1、以圖啟思，思如泉涌大家知道，中學數學內容可以整合為數與形的兩條主線，數形結合是常用的方法、老生常談的話題了在高考時，考生對于一般的選擇與填空試題還能想起或熟練使用數形結合的方法；但在面臨綜合函數試題時，就會忘記或不會使用數形結合的方法以下選擇的四個高考代數綜合試題，分別代表了四類典型的應用；這四個試題，在解決它們過程中，如果能想到數形結合（實際上是由圖形誘導出解決問題的思想與方法），你所走的路就將是捷徑教師在臨考復習時，可以開設這樣的專題性教學，對學生增強解代數綜合試題的信心，提高綜合的解題能力有很大幫助的！四個試題都有多種解法，本文只選擇唯一解法該解法是用來揭示本文的主題思想一、動態函數，開

2、辟“形”經，窮其性質含有參變量的函數我們可以稱為動態函數，動態函數的圖像由于其參變量的變化，圖像類型（大致形狀）大多數也要緊跟著變化、復雜而不確定，因此，教師、學生往往就不會往數形結合去考慮；可少數情形就不同，圖像類型不會跟著參變量的變化而變化，大致還是確定的，其性質也是穩定的，這樣的情形務必要聯系圖形，利用圖形來指導代數思想進行解題例1（2012年浙江省高考樣卷壓軸題）設函數在內有極值（I）求實數的取值范圍；（II）若，求證：注：是自然對數的底數分析：此題如果按一般審題方法著手思考，就要走很多彎路；其實，假如你先思考這個復合函數的大概圖象，你就會找到解決問題的捷徑當然，你首先要注意到的是，函

3、數的定義域是；若，由函數及在區間和分別是增函數，可得在定義域內的兩個區間上都是增函數，與“函數在內有極值”條件矛盾；同理這樣就得；先由的圖象1，結合的大概圖象2，就可以得到函數的大概圖象3，它的形狀是穩定的，不會因（）的變化而變化對題中的函數圖象就有了這樣準確的判斷：在區間（0,1）內函數值都小于0，先遞增后遞減；在區間內，函數值都大于0，先遞減后遞增這樣的判斷，不僅有利于問題（I）的解決，更有利于問題（II）理解與解決了解：（I）函數的定義域是；，當時，有，所以，由上式分子是二次函數，題意就轉化為在有解且符合極值點要求，令，不妨設，由且可得；因此，就有，得（II）由得或；由得或；所以得在內遞

4、增，在內遞減，在內遞減，在遞增由，則，由得，所以，由且得，由，又在時是遞增的，所以，即評注：在（I）中很少學生會使用兩根式方法設定的，為滿足在有解且符合極值點要求，即有兩個不同的根，且小的根在區間內，只能得到如下的三個圖，圖4就能推得，圖5和圖6均無解本題解題關鍵是能得到條件，它是關于函數中變量的取值范圍二、確定函數，理順思路，呈現方法 綜合代數試題給出的函數中不含有參變量，就是一個確定的函數，那它的圖像不象前面一樣，應該是確定的確定的函數，更應該畫出圖像，借助圖像來尋找、獲得或建立使問題解決的代數方法例2（2011年湖南理壓軸題）已知函數，（I）求函數的零點個數，并說明理由；（II）設數列滿

5、足，證明：存在常數M，使得對于任意的，都有成立分析：這個試題在去年高考后不久便被一個老師引入到我校新高三的一份試卷中；一開始，新高三的數學老師基本上對第（II）題解題毫無頭緒、無法入手，都說沒有見過這樣的試題，個別老師見了答案后還無法理解為什么要這樣的分類；事后都認為這個試題太好了！其實思維的障礙就是在單純地用代數思想去解決問題了假如大家先畫一個大概的圖象，即心中有了如圖的圖象，整個問題的解決尤其問題（II）的對的分類討論就不是很難了，思維、方法涌出就水到渠成（I）函數的零點個數由圖所示，一共有兩個零點，其中一個是正的零點，記為，即；如果要求用代數去證明的話，那工作量很大，也有一定的難度，限于

6、篇幅，具體請讀者去看有關高考解答資料（II）由于數列滿足，由兩個圖象的位置關系，我們可以得到啟發：當時，如圖，就有，也就是說數列是遞增數列但有上界，即取；當時，如圖，就有，也就是說數列是遞減數列但有下界，上界就是初始的，即取代數證明：當時，由（I）得，得，又由是遞增函數可知；結合也是遞增函數就可由得；縱上就有同理，當時，就有 所以，當時，就有；當時，就有；當時，就有所以，存在常數，使得對于任意的，都有成立評注：解了此題，你是否有“踏破鐵鞋無覓處，得來全不費工夫”的感嘆！三、多個函數，辨析位置，挖掘隱含 有些函數綜合試題，我們可以不畫出圖像，你也能解決它，正如下面高考試題的標準答案，但這種解決方

7、法實在是繁瑣，老師、學生都很難看懂；當綜合試題中含有兩個函數時，一般情況至少一個是動態函數，那畫出它們之間的位置關系，會使一些隱性條件清晰起來，去掉不必要的討論與辨別，快馬加鞭直達主題例3(2012年薪課標全國卷理21題)已知函數（I）求的解析式及單調區間；（II）若，求的最大值分析：（I）略解：，將代入得，將代入得，即；它的單調遞減區間為，單調遞增區間為（II）若恒成立，即恒成立；記、；結合的單調性，由對于恒成立可得；欲求的最大值，則須有；這樣，與的圖像關系只能是圖10那樣當正數確定時，的最大值情形就是直線與曲線相切時；可以求出切點坐標為，即的最大值為從而，其中，下面只要求上式的右邊最大值，

8、即函數的最大值就可以了在處達到最大值，最大值為評注：這里由圖就可以使“”、“ ”、“ 的最大值情形就是直線與曲線相切時”等條件清晰出來，使解題快速又正確今年6月底，筆者曾用該題編在一份試卷上（做壓軸題），對學生進行過考試檢測，根據答題結果統計，發現使用圖像（結果基本上正確）的有18位，不使用圖像也在分析推理（基本上沒有結果）的有9位，還有16位就是什么也不會做的（大概沒有時間）此實例說明想到用圖像與不用圖像會使結果大不相同四、常規函數，窮現情形，不重不漏動態函數由于參數的不同，圖像的形狀會不同，或形狀可能相同但某些位置關系、性質會不同，用代數解決即抽象又很難想到，也很難完美落實如果根據參編量的

9、變化，采用連續的多個圖像，來窮現所有情況，把要解決的問題搞清楚，也是一種務實而有效的方法例4（2009年浙江理）已知函數，其中（I） 設函數若在區間上不單調，求的取值范圍；（II）設函數是否存在，對任意給定的非零實數，存在惟一的非零實數（），使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由分析：因，因在區間上不單調，所以在上有實數解，且無重根；則圖象與軸的交點有下列的5種情況（如圖11的5個小圖所示）：圖（1）的充要條件是即；圖（2）與圖（3）合并的結論是，即；圖（4）的充要條件是，即；圖（5）的充要條件是，即不存在所以，（II）實際上，由于是二次函數且對稱軸為，是一次函數且 ，由題意，有以下三種情況圖象（如圖12中的三個圖），每一個圖象的軸的左邊是的示意圖，軸的右邊的直線是的示意圖而曲線是左邊的圖象的延伸圖A表明且，但不合題意，也無解；圖B表明且，符合題意但無解；圖C表明且，符合題意，得所以，滿足題意評注：上面的方法走的路雖