1、正弦定理、余弦定理知識點總結及證明方法王彥文 青銅峽一中1掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題2能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題主要考查有關定理的應用、三角恒等變換的能力、運算能力及轉化的數學思想解三角形常常作為解題工具用于立體幾何中的計算或證明，或與三角函數聯系在一起求距離、高度以及角度等問題，且多以應用題的形式出現1正弦定理(1)正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即 其中R是三角形外接圓的半徑(2)正弦定理的其他形式：a2RsinA，b ，c ；sinA，sinB ，sinC ；abc_.2余弦定理(1)

2、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍即a2 ，b2 ，c2 .若令C90°，則c2 ，即為勾股定理(2)余弦定理的變形：cosA ，cosB ，cosC .若C為銳角，則cosC>0，即a2b2_c2；若C為鈍角，則cosC<0，即a2b2_c2.故由a2b2與c2值的大小比較，可以判斷C為銳角、鈍角或直角(3)正、余弦定理的一個重要作用是實現邊角_，余弦定理亦可以寫成sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA，類似地，sin2B_；sin2C_.注意式中隱含條件ABC.3解斜三角形的類型(1)已知三角

3、形的任意兩個角與一邊，用_定理只有一解(2)已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角，用_定理，可能有_如在ABC中，已知a，b和A時，解的情況如表：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式absinAbsinA<a<baba>b解的個數 (3)已知三邊，用_定理有解時，只有一解(4)已知兩邊及夾角，用_定理，必有一解4三角形中的常用公式或變式(1)三角形面積公式S _其中R，r分別為三角形外接圓、內切圓半徑(2)ABC，則A_，_，從而sinA_，cosA_，tanA_；sin_，cos_，tan_.tanAtanBtanC_.(3)若三角形三邊a，b，c成等差數列，則2b_2sinB

4、_2sincos2coscostantan.【自查自糾】1(1)2R(2)2RsinB2RsinCsinAsinBsinC2(1)b2c22bccosAc2a22cacosBa2b22abcosCa2b2(2)><(3)互化sin2Csin2A2sinCsinAcosBsin2Asin2B2sinAsinBcosC3(1)正弦(2)正弦一解、兩解或無解一解二解一解一解(3)余弦(4)余弦4(1)absinCbcsinAacsinB(abc)r(2)(BC)sin(BC)cos(BC)tan(BC)cossintanAtanBtanC(3)acsinAsinC在ABC中，A>B

5、是sinA>sinB的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解：因為在同一三角形中，角大則邊大，邊大則正弦大，反之也成立，故是充要條件故選C.在ABC中，已知b6，c10，B30°，則解此三角形的結果有()A無解 B一解C兩解 D一解或兩解解：由正弦定理知sinC，又由c>b>csinB知，C有兩解也可依已知條件，畫出ABC，由圖知有兩解故選C.()設ABC的內角A, B, C所對的邊分別為a, b, c, 若bcosCccosBasinA, 則ABC的形狀為()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不確定解：由已知和正弦定理可

6、得sinBcosCsinCcosBsinA·sinA，即sin(BC)sinAsinA，亦即sinAsinAsinA.因為0<A<，所以sinA1，所以A.所以三角形為直角三角形故選B.()在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a2，B，c2，則b_解：由余弦定理知b2a2c22accosB2222×2×2×cos4，b2.故填2.在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b2，sinBcosB，則角A的大小為_解：sinBcosB，sin，即sin1.又B(0，)，B，B.根據正弦定理，可得sinA.ab，AB.

7、A.故填.類型一正弦定理的應用ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知AC90°，acb，求C.解：由acb及正弦定理可得sinAsinCsinB.又由于AC90°，B180°(AC)，故cosCsinCsinAsinCsin(AC)sin(90°2C)sin2(45°C)sin(45°C)2sin(45°C)cos(45°C)，即cos(45°C).又0°C90°，45°C60°，C15°.【評析】利用正弦定理將邊邊關系轉化為角角關系，這是解此

8、題的關鍵()在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知A，bsincsina.(1)求證：BC；(2)若a，求ABC的面積解：(1)證明：對bsincsina應用正弦定理得sinBsinsinCsinsinA，即sinBsinC，整理得sinBcosCsinCcosB1，即sin1.由于B，C，BC.(2)BCA，又由(1)知BC，B，C.a，A，由正弦定理知b2sin，c2sin.SABCbcsinA×2sin×2sin×sinsincossinsin.類型二余弦定理的應用在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且.(1)求B的大小；(2)若b

9、，ac4，求ABC的面積解：(1)由余弦定理知，cosB，cosC，將上式代入得·，整理得a2c2b2ac.cosB.B為三角形的內角，B.(2)將b，ac4，B代入b2a2c22accosB，得13422ac2accos，解得ac3.SABCacsinB.【評析】根據所給等式的結構特點利用余弦定理將角化邊進行變形是迅速解答本題的關鍵熟練運用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用若ABC的內角A，B，C所對的邊a，b，c滿足(ab)2c24，且C60°，則ab的值為()A. B84 C1 D.解：由余弦定理得c2a2b22abcosCa2b2ab

10、，代入(ab)2c24中得(ab)2(a2b2ab)4，即3ab4，ab.故選A.類型三正、余弦定理的綜合應用()ABC的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知abcosCcsinB.(1)求B；(2)若b2，求ABC面積的最大值解：(1)由已知及正弦定理得sinAsinBcosCsinCsinB.又A(BC)，故sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC.由，和C(0，)得sinBcosB.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面積SacsinBac.由已知及余弦定理得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，當且僅當ac時，等號成立因此ABC面積的最大值為1.【評析】

11、(1)化邊為角與和角或差角公式的正向或反向多次聯用是常用的技巧；(2)已知邊及其對角求三角形面積最值是高考中考過多次的問題，既可用三角函數求最值，也可以用余弦定理化邊后用不等式求最值()設ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且ac6，b2，cosB.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值解：(1)由余弦定理b2a2c22accosB，得b2(ac)22ac(1cosB)，又ac6，b2，cosB，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sinB，由正弦定理得sinA.因為ac，所以A為銳角，所以cosA.因此sin(AB)sinAcosBcosAsinB.類型四判斷三

12、角形的形狀在三角形ABC中，若tanAtanBa2b2，試判斷三角形ABC的形狀解法一：由正弦定理，得，所以，所以，即sin2Asin2B.所以2A2B，或2A2B，因此AB或AB，從而ABC是等腰三角形或直角三角形解法二：由正弦定理，得，所以，所以，再由正、余弦定理，得，化簡得(a2b2)(c2a2b2)0，即a2b2或c2a2b2.從而ABC是等腰三角形或直角三角形【評析】由已知條件，可先將切化弦，再結合正弦定理，將該恒等式的邊都化為角，然后進行三角函數式的恒等變形，找出角之間的關系；或將角都化成邊，然后進行代數恒等變形，可一題多解，多角度思考問題，從而達到對知識的熟練掌握()在ABC中，

13、若sin2Asin2B<sin2C，則ABC的形狀是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不能確定解：在ABC中，sin2Asin2B<sin2C，由正弦定理知a2b2<c2.cosC<0，即C為鈍角，ABC為鈍角三角形故選C.類型五解三角形應用舉例某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20 n mile的A處，并以30 n mile/h的航行速度沿正東方向勻速行駛假設該小艇沿直線方向以v n mile/h的航行速度勻速行駛，經過t h與輪船相遇(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，

14、則小艇航行速度的大小應為多少？(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30 n mile/h，試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由解法一：(1)設相遇時小艇航行的距離為S n mile，則S，故當t時，Smin10，此時v30.即小艇以30 n mile/h的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小(2)設小艇與輪船在B處相遇，則v2t2400900t22·20·30t·cos(90°30°)，故v2900.0<v30，900900，即0，解得t.又t時，v30.故v30時，t取得最小值，且最

15、小值等于.此時，在OAB中，有OAOBAB20，故可設計航行方案如下：航行方向為北偏東30°，航行速度為30 n mile/h，小艇能以最短時間與輪船相遇解法二：(1)若相遇時小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向為正北方向設小艇與輪船在C處相遇在RtOAC中，OC20cos30°10，AC20sin30°10.又AC30t，OCvt，此時，輪船航行時間t，v30.即小艇以30 n mile/h的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小(2)假設v30時，小艇能以最短時間與輪船在D處相遇，此時ADDO30t.又OAD60°，所以ADDOO

16、A20，解得t.據此可設計航行方案如下：航行方向為北偏東30°，航行速度的大小為30 n mile/h.這樣，小艇能以最短時間與輪船相遇證明如下：如圖，由(1)得OC10，AC10，故OC>AC，且對于線段AC上任意點P，有OPOC>AC.而小艇的最高航行速度只能達到30 n mile/h，故小艇與輪船不可能在A，C之間(包含C)的任意位置相遇設COD(0°<<90°)，則在RtCOD中，CD10tan，OD.由于從出發到相遇，輪船與小艇所需要的時間分別為t和t，所以.由此可得，v.又v30，故sin(30°)，從而，30

17、6;<90°.由于30°時，tan取得最小值，且最小值為.于是，當30°時，t取得最小值，且最小值為.【評析】這是一道有關解三角形的實際應用題，解題的關鍵是把實際問題抽象成純數學問題，根據題目提供的信息，找出三角形中的數量關系，然后利用正、余弦定理求解解三角形的方法在實際問題中，有廣泛的應用在物理學中，有關向量的計算也要用到解三角形的方法近年的高考中我們發現以解三角形為背景的應用題開始成為熱點問題之一不管是什么類型的三角應用問題，解決的關鍵都是充分理解題意，將問題中的語言敘述弄明白，畫出幫助分析問題的草圖，再將其歸結為屬于哪類可解的三角形本題用幾何方法求解也

18、較簡便()如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上(1)求漁船甲的速度；(2)求sin的值解：(1)依題意，BAC120°，AB12，AC10×220，在ABC中，由余弦定理知BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC1222022×12×20×cos120°784，BC28.所以漁船甲的速度為v14(海里/小時)(2)在ABC中，AB12，BAC120°，BC28，BCA，由正弦定理得，即，從而sin.1已知兩邊及其中一邊的對角解三角形時，要注