1、第四章 圓與方程 圓的標準方程三維目標：知識與技能：1、掌握圓的標準方程，能根據圓心、半徑寫出圓的標準方程。2、會用待定系數法求圓的標準方程。過程與方法：進一步培養學生能用解析法研究幾何問題的能力，滲透數形結合思想，通過圓的標準方程解決實際問題的學習，注意培養學生觀察問題、發現問題和解決問題的能力。情感態度與價值觀：通過運用圓的知識解決實際問題的學習，從而激發學生學習數學的熱情和興趣。教學重點：圓的標準方程教學難點：會根據不同的已知條件，利用待定系數法求圓的標準方程。教學過程：1、情境設置：在直角坐標系中，確定直線的基本要素是什么？圓作為平面幾何中的基本圖形，確定它的要素又是什么呢？什么叫圓？

2、在平面直角坐標系中，任何一條直線都可用一個二元一次方程來表示，那么，原是否也可用一個方程來表示呢？如果能，這個方程又有什么特征呢？探索研究：2、探索研究：確定圓的基本條件為圓心和半徑，設圓的圓心坐標為A(a,b)，半徑為r。（其中a、b、r都是常數，r0）設M(x,y)為這個圓上任意一點，那么點M滿足的條件是（引導學生自己列出）P=M|MA|=r,由兩點間的距離公式讓學生寫出點M適合的條件化簡可得： 引導學生自己證明為圓的方程，得出結論。方程就是圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程，我們把它叫做圓的標準方程。3、知識應用與解題研究例（1）：寫出圓心為半徑長等于5的圓的方程，并判斷點是否在這個

3、圓上。分析探求：可以從計算點到圓心的距離入手。探究：點與圓的關系的判斷方法：（1），點在圓外（2）=，點在圓上（3），點在圓內例（2）： 的三個頂點的坐標是求它的外接圓的方程師生共同分析：從圓的標準方程 可知，要確定圓的標準方程，可用待定系數法確定三個參數.（學生自己運算解決）例(3):已知圓心為的圓經過點和,且圓心在上,求圓心為的圓的標準方程.師生共同分析: 如圖確定一個圓只需確定圓心位置與半徑大小.圓心為的圓經過點和,由于圓心與A,B兩點的距離相等，所以圓心在險段AB的垂直平分線m上，又圓心在直線上，因此圓心是直線與直線m的交點，半徑長等于或。（教師板書解題過程。） 總結歸納：（教師啟發，

4、學生自己比較、歸納）比較例（2）、例(3)可得出外接圓的標準方程的兩種求法：、 根據題設條件，列出關于的方程組，解方程組得到得值，寫出圓的標準方程.根據確定圓的要素，以及題設條件，分別求出圓心坐標和半徑大小，然后再寫出圓的標準方程.提煉小結：1、 圓的標準方程。2、 點與圓的位置關系的判斷方法。3、 根據已知條件求圓的標準方程的方法。作業：課本習題4.1第2、3、4題 教學反思：圓的一般方程三維目標： 知識與技能： (1)在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓的一般方程的代數特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑掌握方程x2y2DxEyF=0表示圓的條件 (2)能通過配方等手段，把圓的一般方程化

5、為圓的標準方程能用待定系數法求圓的方程。(3):培養學生探索發現及分析解決問題的實際能力。過程與方法：通過對方程x2y2DxEyF=0表示圓的條件的探究，培養學生探索發現及分析解決問題的實際能力。情感態度價值觀：滲透數形結合、化歸與轉化等數學思想方法，提高學生的整體素質，激勵學生創新，勇于探索。教學重點：圓的一般方程的代數特征，一般方程與標準方程間的互化，根據已知條件確定方程中的系數，D、E、F教學難點：對圓的一般方程的認識、掌握和運用 教 具：多媒體、實物投影儀教學過程：課題引入：問題：求過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程。利用圓的標準方程解決此問題顯然有些麻煩，得用直

6、線的知識解決又有其簡單的局限性，那么這個問題有沒有其它的解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式圓的一般方程。探索研究：請同學們寫出圓的標準方程：(xa)2(yb)2=r2，圓心(a，b)，半徑r把圓的標準方程展開，并整理：x2y22ax2bya2b2r2=0取得 這個方程是圓的方程反過來給出一個形如x2y2DxEyF=0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎？把x2y2DxEyF=0配方得 (配方過程由學生去完成)這個方程是不是表示圓？ (1)當D2E24F0時，方程表示（1）當時，表示以（-，-）為圓心,為半徑的圓；（2）當時，方程只有實數解，即只表示一個點（-，-）;（3）當時

7、，方程沒有實數解，因而它不表示任何圖形綜上所述，方程表示的曲線不一定是圓 只有當時，它表示的曲線才是圓，我們把形如的表示圓的方程稱為圓的一般方程我們來看圓的一般方程的特點：(啟發學生歸納) (1)x2和y2的系數相同，不等于0沒有xy這樣的二次項 (2)圓的一般方程中有三個特定的系數D、E、F，因之只要求出這三個系數，圓的方程就確定了(3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯。知識應用與解題研究：例1：判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心及半徑。學生自己分析探求解決途徑：、用配方法將其變

8、形化成圓的標準形式。、運用圓的一般方程的判斷方法求解。但是，要注意對于來說，這里的.例2：求過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標。 分析：據已知條件，很難直接寫出圓的標準方程，而圓的一般方程則需確定三個系數，而條件恰給出三點坐標，不妨試著先寫出圓的一般方程 解：設所求的圓的方程為：在圓上，所以它們的坐標是方程的解.把它們的坐標代入上面的方程，可以得到關于的三元一次方程組，即解此方程組，可得：所求圓的方程為：；得圓心坐標為（4，-3）.或將左邊配方化為圓的標準方程，,從而求出圓的半徑，圓心坐標為(4,-3) 學生討論交流，歸納得出使用待定系數法的

9、一般步驟：、 根據提議，選擇標準方程或一般方程；、 根據條件列出關于a、b、r或D、E、F的方程組；、 解出a、b、r或D、E、F，代入標準方程或一般方程。例3、已知線段AB的端點B的坐標是（4，3），端點A在圓上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程。分析：如圖點A運動引起點M運動，而點A在已知圓上運動，點A的坐標滿足方程。建立點M與點A坐標之間的關系，就可以建立點M的坐標滿足的條件，求出點M的軌跡方程。 解：設點M的坐標是（x,y）,點A的坐標是 上運動，所以點A的坐標滿足方程,即 把代入，得 課堂練習：課堂練習第1、2、3題小結 ：1對方程的討論(什么時候可以表示圓) 2與標準方程的互化 3

10、用待定系數法求圓的方程 4求與圓有關的點的軌跡。課后作業：習題4.1第2、3、6題教學反思： 直線與圓的位置關系一、教學目標1、知識與技能（1）理解直線與圓的位置的種類；（2）利用平面直角坐標系中點到直線的距離公式求圓心到直線的距離；（3）會用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系2、過程與方法設直線：，圓：，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則判別直線與圓的位置關系的依據有以下幾點：（1）當時，直線與圓相離；（2）當時，直線與圓相切；（3）當時，直線與圓相交；3、情態與價值觀讓學生通過觀察圖形，理解并掌握直線與圓的位置關系，培養學生數形結合的思想 二、教學重點、難點：重點：直線與圓的位置關系的

11、幾何圖形及其判斷方法難點：用坐標法判直線與圓的位置關系 三、教學設想問 題設計意圖師生活動1初中學過的平面幾何中，直線與圓的位置關系有幾類？啟發學生由圖形獲取判斷直線與圓的位置關系的直觀認知，引入新課師：讓學生之間進行討論、交流，引導學生觀察圖形，導入新課生：看圖，并說出自己的看法2直線與圓的位置關系有哪幾種呢？得出直線與圓的位置關系的幾何特征與種類師：引導學生利用類比、歸納的思想，總結直線與圓的位置關系的種類，進一步深化“數形結合”的數學思想問 題設計意圖師生活動 生：觀察圖形，利用類比的方法，歸納直線與圓的位置關系3在初中，我們怎樣判斷直線與圓的位置關系呢？如何用直線與圓的方程判斷它們之間

12、的位置關系呢？使學生回憶初中的數學知識，培養抽象概括能力師：引導學生回憶初中判斷直線與圓的位置關系的思想過程生：回憶直線與圓的位置關系的判斷過程4你能說出判斷直線與圓的位置關系的兩種方法嗎？抽象判斷直線與圓的位置關系的思路與方法師：引導學生從幾何的角度說明判斷方法和通過直線與圓的方程說明判斷方法生：利用圖形，尋找兩種方法的數學思想5你能兩種判斷直線與圓的位置關系的數學思想解決例1的問題嗎？體會判斷直線與圓的位置關系的思想方法，關注量與量之間的關系師：指導學生閱讀教科書上的例1生：新聞記者教科書上的例1，并完成教科書第136頁的練習題26通過學習教科書的例1，你能總結一下判斷直線與圓的位置關系的

13、步驟嗎？使學生熟悉判斷直線與圓的位置關系的基本步驟生：閱讀例1師；分析例1，并展示解答過程；啟發學生概括判斷直線與圓的位置關系的基本步驟，注意給學生留有總結思考的時間生：交流自己總結的步驟師：展示解題步驟7通過學習教科書上的例2，你能說明例2中體現出來的數學思想方法嗎？進一步深化“數形結合”的數學思想師：指導學生閱讀并完成教科書上的例2，啟發學生利用“數形結合”的數學思想解決問題生：閱讀教科書上的例2，并完成第137頁的練習題問 題設計意圖師生活動8通過例2的學習，你發現了什么？明確弦長的運算方法師：引導并啟發學生探索直線與圓的相交弦的求法生：通過分析、抽象、歸納，得出相交弦長的運算方法9完成

14、教科書第136頁的練習題1、2、3、4鞏固所學過的知識，進一步理解和掌握直線與圓的位置關系師：引導學生完成練習題生：互相討論、交流，完成練習題10課堂小結：教師提出下列問題讓學生思考：（1）通過直線與圓的位置關系的判斷，你學到了什么？（2）判斷直線與圓的位置關系有幾種方法？它們的特點是什么？（3）如何求出直線與圓的相交弦長？作業：習題42A組：1、3教學反思： 圓與圓的位置關系一、教學目標1、知識與技能（1）理解圓與圓的位置的種類；（2）利用平面直角坐標系中兩點間的距離公式求兩圓的連心線長；（3）會用連心線長判斷兩圓的位置關系2、過程與方法設兩圓的連心線長為，則判別圓與圓的位置關系的依據有以下

15、幾點：（1）當時，圓與圓相離；（2）當時，圓與圓外切；（3）當時，圓與圓相交；（4）當時，圓與圓內切；（5）當時，圓與圓內含；3、情態與價值觀讓學生通過觀察圖形，理解并掌握圓與圓的位置關系，培養學生數形結合的思想 二、教學重點、難點：重點與難點：用坐標法判斷圓與圓的位置關系 三、教學設想問 題設計意圖師生活動1初中學過的平面幾何中，圓與圓的位置關系有幾類？結合學生已有知識以驗，啟發學生思考，激發學生學習興趣教師引導學生回憶、舉例，并對學生活動進行評價；學生回顧知識點時，可互相交流2判斷兩圓的位置關系，你有什么好的方法嗎？引導學生明確兩圓的位置關系，并發現判斷和解決兩圓的位置教師引導學生閱讀教科

16、書中的相關內容，注意個別輔導，解答學生疑難，并引導學生自己總結解題的方法問 題設計意圖師生活動關系的方法學生觀察圖形并思考，發表自己的解題方法3例3你能根據題目，在同一個直角坐標系中畫出兩個方程所表示的圓嗎？你從中發現了什么？培養學生“數形結合”的意識教師應該關注并發現有多少學生利用“圖形”求，對這些學生應該給予表揚同時強調，解析幾何是一門數與形結合的學科4根據你所畫出的圖形，可以直觀判斷兩個圓的位置關系如何把這些直觀的事實轉化為數學語言呢？進一步培養學生解決問題、分析問題的能力利用判別式來探求兩圓的位置關系師：啟發學生利用圖形的特征，用代數的方法來解決幾何問題生：觀察圖形，并通過思考，指出兩

17、圓的交點，可以轉化為兩個圓的方程聯立方程組后是否有實數根，進而利用判別式求解5從上面你所畫出的圖形，你能發現解決兩個圓的位置的其它方法嗎？進一步激發學生探求新知的精神，培養學生師：指導學生利用兩個圓的圓心坐標、半徑長、連心線長的關系來判別兩個圓的位置生：互相探討、交流，尋找解決問題的方法，并能通過圖形的直觀性，利用平面直角坐標系的兩點間距離公式尋求解題的途徑6如何判斷兩個圓的位置關系呢？從具體到一般地總結判斷兩個圓的位置關系的一般方法師：對于兩個圓的方程，我們應當如何判斷它們的位置關系呢？引導學生討論、交流，說出各自的想法，并進行分析、評價，補充完善判斷兩個圓的位置關系的方法7閱讀例3的兩種解

18、法，解決第137頁的練習題鞏固方法，并培養學生解決問題的能力師：指導學生完成練習題生：閱讀教科書的例3，并完成第137頁的練習題問 題設計意圖師生活動8若將兩個圓的方程相減，你發現了什么？得出兩個圓的相交弦所在直線的方程師：引導并啟發學生相交弦所在直線的方程的求法生：通過判斷、分析，得出相交弦所在直線的方程9兩個圓的位置關系是否可以轉化為一條直線與兩個圓中的一個圓的關系的判定呢？進一步驗證相交弦的方程師：引導學生驗證結論生：互相討論、交流，驗證結論10課堂小結：教師提出下列問題讓學生思考：（1）通過兩個圓的位置關系的判斷，你學到了什么？（2）判斷兩個圓的位置關系有幾種方法？它們的特點是什么？（

19、3）如何利用兩個圓的相交弦來判斷它們的位置關系？作業：習題42A組：4、7教學反思： 直線與圓的方程的應用一、教學目標1、知識與技能（1）理解直線與圓的位置關系的幾何性質；（2）利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關系；（3）會用“數形結合”的數學思想解決問題2、過程與方法用坐標法解決幾何問題的步驟：第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數問題；第二步：通過代數運算，解決代數問題；第三步：將代數運算結果“翻譯”成幾何結論3、情態與價值觀讓學生通過觀察圖形，理解并掌握直線與圓的方程的應用，培養學生分析問題與解決問題的能力 二、教學重點、難點：重點與難點：直線與圓的方程的應用 三、教學設想問 題設計意圖師生活動1你能說出直線與圓的位置關系嗎？啟發并引導學生回顧直線與圓的位置關系，從而引入新課師：啟發學生回顧直線與圓的位置關系，導入新課生：回顧，說出自己的看法2解決直線與圓的位置關系，你將采用什么方法？理解并掌握直線與圓的位置關系的解決辦法與數學思想師：引導學生通過觀察圖形，回顧所學過的知識，說出解決問題的方法生：回顧、思考、討論、交流，得到解決問題的方法問 題設計意圖師生活動 3閱讀并思考教科書上的例4，你將選擇什么方法解決例4的問題？指導學生從直觀認識過渡到數學思想方法的選擇師：指