1、第四章 隨機變量的數(shù)字特征1. 甲、乙兩臺自動車床，生產(chǎn)同一種零件，生產(chǎn)1000件產(chǎn)品所出的次品數(shù)分別用x，h表示，經(jīng)過一段時間的考察，知x，h的分布律如下： x 0 1 2 3 h 0 1 2 p 0.7 0.1 0.1 0.1 p 0.5 0.3 0.2試比較兩臺車床的優(yōu)劣。解：因為Ex=0´0.7+1´0.1+2´0.1+3´0.1=0.6; Eh=0´0.5+1´0.3+2´0.2=0.7。故就平均來說，甲機床要優(yōu)于乙機床。2. 連續(xù)型隨機變量x的概率密度為 又知Ex=0.75，求k, a之值 。 解：首先由密度函數(shù)

2、性質(zhì)知；又 Ex=0.75，即有 ；由上述兩式可求得k=3, a=2。3.已知隨機變量x的分布律為x-1023p1/81/43/81/4求Ex，E(3x-2)，Ex2，E(1-x)2 。解：Ex=(-1)´(1/8)+0´(1/4)+2´(3/8)+3´(1/4)=11/8; Ex2=(-1)2´(1/8)+02´(1/4)+22´(3/8)+32´(1/4)=31/8; E(1-x)2=(1-(-1)2´(1/8)+(1-0)2´(1/4)+(1-2)2´(3/8)+(1-3)2&#

3、180;(1/4)=17/8或者， E(1-x)2=E(1-2x+x2)=1- (E2x)+Ex2=17/8。4. 若x的概率密度為。求(1)Ex，(2)Ex2 。解：(1)中因e-|x|為偶函數(shù)，x為奇函數(shù)，故xe-|x|為奇函數(shù)，且積分區(qū)間關(guān)于原點對稱，該積分又絕對收斂，事實上故 Ex=0。 (2)。5. 輪船橫向搖擺的隨機振幅x的概率密度為 求(1)確定系數(shù)A；(2)遇到大于其振幅均值的概率是多少？解：(1)由密度函數(shù)性質(zhì)知,即 (2) ， 。6. 一個儀器由兩個主要部件組成，其總長度為此二部件長度之和，這兩個部件的長度x和h為兩個相互獨立的隨機變量，其分布律如下表： x910 11 h

4、 6 7 p 0.30.5 0.2 p 0.4 0.6試求E(x+h)，E(xh)。解：因為 Ex=9´0.3+10´0.5+11´0.2=9.9，Eh=6´0.4+7´0.6=6.6，故 E(x+h)=Ex+Eh=9.9+6.6=16.5；又x和h為兩個相互獨立的，因此有E(xh)=Ex·Eh=9.9´6.6=65.34。7. 已知(x，h)的聯(lián)合概率密度為 試求E(x2+h2)。解：E(x2+h2)=。8. 一民航送客車載有20位旅客自機場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達一個車站沒有旅客下車就不停車。以x表示停車的

5、次數(shù)，求Ex (設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車是相互獨立的)。解：引入隨機變量 易知，現(xiàn)在求Ex 由題設(shè)，任一游客在第i站不下車的概率為9/10，因此，20位游客都不在第i站下車的概率為(9/10)20，在第i站下車的概率為1-(9/10)20。也就是 Px i=0=(9/10)20， Px i=1=1-(9/10)20()，因此， Ex i=1-(9/10)20()。故Ex=E(次)9. 圓的直徑用x度量，而x且在a，b上服從均勻分布，試求圓的周長和圓的面積的數(shù)學(xué)期望和方差。解：由于x服從a，b上的均勻分布，因此x的分布密度為 而圓的周長L=px，圓的面積A=px2/

6、4，故有 EL=E(px)=pEx=， DL=D(px)=p2Dx=； EA=px2/4=，又 =，因此 DA=EA2-(EA)2= = 10. 設(shè)隨機變量x，h相互獨立，其概率密度分別為： ， 試求E(xh)，D(x+h)。解：因為 ， ， ， ，又x與h是獨立的，故有 E(xh)=Ex´Eh=1´1=1； D(x+h)=Dx+Dh=。11. 設(shè)隨機變量x與h相互獨立，且Ex=Eh=0，Dx=Dh=1，求E(x+h)2 。解： E(x+h)2= E(x2+2xh+h2)= Ex2+2E(xh)+Eh2，又x與h相互獨立，因此 E(xh)= Ex´Eh，而Dx=，

7、同理 故有 E(x+h)2=E(x2+2xh+h2)= Ex2+2 Ex´Eh+Eh2 =+2 Ex´Eh+=1+1=2。12. 若連續(xù)型隨機變量的概率密度是 且已知Ex=0.5，Dx=0.15，求系數(shù)a, b , c 。解：因為，即有 又Ex=0.5，故 又Ex=0.5，Dx=0.15，因而Ex2=0.4，因此 解、組成的方程組，解得a=12，b=-12，c=3。13. 設(shè)隨機變量x有分布函數(shù) 求E(2x+1)，D(4x) 。解：先求x的分布密度函數(shù) 故 ， ,因此。從而有 E(2x+1)=2Ex+1=，D(4x)=16Dx=。14. 證明：當(dāng)k=Ex時，E(x-k)2的

8、值最小，且最小值為Dx。解：E(x-k)2=E(x-Ex)+(Ex-k)2= E(x-Ex)2+2E(x-Ex)(Ex-k)+E(Ex-k)2 = E(x-Ex)2+E(Ex-k)2=Dx+ E(Ex-k)2³ Dx。即當(dāng)k= Ex時，E(x-k)2取得最小值Dx。15. 如果x與h相互獨立，不求出(xh)的分布，直接用x的分布和h的分布能否計算出D(xh)，怎樣計算？解：因為x與h相互獨立，故D(xh)=E(xh)2- E(xh)2= E(x2h2)-(ExEh)2 = Ex2Eh2)-(Ex)2(Eh)2。16. 一臺儀器有10個獨立工作的元件組成，每一個元件發(fā)生故障的概率為0.

9、1，試求發(fā)生故障的元件數(shù)的方差。解：引入隨機變量易知， ， ，故 x。17. 設(shè)隨機變量x服從瑞利(Rayleigh)分布，其概率密度為 求Ex，Dx。解： = 。18. 若x1，x2，x3為相互獨立的隨機變量，且 試求： 的數(shù)學(xué)期望和方差。解：， ,故 。19.設(shè)二維隨機變量(x，h)的聯(lián)合分布律為 hx-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8計算rxh，并判斷x與h是否獨立。證明：由題得(x, h )的邊際分布律各為x-101h-101pi.3/82/83/8p.j3/82/83/8 pijpi.·p.j，(i,j=1,2,3)故x與h不獨立。又 ，即x

10、與h不相關(guān)。20. 設(shè)二維隨機變量(x，h)的聯(lián)合概率密度為： 試驗證x和h是不相關(guān)的，但x和h并不相互獨立。解：先求fx(x),fh (y): 同理 顯然，f(x, y)¹fx(x)fh (y)，故x與h不獨立。 又 故 ，即x與h不相關(guān)。21. 設(shè)隨機變量(x，h)的聯(lián)合概率密度為： 求：Ex，Eh，Cov(x，h)。解： 22 . 設(shè)有隨機變量x和h，已知Dx=25，Dh=36，r xh=0.4，計算D(x+h)，D(x-h)。解：由于 故 D(X+Y)=61+24=85， D(X-Y)=61-24=37。23. 證明：當(dāng)x，h不相關(guān)時，有： (1)E(xh)=Ex·

11、Eh (2)D( x±h)=Dx+Dh。證明：(1)因為 ，由題知x，h是不相關(guān)的，故r xh=0，因此，有E(xh)=Ex·Eh。(2)D(x±h)=E(x±h)2-E(x±h)2=Ex2±2xh+h2-(Ex)2±2(Ex)(Eh)+(Eh)2 = Ex2-(Ex)2+Eh2-(Eh)2±2(Ex)(Eh)2(Ex)(Eh)=Dx+Dh。24. 設(shè)(x，h)在。試求r xh。解：因為(x，h)在，故聯(lián)合密度為 。25. 設(shè)(x，)的聯(lián)合概率密度為 證明：x與h不獨立，但x2與h2獨立。解：x與h的邊際概率密度為 同理 顯然， f(x, y)¹fx(x)fh (y)，故x與h不獨立。令 ，則當(dāng)z0時，；當(dāng)0<z<1時， ；當(dāng)z1時， ,故 類似地可求得h1的分布密度函數(shù)為 令(x1，h1)的分布函數(shù)為F(z, w)，則有當(dāng)z0,或w0，易知 F(z, w)=0；當(dāng)0<z<1，0< w<1時， ；