1、全國高中數學聯賽模擬試題（三）（命題人：吳偉朝）第一試一、選擇題：（每小題6分，共36分）1、 若集合Sn|n是整數，且22n2整除2003n2004，則S為（A）空集（B）單元集（C）二元集（D）無窮集2、 若多項式x2x1能除盡另一個多項式x3x2axb（a、b皆為常數）則ab等于（A）0（B）1（C）1（D）23、 設a是整數，關于x的方程x2(a3)xa20的兩個實根為x1、x2，且tan(arctan x1arctan x2)也是整數則這樣的a的個數是（A）0（B）1（C）2（D）44、 設一個四面體的體積為V1，且它的各條棱的中點構成一個凸多面體，其體積為V2則為（A）（B）（C）

2、常數，但不等于和（D）不確定，其值與四面體的具體形狀有關5、 在十進制中，若一個至少有兩位數字的正整數除了最左邊的數字外，其余各個數字都小于其左邊的數字時，則稱它為遞降正整數所有這樣的遞降正整數的個數為（A）1001（B）1010（C）1011（D）10136、 在正方體的8個頂點中，能構成一個直角三角形的3個頂點的直角三點組的個數是（A）36（B）37（C）48（D）49二、填空題：（每小題9分，共54分）1、 若直線xcosqysinqcos2qsin2q（0qp）與圓x2y2有公共點，則q的取值范圍是 2、 在平面直角坐標系xOy中，一個圓經過(0,2)、(3,1)，且與x軸相切則此圓的

3、半徑等于 3、 若常數a使得關于x的方程lg(x220x)lg(8x6a3)0有惟一解則a的取值范圍是 4、 f(x)xcosxcos(2x)(xR)的最小值是 5、 若k是一個正整數，且2k整除則k的最大值為 6、 設ABCD為凸四邊形，AB7，BC4，CD5，DA6，其面積S的取值范圍是(a,b 則ab 三、（20分）設橢圓的左右焦點分別為F1、F2，左準線為l，點P在橢圓上作PQl，Q為垂足試問：對于什么樣的橢圓，才存在這樣的點P，使得PQF1F2為平行四邊形？說明理由（答案用關于離心率e的等式或不等式來表示）四、（20分）設a01，a12，an+12an-1n，n1,2,3,試求出an

4、的表達式（答案用有限個關于n的式子相加的形式表示，且項數與n無關）五、（20分）試求出所有的有序整數對(a,b)，使得關于x的方程x4(2ba2)x22axb210的各個根均是整數第二試一、（50分）點P在ABC內，且BAPCAP，連結BP并延長交AC于點Q設BAC60°，且求證：P是ABC的內心二、（50分）設正數a、b滿足且使得關于x的不等式總有實數解試求f(a,b)a23abb2的取值范圍三、（50分）試求出正整數k的最小可能值，使得下述命題成立：對于任意的k個整數a1,a2,ak（允許相等），必定存在相應的k的整數x1,x2,xk（也允許相等），且|xi|2(i1,2,k)，|x1|x2|xk|0，使得2003整除x1a1x2a2xkak參考答案第一試一、選擇題：題號123456答案CCBADC二、填空題：1、；2、；3、；4、1；5、2004；6、三、四、a2n2n+22n3；a2n+13×2 n+12n4五、(a,b)(2l1,l2l1)(lZ)