1、 動量 角動量和能量§4.1 動量與沖量 動量定理 41 1動量在牛頓定律建立以前，人們為了量度物體作機械運動的“運動量”，引入了動量的概念。當時在研究碰撞和打擊問題時認識到：物體的質量和速度越大，其“運動量”就越大。物體的質量和速度的乘積mv遵從一定的規律，例如，在兩物體碰撞過程中，它們的改變必然是數值相等、方向相反。在這些事實基礎上，人們就引用mv來量度物體的“運動量”，稱之為動量。 412沖量要使原來靜止的物體獲得某一速度，可以用較大的力作用較短的時間或用較小的力作用較長的時間，只要力F和力作用的時間的乘積相同，所產生的改變這個物體的速度效果就一樣，在物理學中把F叫做沖量。 4

2、13質點動量定理由牛頓定律，容易得出它們的聯系：對單個物體： 即沖量等于動量的增量，這就是質點動量定理。 在應用動量定理時要注意它是矢量式，速度的變化前后的方向可以在一條直線上，也可以不在一條直線上，當不在一直線上時，可將矢量投影到某方向上，分量式為： 對于多個物體組成的物體系，按照力的作用者劃分成內力和外力。對各個質點用動量定理： 第1個 外+內= 第2個 外+內= 第n個 外+內= 由牛頓第三定律： 內+內+內=0因此得到：外+外+ +外=（+）-（+） 即：質點系所有外力的沖量和等于物體系總動量的增量。 OB§4，2 角動量 角動量守恒定律動量對空間某點或某軸線的矩，叫動量矩，

3、也叫角動量。它的求法跟力矩完全一樣，只要把力F換成動量P即可，故B點上的動量P對原點O的動量矩J為 （） 以下介紹兩個定理：（1）.角動量定理：質點對某點或某軸線的動量矩對時間的微商，等于作用在該質點上的力對比同點或同軸的力矩，即 （為力矩）。（2）角動量守恒定律 如果質點不受外力作用，或雖受外力作用，但諸外力對某點的合力矩為零，則對該點來講，質點的動量矩J為一恒矢量，這個關系叫做角動量守恒定律 即 r×F=0，則J=r×mv=r×P=恒矢量 §4.3動量守恒定律 動量守恒定律是人們在長期實踐的基礎上建立的，首先在碰撞問題的研究中發現了它，隨著

4、實踐范圍的擴大，逐步認識到它具有普遍意義， 對于相互作用的系統，在合外力為零的情況下，由牛頓第二定律和牛頓第三定律可得出物體的總動量保持不變。即： +=上式就是動量守恒定律的數學表達式。應用動量守恒定律應注意以下幾點：（1）動量是矢量，相互作用的物體組成的系統的總動量是指組成物體系的所有物體的動量的矢量和，而不是代數和，在具體計算時，經常采用正交分解法，寫出動量守恒定律的分量方程，這樣可把矢量運算轉化為代數運算，（2）在合外力為零時，盡管系統的總動量恒定不變，但組成系統的各個物體的動量卻可能不斷變化，系統的內力只能改變系統內物體的動量，卻不能改變系統的總動量。在合外力不為零時，系統的總動量就要

5、發生改變，但在垂直于合外力方向上系統的動量應保持不變，即合外力的分量在某一方向上為零，則系統在該方向上動量分量守恒。（3）動量守恒定律成立的條件是合外力為零，但在處理實際問題時，系統受到的合外力不為零，若內力遠大于外力時，我們仍可以把它當作合外力為零進行處理，動量守恒定律成立。如遇到碰撞、爆炸等時間極短的問題時，可忽略外力的沖量，系統動量近似認為守恒。 （4）動量守恒定律是由牛頓定律導出的，牛頓定律對于分子、原子等微觀粒子一般不適用，而動量守恒定律卻仍適用。因此，動量守恒定律是一條基本規律，它比牛頓定律具有更大的普遍性。 動量守恒定律的推廣 由于一個質點系在不受外力的作用時，它的總動量是守恒的

6、，所以一個質點系的內力不能改變它質心的運動狀態，這個討論包含了三層含意：圖4-3-2圖4-3-1（1）如果一個質點系的質心原來是不動的，那么在無外力作用的條件下，它的質心始終不動，即位置不變。（2）如果一個質點系的質心原來是運動的，那么在無外力作用的條件下，這個質點系的質心將以原來的速度做勻速直線運動。（3）如果一個質點系的質心在某一個外力作用下作某種運動，那么內力不能改變質心的這種運動。比如某一物體原來做拋體運動，如果突然炸成兩塊，那么這兩塊物體的質心仍然繼續做原來的拋體運動。 如果一個質量為的半圓形槽A原來靜止在水平面上，原槽半徑為R。將一個質量為的滑塊B由靜止釋放（圖4-3-1），若不計

7、一切摩擦，問A的最大位移為多少？ 由于A做的是較復雜的變加速運動，因此很難用牛頓定律來解。由水平方向動量守恒和機械能守恒，可知B一定能到達槽A右邊的最高端，而且這一瞬間A、B相對靜止。因為A、B組成的體系原來在水平方向的動量為零，所以它的質心位置應該不變，初始狀態A、B的質心距離圓槽最低點的水平距離為：。所以B滑到槽A的右邊最高端時，A的位移為（圖4-3-2） 如果原來A、B一起以速度向右運動，用膠水將B粘在槽A左上端，某一時刻膠水突然失效，B開始滑落，仍然忽略一切摩擦。設從B脫落到B再次與A相對靜止的時間是，那么這段時間內A運動了多少距離？ B脫落后，A將開始做變加速運動，但A、B兩物體的質

8、心仍然以速度向右運動。所以在時間內A運動的距離為：sF0圖4-4-1 §4.4 功和功率441功的概念力和力的方向上位移的乘積稱為功。即 式中是力矢量F與位移矢量s之間的夾角。功是標量，有正、負。外力對物體的總功或合外力對物體所做功等于各個力對物體所做功的代數和。 對于變力對物體所做功，則可用求和來表示力所做功，即 也可以用F=F（s）圖象的“面積”來表示功的大小，如圖4-4-1所示。 由于物體運動與參照系的選擇有關，因此在不同的參照系中，功的大小可以有不同的數值，但是一對作用力與反作用力做功之和與參照系的選擇無關。因為作用力反作用力做功之和取決于力和相對位移，相對位移是與

9、參照系無關的。值得注意的是，功的定義式中力F應為恒力。如F為變力中學階段常用如下幾種處理方法：（1）微元法；（2）圖象法；（3）等效法。圖4-4-2442. 幾種力的功下面先介紹一下“保守力”與“耗散力”。 具有“做功與路徑無關”這一特點的力稱為保守力，如重力、彈力和萬有引力都屬于保守力。不具有這種特點的力稱為非保守力，也叫耗散力，如摩擦力。（1）重力的功重力在地球附近一個小范圍內我們認為是恒力，所以從高度處將重力為mg的物移到高處。重力做功為：，顯然與運動路徑無關。（2）彈簧彈力的功 物體在彈簧彈力F=-kx的作用下，從位置運動至位置，如圖4-4-2（a）所示，其彈力變化F=F（x）如圖4-

10、4-2（b）所示則該過程中彈力的功W可用圖中斜線“面積”表示，功大小為（3）萬有引力的功 質量m的質點在另一質量M的質點的作用下由相對距離運動至相對距離的過程中，引力所做功為 443.功率作用于物體的力在單位時間內所做功稱為功率，表達式為求瞬時功率，取時間則為式中v為某時刻的瞬時速度，為此刻v與F方向的夾角§45 動能 動能定理451 質點動能定理質量m的質點以速度v運動時，它所具有動能為: 動能是質點動力學狀態量，當質點動能發生變化時，是由于外力對質點做了功，其關系是: W外=上式表明外力對質點所做功，等于質點動能的變化，這就是質點動能定理。452質點系動能定理 若質點系由n個質點

11、組成，質點系中任一質點都會受到來自于系統以外的作用力（外力）和系統內其它質點對它作用力（內力），在質點運動時，這些力都將做功。設質點系由N個質點組成，選取適當的慣性系，對其中第i個質點用質點動能定理外+內=對所有n個質點的動能定理求和就有 外+內= 若用W外、W內、分別表示外、內、則上式可寫成W外+ W內=-由此可見，對于質點系，外力做的功與內力做的功之和等于質點系動能的增量，這就是質點系動能定理。和質點動能定理一樣，質點系動能定理只適用于慣性系，但質點系動能定理中的W內一項卻是和所選的參照系無關的，因為內力做的功取決于相對位移，而相對位移和所選的參照系是無關的。這一點有時在解題時十分有效。&

12、#167;46 勢能461 勢能 若兩質點間存在著相互作用的保守力作用，當兩質點相對位置發生改變時，不管途徑如何，只要相對位置的初態、終態確定，則保守力做功是確定的。存在于保守力相互作用質點之間的，由其相對位置所決定的能量稱為質點的勢能。規定保守力所做功等于勢能變化的負值，即W保=。（1）勢能的相對性。 通常選定某一狀態為系統勢能的零值狀態，則任何狀態至零勢能狀態保守力所做功大小等于該狀態下系統的勢能值。原則上零勢能狀態可以任意選取，因而勢能具有相對性。（2）勢能是屬于保守力相互作用系統的，而不是某個質點獨有的。（3）只有保守力才有相應的勢能，而非保守力沒有與之相應的勢能。462 常見的幾種勢

13、能（1）重力勢能 在地球表面附近小范圍內，mg重力可視為恒力，取地面為零勢能面，則h高處重物m的重力勢能為 （2）彈簧的彈性勢能 取彈簧處于原長時為彈性勢能零點，當彈簧伸長（壓縮）x時，彈力F=-kx，彈力做的功為 由前面保守力所做功與勢能變化關系可知 （3）引力勢能 兩個質點M、m相距無窮遠處，規定，設m從無窮遠處移近M，引力做功W，由于F引=，大小隨r變化，可采用微元法分段求和方式。如圖4-5-1，取質點n由A到B，位移為，引力做功很小，、差異很小，則由無窮遠至距r處，引力功W為 圖4-6-1開始時，最后相對距離為=r又有 質點與均勻球體間引力勢能，在球體外，可認為球體質量集中于球心，所以

14、引力勢能為 rR R為球半徑 質量M，半徑為R的薄球殼，由于其內部引力合力為零，故任意兩點間移動質點m，引力均不做功，引力勢能為恒量，所以質量m質點在薄球殼附近引力勢能為 = §47 功能原理和機械能守恒定律471 功能原理根據質點系動能定理當質點系內有保守力作用和非保守力作用時，內力所做功又可分為而由保守力做功特點知，保守力做功等于勢能增量的負值，即 于是得到用E表示勢能與動能之和，稱為系統機械能，結果得到 外力的功和非保守力內力所做功之和等于系統機械能的增量，這就是質點系的功能原理。可以得到（外力做正功使物體系機械能增加，而內部的非保守力作負功會使物體系的機械能減少）。

15、 功能原理適用于分析既有外力做功，又有內部非保守力做功的物體系，請看下題：圖4-7-1 勁度系數為k的輕質彈簧水平放置，左端固定，右端連接一個質量為m的木塊（圖4-7-1）開始時木塊靜止平衡于某一位置，木塊與水平面之間的動摩擦因數為。然后加一個水平向右的恒力作用于木塊上。（1）要保證在任何情況下都能拉動木塊，此恒力F不得小于多少？（2）用這個力F拉木塊，當木塊的速度再次為零時，彈簧可能的伸長量是多少？ 題目告知“開始時木塊靜止平衡于某一位置”，并未指明確切的位置，也就是說木塊在該位置時所受的靜摩擦力和彈簧的形變量都不清楚，因此要考慮各種情況。如果彈簧自然伸展時，木塊在O點，那么當木塊在O點右方

16、時，所受的彈簧的作用力向右。因為木塊初始狀態是靜止的，所以彈簧的拉力不能大于木塊所受的最大靜摩擦力。要將木塊向右拉動，還需要克服一個向左的靜摩擦力，所以只要F2，即可保證在任何情況下都能拉動木塊。 設物體的初始位置為，在向右的恒力F作用下，物體到x處的速度再次為零，在此過程中，外部有力F做功，內部有非保守力f做功，木塊的動能增量為零，所以根據物體系的功能原理有可得因為木塊一開始靜止，所以要求 可見，當木塊再次靜止時，彈簧可能的伸長是 472 機械能守恒定律 若外力的與非保守內力的功之和為零時，則系統機械能守恒，這就是機械能守恒定律。 注意：該定律只適用于慣性系，它同時必須是選擇同一慣性參照系。

17、在機械能守恒系統中，由于保守內力做功，動能和勢能相互轉化，而總的機械能則保持不變。下面介紹一例由機械能守恒推出的重要定理：伯努利方程理想流體 不可壓縮的、沒有粘滯性的流體，稱為理想流體。定常流動 觀察一段河床比較平緩的河水的流動，你可以看到河水平靜地流著，過一會兒再看，河水還是那樣平靜地流著，各處的流速沒有什么變化。河水不斷地流走，可是這段圖4-7-2河水的流動狀態沒有改變。河水的這種流動就是定常流動。流體質點經過空間各點的流速雖然可以不同，但如果空間每一點的流速不隨時間而改變，這樣的流動就叫做定常流動。自來水管中的水流，石油管道中石油的流動，都可以看做定常流動。流體的流動可以用流線形象地表示

18、。在定常流動中，流線表示流體質點的運動軌跡。圖4-7-2是液體流過圓柱體時流線的分布。A、B處液體流過的橫截面積大，CD處液體流過的橫截面積小。液體在CD處流得急，流速大。AB處的流線疏，CD處的流線密，這樣，從流線的分布可以知道流速的大小。流線疏的地方，流速小；流線密的地方，流速大。伯努利方程 現在研究理想流體做定常流動時流體中壓強和流速的關系。圖4-7-3表示一個細管，其中流體由左向右流動。在管的處和處用橫截面截出一段流體，即處和處之間的流體，作為研究對象。 處的橫截面積為，流速為，高度為，處左邊的流體對研究對象的壓強為，方向垂直于向右。 處的橫截面積為，流速為，高度為，處左邊的流體對研究

19、對象的壓強為，方向垂直于向左。 經過很短的時間間隔，這段流體的左端由移到。右端由移到。圖4-7-3兩端移動的距離分別為和。左端流入的流體體積為，右端流出的流體體積為，理想流體是不可壓縮的，流入和流出的體積相等，記為。 現在考慮左右兩端的力對這段流體所做的功。作用在液體左端的力，所做的功。作用在右端的力，所做的功。外力所做的總功 （1） 外力做功使這段流體的機械能發生改變。初狀態的機械能是到這段流體的機械能，末狀態的機械能是到這段流體的機械能。由到這一段，經過時間，雖然流體有所更換，但由于我們研究的是理想流體的定常流動，流體的密度和各點的流速沒有改變，動能和重力勢能都沒有改變，所以這一段的機械能

20、沒有改變，這樣機械能的改變就等于流出的那部分流體的機械能減去流入的那部分流體的機械能。 由于，所以流入的那部分流體的動能為 重力勢能為流出流體的動能為 重力勢能為機械能的改變為 （2） 理想流體沒有粘滯性，流體在流動中機械能不會轉化為內能，所以這段流體兩端受的力所做的總功W等于機械能的改變，即 W= （3）將（1）式和（2）式代入（3）式，得 整理后得圖4-7-4 （4）和是在流體中任意取的，所以上式可表示為對管中流體的任意處： 常量 （5） （4）式和（5）式稱為伯努利方程。 流體水平流動時，或者高度差的影響不顯著時（如氣體的流動），伯努利方程可表達為 常量 （6） 從（6）式可知，在流動的

21、流體中，壓強跟流速有關，流速v大的地方要強p小，流速v小的地方壓強p大。知道壓強和流速的關系，就可以解釋本節開始所做的實驗了。經過漏斗吹乒乓球時，乒乓球上方空氣的流速大，圖4-7-5壓強小，下方空氣的壓強大，乒乓球受到向上的力，所以會貼在漏斗上不會掉下來。向兩張紙中間吹氣，兩張紙中間空氣的流速大，壓強小，外邊空氣的壓強大，所以兩張紙將互相貼近。同樣的道理，兩艘并排的船同向行駛時（圖4-7-4）如果速度較大，兩船會互相靠近，有相撞的危險。歷史上就曾經發生過這類事故。在航海中。對并排同向行駛的船舶，要限制航速和兩船的距離。伯努利方程的應用： 球類比賽中的旋轉球和不轉球的飛行軌跡不同，是因為球周圍空

22、氣流動情況不同造成的。圖4-7-5甲表示不轉球水平向左運動時周圍空氣的流線。球的上方和下方流線對稱，流速相同，上下不產生壓強差。現在考慮球的旋轉，致使球的下方空氣的流速增大，上方流速減小，周圍空氣流線如圖乙所示。球的下方流速大，壓強小，上方流速小，壓強大。跟不轉球相比，圖4-1-6乙所示旋轉球因為旋轉而受到向下的力，飛行軌跡要向下彎曲。 例：如圖4-7-6所示，用一彈簧把兩物塊A和B連接起來后，置于水平地面上。已知A和B的質量分別為和。問應給物塊A上加多大的壓力F，才可能在撤去力F后，A向上跳起后會出圖4-7-6現B對地無壓力的情況？彈簧的質量略去不計。設彈簧原長為，建立如圖4-7-7所示的坐

23、標，以k表示彈簧的勁度系數，則有 取圖中O點處為重力勢能零點，當A受力F由O點再被壓縮了x時，系統的機械能為 圖4-7-7撤去F當A上升到最高處即彈簧較其自然長度再伸長時，系統的機械能為 A在x處時，其受力滿足 ，以式的代入上式，乃有 當F撤去A上升到處時，彈簧的彈力大小為，設此時B受到地面的支持力為N，則對于B應有 要B對地無壓力，即N=0，則上式變為 因為A由x處上升至處的過程中，對此系統無外力和耗散力作功，則其機械能守恒，即 = 聯立解式，可得 。 顯然，要出現B對地無壓力的情況，應為（。當F=（時，剛好能出現B對地無壓力的情況，但B不會離開地面；當F（時，B將出現離開地面向上跳起的情況

24、。 §48 碰撞 質量和的兩個物塊，在直線上發生對心碰撞，碰撞前后速度分別為和及和，碰撞前后速度在一條直線上，由動量守恒定律得到根據兩物塊在碰撞過程中的恢復情況，碰撞又可分類為下列幾種（1）彈性碰撞在碰撞過程中沒有機械能損失的碰撞稱為彈性碰撞，由動能守恒有結合動量守恒解得對上述結果可作如下討論，則，即交換速度。若，且有=0，則，即質量大物速度幾乎不變，小物以二倍于大物速度運動。若，且=0，則，則質量大物幾乎不動，而質量小物原速率反彈。（2） 完全非彈性碰撞 兩物相碰粘合在一起或具有相同速度，被稱為完全非彈性碰撞，在完全非彈性碰撞中，系統動量守恒，損失機械能最大。 碰撞過程中

25、損失的機械能為圖4-9-1（3 ）一般非彈性碰撞，恢復系數一般非彈性碰撞是指碰撞后兩物分開，速度，且碰撞過程中有機械損失，但比完全非彈性碰撞損失機械能要小。物理學中用恢復系數來表征碰撞性質。恢復系數e定義為 彈性碰撞， e=1。完全非彈性碰撞 ，e=0。一般非彈性碰撞 0e1。（4） 斜碰兩物碰撞前后不在一條直線上，屬于斜碰，如圖4-9-1所示設兩物間的恢復系數為e，設碰撞前、速度為、，其法向、切向分量分別為、，碰后分離速度、，法向、切向速度分量、，則有若兩物接觸處光滑，則應有、切向速度分量不變 、若兩物接觸處有切向摩擦，這一摩擦力大小正比于法向正碰力，也是很大的力，它提供的切向沖量便不可忽略

26、。§49 質心及質心運動491 質心及質心位置 任何一個質點系中都存在著一個稱為質心的特殊點，它的運動與內力無關，只取決于外力。當需要將質點組處理成一個質點時，它的質量就是質點組的總質量。當需要確定質心的運動時，就設想把質點組所受的全部外力集中作用在質心上。 注意：質心是一個假想的質點。 設空間有N個質點，其質量、位置分別記作、，質量組質心記為C，則質量、位置。 在、直角坐標系中，記錄質心的坐標位置為492、質心的速度、加速度、動量質心速度，在空間直角坐標系中，質心速度可表達為質心的動量，質心的動量等于質點組中各個質點動量的矢量和。質心的加速度由上式可見，當質點組所受合外力為零時，質

27、心將保持靜止狀態或勻速直線運動狀態。同樣，質點組的動量定理也可表述為外力的沖量的矢量和等于質心動量的增量。493、質心的動能與質點組的動能以二個質點為例，質量、兩質點相對于靜止參照系速度、，質心C的速度，二質點相對于質心速度是和，可以證明有 即二個質點的總動能等于質心的動能與兩質點相對質心動能之和。 §410天體的運動與能量4101、天體運動的機械能守恒二體系統的機械能E為系統的萬有引力勢能與各天體的動能之和。僅有一個天體在運動時，則E為系統的萬有引力勢能與其動能之和。由于沒有其他外力作用，系統內萬有引力屬于保守力，故有機械能守恒，E為一恒量，如圖4-10-1所示，設M天體

28、不動，m天體繞M天體轉動，則由機械動能守恒，有圖4-10-1當運動天體背離不動天體運動時，不斷增大，而將不斷減小，可達無窮遠處，此時而0，則應滿足E0，即例如從地球發射人造衛星要掙脫地球束縛必有圖4-10-2我們稱=11.2km/s為第二宇宙速度，它恰為第一宇宙速度為倍。另外在上面的二體系統中，由于萬有引力屬于有心力，所以對m而言，遵循角動量守恒 或 方向的夾角。它實質可變換得到開普勒第二定律，即行星與恒星連線在相等時間內掃過面積等。 4102、天體運動的軌道與能量若M天體固定，m天體在萬有引力作用下運動，其圓錐曲線可能是橢圓（包括圓）、拋物線或雙曲線。i）橢圓軌道如圖4-7-1所示

29、，設橢圓軌道方程為 （a>b）則橢圓長，短半軸為a、b，焦距，近地點速度，遠地點速度，則有或由開普勒第二定律： 可解得代入E得ii)拋物線設拋物線方程為太陽在其焦點（）處，則m在拋物線頂點處能量為可以證明拋物線頂點處曲率半徑，則有得到圖4-10-3拋物線軌道能量 iii）雙曲線設雙曲線方程為焦距，太陽位于焦點（C，0），星體m在雙曲線正半支上運動。如圖4-10-3所示，其漸近線OE方程為y=bx/a，考慮m在D處與無窮遠處關系，有考慮到當，運動方向逼近漸近線，焦點與漸近線距為故有 或 聯解得雙曲線軌道能量小結 橢圓軌道 拋物線軌道 雙曲線軌道以下舉一個例子質量為m的宇宙飛船繞地球中心0作

30、圓周運動，已知地球半徑為R，飛船軌道半徑為2R。圖4-10-4現要將飛船轉移到另一個半徑為4R的新軌道上，如圖4-10-4所示，求（1）轉移所需的最少能量；（2）如果轉移是沿半橢圓雙切軌道進行的，如圖中的ACB所示，則飛船在兩條軌道的交接處A和B的速度變化各為多少？解: （1）宇宙飛船在2R軌道上繞地球運動時，萬有引力提供向心力，令其速度為，乃有 故得 此時飛船的動能和引力勢能分別為所以飛船在2R軌道上的機械能為同理可得飛船在4R軌道上的機械能為 以兩軌道上飛船所具有的機械能比較，知其機械能的增量即為實現軌道轉移所需的最少能量，即 （2）由（1）已得飛船在2R軌道上運行的速度為 同樣可得飛船4

31、R軌道上運行的速度為 設飛船沿圖示半橢圓軌道ACB運行時，在A、B兩點的速度分別為。則由開普勒第二定律可得 又由于飛船沿此橢圓軌道的一半運行中機械能守恒，故應有聯立以上兩式解之可得故得飛船在A、B兩軌道交接處的速度變化量分別為 a圖4-10-5 例如：三個鋼球A、B、C由輕質的長為的硬桿連接，豎立在水平面上，如圖4-10-5所示。已知三球質量，距離桿處有一面豎直墻。因受微小擾動，兩桿分別向兩邊滑動，使B球豎直位置下降。致使C球與墻面發生碰撞。設C球與墻面碰撞前后其速度大小不變，且所有摩擦不計，各球的直徑都比小很多，求B球落地瞬間三球的速度大小。 解： （1）球碰墻前三球的位置 視A、B、C三者為一系統，A、C在水平面上滑動時，只要C不與墻