1、順風向結構風致響應公式推導0 引言 近些年來，由于全球氣候變暖,風災變得更為頻繁,在所有自然災害中，風災造成的經濟損失已經躍居各種自然災害之首。每年造成全球經濟損失達數百億甚至千億美元,而我國東南沿海地區又是受風災影響比較嚴重的區域。同時，隨著土木工程結構向著高、大跨、柔、輕質和低阻尼方向發展，結構對風的敏感性大大增強，與結構損壞有關的風災屢見不鮮，風荷載正在逐漸成為結構設計時的控制荷載之一，國內外工程技術人員對建筑物的抗風設也計越來越重視。在研究風對結構的作用時，一般將其分為平均風和脈動風。本文主要討論順風向的結構風致響應。順風向的結構風致響應是在平均風和脈動風共同作用下產生的。我國建筑和在

2、規范規定，對于高度高于30m且高寬比大于1.5的房屋結構，對于基本自振周期不大于0.25s的塔架、桅桿、煙囪等高聳結構，應考慮到風壓脈動引起的結構動力效應。由于脈動風的卓越周期在一分鐘左右，而高、柔、大跨度結構的基本周期也只在幾秒這個數量級，因此結構愈柔，基本周期愈長，順風向的風致響應就愈大。目前關于結構順風向風致響應的計算方法一般是基于加拿大在20世紀60年代提出并不斷發展完善的。依據該方法，順風向的結構總風致響應由平均風響應、脈動風響應組成，其中脈動風響應包括背景響應和共振響應。圖0-1（A）表示了時域內的平均響應、背景響應和共振響應，圖0-1（B）表示了頻域內的背景均方響應、前三階共振均

3、方響應、和。下面主要探討下單自由度和多自由度結構的順風向風致響應。圖0-1 平均、背景和共振響應1 單自由度結構順風向風振響應 結構的自由度數等于確定其各部分位置所需參數的數目。有很多結構，將其假定為單自由度結構，在計算其順風向動力響應時能獲得合力準確的計算結果。在計算結構的順風向響應時，僅考慮順風向部分的湍流速度分量，其他湍流分量對結構的振動響應影響不顯著。 一般單自由度結構可視為點狀結構，計算模型可假定為質量為的質點支承在剛度系數為的彈簧上，同時與彈簧平行的方向有阻尼系數為的黏滯阻尼。位移的運動方程為： （1.1）式中，為作用在結構上的順風向荷載。荷載的表達式為： （1.2）式中，為空氣阻

4、力系數；是垂直平均風方向的結構受荷載面積。順風向荷載取決于風與結構的相對速度，即與結構振動的速度有關系。因為，一般情況下平均風速比縱向湍流的速度要大得多，所以有如下近似： （1.3）全部的風荷載可分為三部分：平均風荷載、由湍流產生的脈動荷載及氣動阻尼所產生的荷載： （1.4） （1.5） （1.6） （1.7） （1.8）氣動阻尼常數與結構自身阻尼相加可得合租尼： （1.9）所以有平均風位移響應： （1.10）結構位移的自譜表達式為： （1.11）式中，為結構的頻率響應函數；為函數自譜。風荷載自譜可由下式確定： （1.12）因此，位移的方差可通過對式（1.11）中的自譜積分求得： （1.13）

5、再將湍流強度代入上式，并利用式（1.10），可得： （1.14）所以，總的風致響應： 順風向的結構總風致響應由平均風響應、脈動風響應組成，其中脈動風響應包括背景響應和共振響應。1、 平均風響應在順風向，平均風致響應可通過平均風荷載與影響函數得到 （1）式（1）中：表示在結構z高度處的某一響應均值表示作用于結構高度處的線平均風力表示在高度處作用一單位力在z高度處產生的某一響應值，也稱影響函數，包括位移、剪力和彎矩影響函數等，其任意高度z的表達式如下：（2）式（2)中，表示某高度處的第j階陣型坐標，代表第j階廣義剛度。在豎向懸臂結構中，一般考慮第一階陣型的影響。在（2)中，最為關心的是頂部（z=H

6、)位移、底部（z=0)剪力與彎矩的影響函數。2、 脈動風響應一豎向懸臂結構，在與風垂直的迎風表面xz上，點和點的坐標分別為，準定常假定成立，作用于迎風面上這兩點的脈動風壓分別為，其表達式為由強風觀察結果分析得出，式（a)和式（b)中的流脈動風速大體上服從正態分布規律，脈動風速的均值，并且由前述脈動風的記錄可近似作為平穩各態歷經的隨機過程。1、 運動方程工程中受風敏感的高層建筑或高聳結構，屬豎向一維懸臂結構，這類結構沿豎向的質量和剛度分布可以不均勻，隨高度發生變化，現將其抽象為一維懸臂的無限自由度體系。由隨機振動的振型分解方法，任意高度z處的水平位移可表示為 （3）式中 第j振型的動位移； 第j

7、振型z高度處的坐標； 第j振型的廣義坐標。假設振型對質量分布和剛度分布正交，阻尼項采用瑞雷阻尼，可得第j振型的運動方程： （4）式中， （5）式中 脈動風壓； 建筑物z高度處的迎風面寬度； H建筑物總高； 建筑物第j振型的廣義質量，其表達式如下： （6）式中，為建筑物z高度處單位長度的分布質量。2、 位移響應根方差由維納-辛欽關系式，第j振型和第k階振型廣義力互譜密度由其互相關函數得到： （7）由式（5）和（7）可進一步寫作 （8）式（8）中，為兩點脈動風壓互譜密度，為 （9）式（9）中，為兩點脈動風壓互相關函數。由式（a)和（b)，可寫出： （10）引入脈動風相干函數的平方根后， （11）將

8、式（10）連同式（11）帶入式（8）中，可得：（12）忽略交叉項后，式（12)寫為（13）式（13）中，分別為的平均壓力系數，這里，為來流在建筑物頂部高度的平均風速。按陣型分解隨機振動理論，結構水平動位移響應的功率譜密度為響應y的方差為當忽略交叉項后，第j階振型響應的方差為： （16）式（16）中，頻響函數為 （17）式（16）可分為三段積分，寫作： （18）式（18）可進一步改寫如下：( (19)式（19）右端第一項，背景風響應為 （20）右端第二項，共振響應為 （21）風致響應譜在結構自振頻率處具有與結構傳遞函數類似的尖峰，由此可將自振頻率附近的響應譜值按白噪聲假定簡化計算。 （22）式（22）中，為假定的白噪聲帶寬。比較（21）和（22）得 （23）由式（23），可得（24）由式（21）和（24）得 (25)豎向懸臂結構的風振共振響應以第一振型為主，忽略第二振型，可得： （26