1、第一章 量子理論基礎11 由黑體輻射公式導出維恩位移定律：能量密度極大值所對應的波長與溫度T成反比，即T=b（常量）；并近似計算b的數值，準確到二位有效數字。解 根據普朗克的黑體輻射公式， （1）以及 ， （2）， （3）有這里的的物理意義是黑體內波長介于與+d之間的輻射能量密度。本題關注的是取何值時，取得極大值，因此，就得要求 對的一階導數為零，由此可求得相應的的值，記作。但要注意的是，還需要驗證對的二階導數在處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的就是要求的，具體如下： 如果令x= ，則上述方程為這是一個超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但經過驗證，此解是平庸的；另外的一個解可

2、以通過逐步近似法或者數值計算法獲得：x=4.97，經過驗證，此解正是所要求的，這樣則有把x以及三個物理常量代入到上式便知14 利用玻爾索末菲的量子化條件，求：（1）一維諧振子的能量；（2）在均勻磁場中作圓周運動的電子軌道的可能半徑。已知外磁場H=10T，玻爾磁子，試計算運能的量子化間隔E，并與T=4K及T=100K的熱運動能量相比較。解 玻爾索末菲的量子化條件為其中q是微觀粒子的一個廣義坐標，p是與之相對應的廣義動量，回路積分是沿運動軌道積一圈，n是正整數。（1）設一維諧振子的勁度常數為k，諧振子質量為，于是有這樣，便有這里的正負號分別表示諧振子沿著正方向運動和沿著負方向運動，一正一負正好表示

3、一個來回，運動了一圈。此外，根據可解出 這表示諧振子的正負方向的最大位移。這樣，根據玻爾索末菲的量子化條件，有 為了積分上述方程的左邊，作以下變量代換；這樣，便有 這時，令上式左邊的積分為A，此外再構造一個積分這樣，便有 （1）這里 =2，這樣，就有 （2）根據式（1）和（2），便有這樣，便有 其中最后，對此解作一點討論。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次，這量子化的能量是等間隔分布的。（2）當電子在均勻磁場中作圓周運動時，有 這時，玻爾索末菲的量子化條件就為 又因為動能耐，所以，有其中，是玻爾磁子，這樣，發現量子化的能量也是等間隔的，而且具體到本題，有根據動能與溫度的關系式以及可知，當

4、溫度T=4K時，當溫度T=100K時，顯然，兩種情況下的熱運動所對應的能量要大于前面的量子化的能量的間隔。2.2 由下列定態波函數計算幾率流密度： 從所得結果說明表示向外傳播的球面波，表示向內(即向原點) 傳播的球面波。 解：在球坐標中 同向。表示向外傳播的球面波。 可見，反向。表示向內(即向原點) 傳播的球面波。補充：設，粒子的位置幾率分布如何？這個波函數能否歸一化？ 波函數不能按方式歸一化。 其相對位置幾率分布函數為 表示粒子在空間各處出現的幾率相同。2.3 一粒子在一維勢場 中運動，求粒子的能級和對應的波函數。解：無關，是定態問題。其定態S方程 在各區域的具體形式為 ： ： ：由于(1)

5、、(3)方程中，由于，要等式成立，必須 即粒子不能運動到勢阱以外的地方去。 方程(2)可變為 令，得 其解為 根據波函數的標準條件確定系數A，B，由連續性條件，得 由歸一化條件 得 由 可見E是量子化的。對應于的歸一化的定態波函數為 2.4. 證明（2.6-14）式中的歸一化常數是 證： （2.6-14） 由歸一化，得 歸一化常數 #2.5 求一維諧振子處在激發態時幾率最大的位置。 解： 令，得 由的表達式可知，時，。顯然不是最大幾率的位置。 可見是所求幾率最大的位置。 #3.2.氫原子處在基態，求： (1)r的平均值； (2)勢能的平均值； (3)最可幾半徑； (4)動能的平均值； (5)動

6、量的幾率分布函數。 解：(1) (3)電子出現在r+dr球殼內出現的幾率為 令 當為幾率最小位置 是最可幾半徑。 (4) (5) 動量幾率分布函數 3.5 一剛性轉子轉動慣量為I，它的能量的經典表示式是，L為角動量，求與此對應的量子體系在下列情況下的定態能量及波函數：(1) 轉子繞一固定軸轉動：(2) 轉子繞一固定點轉動：解：(1)設該固定軸沿Z軸方向，則有 哈米頓算符 其本征方程為 (無關，屬定態問題) 令 ，則 取其解為 (可正可負可為零)由波函數的單值性，應有 即 m= 0，±1，±2，轉子的定態能量為 (m= 0，±1，±2，)可見能量只能取一系

7、列分立值，構成分立譜。 定態波函數為 A為歸一化常數，由歸一化條件 轉子的歸一化波函數為 綜上所述，除m=0外，能級是二重簡并的。 (2)取固定點為坐標原點，則轉子的哈米頓算符為 無關，屬定態問題，其本征方程為 (式中設為的本征函數，為其本征值) 令 ，則有 此即為角動量的本征方程，其本征值為 其波函數為球諧函數 轉子的定態能量為 可見，能量是分立的，且是重簡并的。3.9.設氫原子處于狀態 求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現的幾率和這些力學量的平均值。 解：在此能量中，氫原子能量有確定值 角動量平方有確定值為 角動量Z分量的可能值為 其相應的幾率分別為 ， 其平均值為 3.10一粒子在硬壁球形空腔中運動，勢能為 求粒子的能級和定態函數。 解：據題意，在的區域，所以粒子不可能運動到這一區域，即在這區域粒子的波函數 () 由于在的區域內，。只求角動量為零的情況，即，這時在各個方向發現粒子的幾率是相同的。即粒子的幾率分布