1、精選優質文檔-傾情為你奉上導數的幾何意義的應用教學設計教材分析導數是高中數學學習的重要內容，復習中應重點關注導數的應用，縱觀各地的高考試卷，大多數以一個大題的形式考察這部分內容，內容主要是與單調性、最值、切線這三方面有關。而其中的切線方面的求法涉及到導數的幾何意義的應用，學好了它對其數學知識的學習及貫穿運用有很大的幫助，因此在復習時，有必要再對其進行專題復習。學生分析學生雖然已經學完了導數，也對導數的幾何意義有了一定的認識，但由于學生容易忽略對點與曲線位置關系的判斷，并對點在曲線外的求解方法還不能熟練掌握。因此有必要對此內容進行專題訓練使學生能更好地掌握。教學目標1.知識與技能：會用導數的幾何

2、意義解決數學問題。2.方法與過程：通過探究導數的幾何意義的應用，培養學生自主探究和解決問題的能力，鍛煉學生的思維品質。3.情感與態度：由導數的幾何意義引入問題，利用探究題、開放性題深化了對該知識的理解，借助于多媒體教學手段，給學生提供了思維的直觀想象。通過學生主動參與，體驗導數的優越性，激發學生的學習興趣和求知欲望，給學生創造成功的機會，使他們愛學、會學、學會。教學重點 利用導數的幾何意義解決數學問題。教學難點 過曲線外一點求曲線的切線方程。教學準備 多媒體輔助教學（利用實物投影進行教學）教學方法 啟發探究式（教師設問引導，學生自主探究，合作解決）教學過程 求過曲線上一點的切線方程一、復習導入

3、，構建知識網絡：判斷函數的單調性導函數導數的運算導數的應用判斷函數的極大（?。┲登蠛瘮档淖畲螅ㄐ。┲瞪钪械膬灮瘑栴}求簡單函數的導數導數的幾何意義導數的定義導入：本節課重點復習導數的幾何意義的應用 設計意圖：由于學生回憶以往知識，用實物投影儀以框圖的形式給出，讓學生對導數有一個全面的了解，形成腦圖。引導學生從“整體”到“局部”再到“整體”的認知規律，是高三專題課“整體化”的教學思想的體現。二、探索研究，引導歸納活動一：探究求曲線上一點的切線方程的方法嘗試題： 課本P123例3：已知曲線y=x3 上一點 p(2,)，求點p處的切線方程。分析：關鍵求切線的斜率。解法：由導數的幾何意義得y=x2，則

4、=22=4。所以，在點p處的切線方程是y-=4(x-2) ，即12 x-3y-16=0。設計意圖：通過課本中的例題創造導數幾何意義的應用的環境 ，為探究題作鋪墊。活動二：探究過曲線外一點求曲線方程的方法。探究題：求曲線 C:y=x3-3x過點 P(0,16)的切線方程。分析：要注意到該點在曲線外，解此題的關鍵是將該問題轉化為點在曲線上的問題。解法一：點斜式（常規法）設過點A(0,16)且與曲線y=x3-3x相切的切點的坐標為（x0,y0），由導數的幾何意義得：=3x2-3得k=(x0)=3x02-3，由直線方程的點斜式得 y-16=(3x02-3)（x-0）又（x0,y0）在其上y0=x03-

5、3x0 。 所以 x03-3x0=3x03-3x0=16，2x03=-16 ， x0=-2 ， 故所求切線方程為9x-y+16=0。解法二：兩點斜率（公式法）設切點坐標為（x0,y0）則=3x02-3，又 y0=x03-3x0 ，所以 x03-3x0-16=3x03-3x0 ， 解得x0=-2。故所求切線的方程為9x-y+16=0。設計意圖 ：探究題旨在給不同層次的學生留有學習的空間，培養獨立思考，善于思考的好習慣。三拓展探索，開放思維開放題：求曲線y=4x2上的點到直線y=2x-1的距離的最小值。分析:法一：將問題轉化為求曲線上哪一點處的導數值為2。法二：將問題轉化為直線與圓錐曲線的位置關系

6、的判斷以及求解問題。法三：將問題轉化為求二次函數最值問題。解法一（導數法）：設點（x0,y0）即（x0,4y0）到直線y=2x-1的距離最小，亦即該點處的導數值為2。所以，|x=x=8x0=2,所以x0= ， y0=4x02=4×=。 又（，）到直線y=2x-1的距離d=。解法二（判別式法）：設過曲線y=4x2上的點且與直線y=2x-1平行的曲線的切線方程為y=2x+b(或設與直線y=2x-1平行的曲線的切線方程為y=2x+b)，由 得4x2-2 x-b=0由該直線與曲線相切得=0，即=（-2）2-4×4×（-b）=0， 4+16b=0，16b=-4， b=-，故

7、切線方程為2x-y-=0 此直線與直線2x-y-1=0間的距離為d=。解法三（公式法）：設曲線y=4x2上點（x0,y0）到直線y=2x-1的距離為d，則由到直線的距離公式有d=，當x0=時，dmin=。設計意圖：此開放性題借助數形結合，提供思維想象載體，使問題更直觀，利用轉化思想通過不同的角度和途徑解決一個共同的研究，旨在促進前后知識的融會貫通，發散學生的思維，培養學生良好的思維品質由師生共同完成。四、總結轉新 先由學生概括總結本節課的主要內容，然后教師補充。1.利用導數的幾何意義，求過一點的曲線的切線方程時，首先要判斷點與切線的位置關系，當點不在曲線上時，要注意轉化為總在曲線上的求解。2.

8、在解靈活性較強的問題時，要注意選擇適當、最優方法來解決以便于取得最佳效果。3.導數時高考考查內容，同學們要引起足夠的重視。設計意圖：使知識條理化、系統化。五、布置作業1.求曲線C：y=x2+x過點p(1,1)點的切線方程。2.（04 天津）已知函數f(x)=ax3+bx2-3x 在x=1處取得極值。（1）討論f(1)和f(-1)是函數f(x)的極大值還是極小值。（2）過點A(0,16)作曲線y=f(x)切線，求此切線方程。設計意圖：鞏固和發展所學知識。六、板書設計導數的幾何意義的應用求點在曲線上的切線方程點在曲線外的切線方程嘗試題開放性題探究題七、教學反思（略）導數的應用教學案例摘要 導數是高

9、中數學學習的內容，復習中應重點關注導數的應用，縱觀近年來各地的高考試題，大多數以一個大題的形式考察這部分內容，內容主要與單調性、最值、切線這三個方面有關。本文通過一個“求過一點的曲線的切線方程”的問題，學生圍繞這個問題，自主學習、合作探究、親自嘗試接受問題的挑戰，充分展示自己的觀點和見解，提高學生利用以學知識去主動獲取知識的能力。組織學生參與“提出問題辨析問題探索解決總結歸納拓展升華”的學習活動過程，利用多媒體演示、變式練習等激發學生的學習興趣和求知欲望，建立嚴謹的科學態度和不怕困難的科學精神，有助于培養學生勇于質疑和善于反思的習慣，培養學生發現、提出、解決數學問題的能力，有助于發展學生的創新

10、意識和實踐能力。關鍵句 教學案例 導數 應用 自學預習 實踐能力 多媒體 變式訓練 開放性題一、 案例1. 提出問題，誘發思考師 同學們好，今天我們接著學習導數的應用，首先嘗試練習這道題：求曲線C：y=x2+x過P（1,1）點的切線方程。哪位同學上臺板演呢？（一個學生上臺板演，學生動手求解，求解中允許與周圍同學討論，幾分鐘后）。2. 問題辨析，喚起回憶。師 大家解出來了么？解出來的同學請看黑板，是否和這位同學意見一樣。生 我和他的想法不一樣，我認為點p不在該曲線C上,所以不能用過曲線上一點的切線方程的求法來解。師 很好，請同學們看大屏幕。（用多媒體演示點與曲線的位置關系的情形）師 那你是怎么解

11、的？生 我思考了半天，但沒有解出來。師 你剛才的思路很好，是否能把此問題轉化為“求曲線上一點的切線方程的方法來求解呢？”請大家認真觀察圖像。（用多媒體演示點從曲線上到曲線外的過程）3. 探索解決，分組探究。師 請同學們分組探究一下該問題（學生按小組開始交流討論，共同探究，過幾分鐘后）師 哪位同學上臺來修改（兩個學生主動上臺板演，教師在巡視中發現，教師的提示起到了重要的作用，臺上這兩位學生求解過程如下：）生1 設切點為(x1,y1),因為=2x+1,所以切線斜率為k=|x=x=2x1+1故切線方程為y-y1=(2x1=1)（x-x1）.則1-（x12+x1）=(2x1+1)(1-x1)解得， x

12、1=0或x1=2 故所求方程為y=x及y=5x-4生2 設切點為（x0,y0）,因為=2x+1，所以切線斜率為k=|x=x=2x0+1又因為過點（x0,y0），與（1，1）兩點的斜率k=,所以2x0+1=整理得2x02-x0=y0,又由y0=x02+ x0得2x02-x0= x02+ x0,解得 x0=0或x0=2 ，故所求切線方程為y=x或y=5x-4 。（教師讓這兩個同學把各自的求解思路作匯報后，作出點評4.總結歸納，鞏固加深 師 在解此類題時，應先判斷該點是否在曲線上，若點不在曲線上則轉化為在曲線上的問題來解決，本題可用常規法解，也可用公式法求解。下面請同學們試做這道變式訓練題， 求曲線

13、C: y=x3-3x,過p(0,16)點的切線方程（學生動手解答，教師巡回指導，過幾分鐘后） 師 哪位同學上臺展示一下你的思路和過程？（一個同學上臺講解）生甲由題可判斷P點不在曲線C上，若設切點為（x0,y0）,由導數的幾何意義得切線斜率k=3x02-3,又由直線方程的點斜式得，切線方程為y-16=(3x02-3)(x-0) 因為（x0,y0）在該曲線上，所以y0=x03-3x0,于是得 x03-3x0= (3x02-3)x0=16,解得x0=-2,進而求出所求切線方程為9x-y+16=0師 非常好，同學們還有其它解法嗎？（另一個同學主動上臺）生乙 因為點p不在曲線C上，可設切點為（x0,y0

14、），由=3x2-3,得斜率k=3x02-3,又過兩點的斜率公式得k=所以= 3x02-3，所以x03-3x0-16=3x03-3x0. 解得x0=-2, 故所求切線方程為9x-y+16=0 師 真棒，大家掌聲鼓勵一下這兩位同學（教室里一片掌聲）5拓展延伸，升華提高師 下面請同學們再練習一道開放性題：求曲線y=4x2 上的點到直線y=2x-1 的距離的最小值。請同學們分組討論，相互交流（教室中學生按小組交流討論，共同探究，過幾分鐘后）師 每小組用你們自己的方法試一下組1（設點（x0,y0）即（x0,4y0）到直線y=2x-1的距離最小，亦即該點處的導數值為2。所以，|x=x=8x0=2,所以x0

15、= ， y0=4x02=4×=。 又（，）到直線y=2x-1的距離d=。組2 設過曲線y=4x2上的點且與直線y=2x-1平行的曲線的切線方程為y=2x+b(或設與直線y=2x-1平行的曲線的切線方程為y=2x+b)，由 得4x2-2 x-b=0由該直線與曲線相切得=0，即=（-2）2-4×4×（-b）=0， 4+16b=0，16b=-4， b=-，故切線方程為2x-y-=0 此直線與直線2x-y-1=0間的距離為d=。組3設曲線y=4x2上點（x0,y0）到直線y=2x-1的距離為d，則由到直線的距離公式有d=,當x0=時，dmin=.師 棒極了，大家注意到了沒

16、有？第一組：將問題轉化為求曲線上哪一點處的導數值為2。第二組：將問題轉化為直線與圓錐曲線的位置關系的判斷以及求解問題。第三組：將問題轉化為求二次函數最值問題。此類題解法靈活多樣，同學們要注意選擇適當、最優的方法來解題，以便取得最佳效果。（學生概括總結本節課的主要內容，然后教師補充說明）二、 案例分析與反思1. 教學案例以探究為主線，采用問題教學模式，讓他們自己去體驗探索的艱辛和體會成功的喜悅，真正將學生置于教育教學的主體地位，充分發揮每個學生的創新精神和創造潛能，并引導學生討論探索性問題，符合學生的認識規律，體現了新課程“倡導自主探索、動手實踐、合作交流等數學學習的方式”，為學生形式積極主動的、多樣的學習方式創造有利的條件，以激發學生的數學學習興趣，鼓勵學生在學習過程中養成獨立思考、積極探索的習慣等教學理念。2. 本課的重點是利用導數解決數學問題。為了培養學生的自主學習能力，激發學生學習興趣，借鑒布魯納的發