1、 應用題例題.1、某商場銷售一批襯衫，平均每天可出售30件，每件賺50元，為擴大銷售，加盈利，盡量減少庫存，商場決定降價，如果每件降1元，商場平均每天可多賣2件，若商場平均每天要賺2100元，問襯衫降價多少元2.某化工材料經售公司購進了一種化工原料,進貨價格為每千克30元.物價部門規定其銷售單價不得高于每千克70元,也不得低于30元.市場調查發現：單價每千克70元時日均銷售60kg；單價每千克降低一元,日均多售2kg。在銷售過程中,每天還要支出其他費用500元（天數不足一天時,按一天計算）.如果日均獲利1950元,求銷售單價3.某服裝廠生產一批西服，原來每件的成本價是500元，銷售價為625元

2、，經市場預測，該產品銷售價第一個月將降低20%，第二個月比第一個月提高6%，為了使兩個月后的銷售利潤達到原來水平，該產品的成本價平均每月應降低百分之幾？根的判別式1、（2017和平區校級模擬）一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a0，b0，c0，則這個方程根的情況是（）A有兩個正根B有兩個負根C有一正根一負根且正根絕對值大D有一正根一負根且負根絕對值大【分析】根據根的判別式=b24ac的符號，就可判斷出一元二次方程的根的情況；由根與系數的關系可以判定兩根的正負情況【解答】解：a0，b0，c0，=b24ac0，0，0，一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根，且兩根異號，正根的絕對

3、值較大故選：C【點評】此題考查了根的判別式；一元二次方程根的情況與判別式的關系：（1）0方程有兩個不相等的實數根；（2）=0方程有兩個相等的實數根；（3）0方程沒有實數根一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）知識點及應用解析1、定義：若x1，x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的兩個根，則有x1 + x2 = -，x1·x2 = 。對于二次項系數為1的一元二次方程x2+px+q=0，則有x1 + x2 =-p，x1·x2 =q2、應用的前提條件：根的判別式0 方程有實數根。3、若一個方程的兩個為x1，x2 ，那么這個一元二次方程為ax2+(x1+x2)x+

4、x1·x2=0(a0)4、根與系數的關系求值常用的轉化關系：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(x1+a)(x2+a)= x1x2 +a(x1+x2) +a2 =-b +a2(x1-x2)2 =(x1+x2)2-4x1x2 =5、方法歸納：（1）一元二次方程的根與系數的關系的運用條件條件為一元二次方程，即a0，且必須有實數根，即0；（2）運用一元二次方程的根與系數的關系時，一元二次方程應化為一般形式，若系數中含字母要注意分類討論；（3）一元二次方程的根與系數的關系有時與一元二次方程根的定義綜合運用，注意觀察所求代數式是特點。（4）解題思路：將含有根的代數式變形成含有兩根和

5、與兩根積的式子，再通過韋達定理轉化成關于系數的式子，同時要注意參量的值要滿足根的實際意義。6、一元二次方程的根與系數的關系的應用：（1）不解方程，判別一元二次方程兩根的符號。（判別根的符號，需要把“根的判別式”和“根與系數的關系”結合起來進行確定，判別式判定根的存在與否，若0，所以可判定方程的根為一正一負；倘若0，仍需考慮的正負，方可判別方程是兩個正根還是兩個負根。）例：不解方程，判別方程兩根的符號。解：，4×2×(7)650 方程有兩個不相等的實數根。設方程的兩個根為， 0 原方程有兩個異號的實數根。（2）已知一元二次方程的一個根，求出另一個根以及字母系數的值。（3）運用

6、判別式及根與系數的關系解題。例：已知、是關于的一元二次方程的兩個非零實數根，問和能否同號？若能同號，請求出相應的的取值范圍；若不能同號，請說明理由，解：因為關于的一元二次方程有兩個非零實數根則有 又、是方程的兩個實數根，所以由一元二次方程根與系數的關系，可得：假設、同號，則有兩種可能：（1） （2）若， 則有： ；即有：解這個不等式組，得時方程才有實樹根，此種情況不成立。若 ， 則有：即有：解這個不等式組，得；又，當時，兩根能同號 練習：1設一元二次方程的根分別滿足下列條件，試求實數a的范圍。二根均大于1；一根大于1，另一根小于1。2（2013秋沙灣區期末）關于x的方程x2+2（k+2）x+k

7、2=0的兩實根之和大于4，則k的取值范圍是（）Ak1Bk0C1k0D1k03（2015南充）關于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數根且乘積為正，關于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數根且乘積為正，給出三個結論：這兩個方程的根都負根；（m1）2+（n1）22；12m2n1，其中正確結論的個數是（）A0個B1個C2個D3個(4)運用根與系數的關系求代數式的值例:已知一元二次方程2x2-3x+1=0的兩個根分別為x1，x2 ，求（x1-x2）2的值解：由題意及韋達定理得：x1+x2= -（-）=，x1x2 =(x1-x2)2 =(x1+x2)2-4x1x2 =（）2

8、-4×=（x1-x2）2的值是(5) 運用根與系數的關系解決幾何問題例：在ABC中，若C=90°，AB=5，AC、BC的長是關于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個實數根，求k的值和ABC的面積解：AC2+BC2=25(AC+BC)2-2AC·BC=25AC+BC=2K+3,AC·BC=K2+3K+2(2K+3)2-2(K2+3K+2)=25整理，得k2+3k-10=0解得k1=-5,k2=2AC+BC=2K+30k-1.5, k=2SABC = AC·BC=(K2+3K+2)=6【要點講解】1求代數式的值應用韋達定理

9、及代數式變換，可以求出一元二次方程兩根的對稱式的值。例1 若a，b為實數，且，求的值。思路 注意a，b為方程的二實根；（隱含）。解 （1）當a=b時，；（2）當時，由已知及根的定義可知，a，b分別是方程的兩根，由韋達定理得， ab=1.說明 此題易漏解a=b的情況。例2 若，且，試求代數式的值。思路 此例可用上例中說明部分的遞推式來求解，也可以借助于代數變形來完成。解：因為，由根的定義知m，n為方程的二不等實根，再由韋達定理，得，練習：（2017黔東南州二模）設a，b是方程x2+x2017=0的兩個實數根，則a2+2a+b的值為（）A2014B2015C2016D20172構造一元二次方程如果

10、我們知道問題中某兩個字母的和與積，則可以利用韋達定理構造以這兩個字母為根的一元二次方程。例3 設一元二次方程的二實根為和。（1）試求以和為根的一元二次方程；（2）若以和為根的一元二次方程仍為。求所有這樣的一元二次方程。解 （1）由韋達定理知，。，。所以，所求方程為。（2）由已知條件可得 解之可得由得，分別討論（p,q）=(0,0)，(1,0)，(,0)，(0,1)，(2,1)，(,1)或(0, )。于是，得以下七個方程，其中無實數根，舍去。其余六個方程均為所求。3證明等式或不等式根據韋達定理（或逆定理）及判別式，可以證明某些恒等式或不等式。 例4 已知a，b，c為實數，且滿足條件：，求證a=b

11、。證明 由已知得，。根據韋達定理的逆定理知，以a，b為根的關于x的實系數一元二次方程為由a，b為實數知此方程有實根。，故c=0，從而。這表明有兩個相等實根，即有a=b。說明 由“不等導出相等”是一種獨特的解題技巧。另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。此方法較第一種煩瑣，且需一定的跳躍性思維。5求參數的值與解方程韋達定理及其逆定理在確定參數取值及解方程（組）中也有著許多巧妙的應用。例6 解方程。解：原方程可變形為。令，。則, 。由韋達定理逆定理知，以a，為根的一元二次方程是。解得，。即a=或a=9。或通過求解x結果相同，且嚴謹。，（舍去）。解之得，。此種方法應檢驗：是或否成立強化訓練A

12、級1.若k為正整數，且方程有兩個不等的正整數根，則k的值為_。2.若， ，則_。3 .已知和是方程的二實根，則_。4.已知方程（m為整數）有兩個不等的正整數根，求m的值。級 5.已知：和為方程及方程的實根，其中n為正奇數，且。求證：，是方程的實根。6.已知關于x的方程的二實根和滿足，試求k的值。參考答案12提示：原方程即，所以，由知k=1，2，3，5，11；由知k=2，3，4，7。所以k=2，3，但k=3時原方程有二相等正整數根，不合題意。故k=2。2提示：由x，y為方程的二根，知，。于。321提示：由，知，4設二個不等的正整數根為，由韋達定理，有消去m，得。即。則且。，。故。5由韋達定理有，

13、。又，。二式相減得。，。將代入有。從而 ，同理 和是方程的根。6當時，可知，所以，當時，易證得。從而，為方程的二不同實根。，。于是，。當時，方程為。解得 或取，即能符合題意，故k的值為。練習：1、設a、b是方程x2+x2014=0的兩個實數根，則a2+2a+b的值為（）A2014B2015C2012D20132（2012德清縣自主招生）如果方程（x1）（x22x+）=0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數k的取值范圍是3已知a+b=3，ab=7，則代數式2a2+b2+3b的值為4（2015黃岡中學自主招生）已知實數ab，且滿足（a+1）2=33（a+1），3（b+1）=3（b+1）2則

14、的值為5（2013自貢）已知關于x的方程x2（a+b）x+ab1=0，x1、x2是此方程的兩個實數根，現給出三個結論：x1x2；x1x2ab；x12+x22a2+b2則正確結論的序號是（填上你認為正確結論的所有序號）6（2013荊門）設x1，x2是方程x2x2013=0的兩實數根，則=7（2012成都模擬）若，是方程x23x+1=0的兩個根，則2+3=8（2010南通）設x1、x2是一元二次方程x2+4x3=0的兩個根，2x1（x22+5x23）+a=2，則a=89（2010寧陽縣模擬）已知實數a、b（ab）分別滿足，試求的值10（2009河南模擬）設A是方程x2x2009=0的所有根的絕對值

15、之和，則A2= 11（2007瀘州）若非零實數a，b（ab）滿足a2a2007=0，b2b2007=0，則：= 12（2004廈門）已知關于x的方程x2（a+b）x+ab2=0x1、x2是此方程的兩個實數根，現給出三個結論：（1）x1x2；（2）x1x2ab；（3 ）x12+x22a2+b2，則正確結論的序號是 （在橫線上填上所有正確結論的序號）13（2001呼和浩特）如果關于x的一元二次方程2x22x+3m1=0有兩個實數根x1，x2，且它們滿足不等式，則實數m的取值范圍是14（2013孝感）已知關于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k=0有兩個實數根x1，x2（1）求實數k的取值

16、范圍；（2）是否存在實數k使得x1x2x12x220成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由一元二次方程韋達定理應用作業一選擇題（共16小題）1若方程x2（m24）x+m=0的兩個根互為相反數，則m等于（）A2B2C±2D42若關于x的方程x2+3x+a=0有一個根為1，則另一個根為（）A4B2C4D33設a，b是方程x2+x2017=0的兩個實數根，則a2+2a+b的值為（）A2014B2015C2016D20174一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a0，b0，c0，則這個方程根的情況是（）A有兩個正根B有兩個負根C有一正根一負根且正根絕對值大D有一正根一負根且負根絕對

17、值大5已知m、n是方程x2+3x2=0的兩個實數根，則m2+4m+n+2mn的值為（）A1B3C5D96已知關于x的一元二次方程x2+mx8=0的一個實數根為2，則另一實數根及m的值分別為（）A4，2B4，2C4，2D4，27一元二次方程x2+x1=0的兩根分別為x1，x2，則+=（）AB1CD8關于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的兩實根之和大于4，則k的取值范圍是（）Ak1Bk0C1k0D1k09已知方程x22（m21）x+3m=0的兩個根是互為相反數，則m的值是（）Am=±1Bm=1Cm=1Dm=010已知a、b是一元二次方程x23x2=0的兩根，那么+的值為（）ABCD

18、11已知關于x的方程x2+3x+a=0有一個根為2，則另一個根為（）A5B1C2D512已知實數x1，x2滿足x1+x2=7，x1x2=12，則以x1，x2為根的一元二次方程是（）Ax27x+12=0Bx2+7x+12=0Cx2+7x12=0Dx27x12=013設a、b是方程x2+x2014=0的兩個實數根，則a2+2a+b的值為（）A2014B2015C2012D201314關于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數根且乘積為正，關于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數根且乘積為正，給出三個結論：這兩個方程的根都負根；（m1）2+（n1）22；12m2n1，其中

19、正確結論的個數是（）A0個B1個C2個D3個15（非課改）已知，是關于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的兩個不相等的實數根，且滿足+=1，則m的值是（）A3B1C3或1D3或116設a，b是方程x2+x2011=0的兩個實數根，則a2+2a+b的值為（）A2009B2010C2011D2012二填空題（共30小題）17已知：一元二次方程x26x+c=0有一個根為2，則另一根為 18一元二次方程x2+x2=0的兩根之積是 19若、是一元二次方程x2+2x6=0的兩根，則2+2= 20一元二次方程x2+mx+2m=0的兩個實根分別為x1，x2，若x1+x2=1，則x1x2= 21已知

20、m、n是關于x的一元二次方程x23x+a=0的兩個解，若（m1）（n1）=6，則a的值為 22某學生在解一元二次方程x22x=0時，只得出一個根是2，則被他漏掉的另一個根是x= 23已知a，b是方程x2x3=0的兩個根，則代數式a2+b+3的值為 24已知關于x的方程x22ax+a22a+2=0的兩個實數根x1，x2，滿足x12+x22=2，則a的值是 25如果方程（x1）（x22x+）=0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數k的取值范圍是 26方程x23x+1=0中的兩根分別為a、b，則代數式a24ab的值為 27已知a+b=3，ab=7，則代數式2a2+b2+3b的值為 28已知x

21、1，x2是關于x的方程x2+nx+n3=0的兩個實數根，且x1+x2=2，則x1x2= 29已知實數ab，且滿足（a+1）2=33（a+1），3（b+1）=3（b+1）2則的值為 30已知m，n是方程x2+2x5=0的兩個實數根，則m2mn+3m+n= 31閱讀材料：設一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，則兩根與方程系數之間有如下關系式x1+x2=，x1x2=根據該材料填空，已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的兩實數根，則的值為 32已知關于x的方程x2（a+b）x+ab1=0，x1、x2是此方程的兩個實數根，現給出三個結論：x1x2；x1x2ab；x12+x22a2+b2則正確結論的序號是 （填上你認為正確結論的所有序號）33若兩個不等實數m、n滿足條件：m22m1=0，n22n1=0，則m2+n2的值是 34設x1，x2是方程x2x2013=0的兩實數根，則= 3