）每個元件的可靠性(即元件正常工作的概率)為r(0<r<1).假定兩元件工作彼此獨立,求兩系統的可靠性.解: 令 A= 元

30、件a 正常工作 , B= 元件b 正常工作 ,且A,B獨立。C1= 系統I正常工作 , C2=系統II正常工作于是系統I的可靠性為系統II的可靠性為顯然，系統可靠性大于系統的可靠性。定義：設A，B，C為三個事件，如果 P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），P（ABC）=P（A）P（B）P（C）則稱A，B，C為相互獨立的。定義2：設A1，A2，An為n個事件，如果對任意正整數及上述事件中的任意P則稱這n個事件A1，A2，An是相互獨立的。下面幾個結論是常用的：其它三個必成立。證：設A，B成立，即，于是有故獨立。利用這個結果便可證明其它結論，即（2）如果相互獨立，則(3) 如果相互獨立，則證：例3：三人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別為求密碼能被譯出的概率解：令Ai第個人能譯出密碼，I=1,2,3 ；A=密碼能被譯出，所要求的概率為例4：設每支步槍擊中飛機的概率為 ，(1)現有250支步