1、第三章第三章 數列小結數列小結1 1數列的有關概念數列的有關概念2 2等差數列和等比數列等差數列和等比數列3 3數列的通項數列的通項4 4數列的和數列的和一數列的有關概念一數列的有關概念數列也可以看作是一個定義域為自然數集數列也可以看作是一個定義域為自然數集NN或或NN的有限子集的有限子集1 1，2 2，nn的函數當自變的函數當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值，量從小到大依次取值時對應的一列函數值，通項公式就是這一函數的解析式。通項公式就是這一函數的解析式。 兩種基本數列兩種基本數列等差數列、等比數列等差數列、等比數列，是高考中的必考內容，要熟練掌握這兩種是高考中的必考內容，要熟練掌握

2、這兩種數列數列的定義、通項公式、前的定義、通項公式、前 n n 項和公式以項和公式以及其性質。及其性質。 數列是數列是按一定次序排列的按一定次序排列的一列數一列數。二等差數列和等比數列二等差數列和等比數列1. 1.通項公通項公式特征式特征)d(naan11等差數列等差數列 等比數列等比數列2.2.前前n n項項和特征和特征2)(1naaSnn ），（ 11)1 (1 qqqaSnn2) 1(1dnnnaSn ) 1( ,11 qqqaaSnn 系數系數k k就是公差就是公差 ,11nnqaabknannnkaa bnanSn 2kkaSnn 是關于是關于n n 的的不含常數項不含常數項的二次函

3、數的二次函數 a a 的的n n 次冪的次冪的系數與常數項系數與常數項互為相反互為相反 數。數。底數底數a a就是公比就是公比 3 3性質性質等差數列等差數列等比數列等比數列pknm mnaadmn mnmnaaq dmnaamn)( mnmnqaa pkmnaaaa pkmnaaaa 成成等等比比、rqpaaa成等差、rqp也也成成等等差差、nnnnnSSSSS232 也也成成等等比比、nnnnnSSSSS232 也也是是等等差差數數列列、則則是是等等差差數數列列，、若若nnnnnnbakakaba 也也是是等等比比數數列列、則則是是等等比比數數列列，、若若nnknnnnbaakaba 成成

4、等等差差、rqpaaa例例1 如果一個等差數列的前如果一個等差數列的前12項項和為和為354,前前12項中偶數項的和與項中偶數項的和與奇數項的和之比為奇數項的和之比為32:27,求公差求公差.典型例題講解典型例題講解例例2:an4aa8484aa 等比數列等比數列正數，且正數，且，求求中，各項均為中，各項均為41,aaaa53106nnSSSaa，求求，中中，等等差差數數列列例例113113: nnSdaaaaaaSSn1421300211141154113 ，解解得得，由由，得得解解法法一一：由由nnSBABABABASSSaBnAnSannn14141111213913132113112

5、，解解得得，代代入入得得，由由設設是是等等差差數數列列，解解法法二二：三如何求數列的通項三如何求數列的通項歸納法歸納法( (觀察法觀察法) ) 對于數列中所給出的一些項對于數列中所給出的一些項, ,逐項分析項逐項分析項與項數與項數n n的關系的關系, ,由此歸納出一般的公式。由此歸納出一般的公式。 在使用這種方法時要經常用到一些基本在使用這種方法時要經常用到一些基本數列的通項公式，數列的通項公式，例如：自然數列、奇偶數列、自然數平方例如：自然數列、奇偶數列、自然數平方數列、倒數數列、冪數列、符號數列等。數列、倒數數列、冪數列、符號數列等。2 3 )2()1(11nSSnSannn2.2.利用前

6、利用前n n項和與通項的關系求通項公式項和與通項的關系求通項公式nnnnaSSa求求出出方方法法一一：直直接接利利用用1 nnnnnnnnaSSSaSSa，再求的遞推關系式，求出與，得出消去方法二：利用11nnnnaNnanSa，求求滿滿足足：已已知知例例)(21 1) 1( 22211111 aanSaSanSnnnn，nnnaaa 112相相減減得得：解：解：111212212)2(21)2(121 nnnnnnnaaaaaa為為公公比比的的等等比比數數列列是是以以nnnnaanSSa，求求，：已已知知例例1)2(122212 )2(12212 nSSSSannnnn解：解：1122222

7、 nnnnnnSSSSSS2111 nnSS整整理理得得： ) 2( ,) 32)(12(2) 1(11212) 1(1111nnnSSnSanSnSnnnnn； 3 3累加累加/ /乘法。乘法。 型型)(1nfaann （疊加）（疊加）型型)(1nfaann （疊乘）（疊乘）型型，) 01(1 qpqpaanntaptattaptannn 11)(，首首項項為為其其公公比比為為為為一一等等比比數數列列，可可得得求求出出可可設設nnnnaaaa，求求，已已知知 21111121111223112121212121212121 nnnnnnnnaaaaaaaaaa相相加加得得例例:nnnnaaa

8、a，求求，已已知知2111 1122311212,2,22 nnnnnnaaaaaaaa1211222 nnaa相乘得相乘得2)1(12122 nnn例例: 4 4利用遞推關系，構造新數列。利用遞推關系，構造新數列。 型11nnnppaa型111nnnpaaa型型，) 01(1 qpqpaanntaptattaptannn 11)(，首首項項為為其其公公比比為為為為一一等等比比數數列列，可可得得求求出出可可設設 nnnnaNnnaaaa，求，中，例：在)2( 43111為為首首項項的的等等比比數數列列以以為為公公比比是是以以2,32)2( 3)2(11 aaaannn24223311 ttta

9、atatannnn，解解得得令令得得：）（設設：233321 nnnnaa得：得：返回例例. .已知數列已知數列aan n 的遞推關系為的遞推關系為a an+2n+2-2a-2an+1n+1+a+an n=4=4，且，且a a1 1=1,a=1,a2 2=3=3，求通項公式求通項公式aan n 。解：解： 4212nnnaaa4)()(112nnnnaaaa令令b bn n=a=an+1n+1-a-an n則數列則數列bbn n 是公差為是公差為4 4的等差數列。的等差數列。 2) 1(1211aabdnbbn241naabnnn21412 aa22423 aa23434 aa2) 1(41n

10、aann兩邊分別相加得兩邊分別相加得： ) 1( 2)1(321 41nnaan3422nnan四數列的和四數列的和1 1裂項求和裂項求和3 3錯位相減錯位相減2 2分組求和分組求和 數列求和數列求和, ,一是把一個未知的數列變成若干一是把一個未知的數列變成若干個已知的數列個已知的數列, ,利用公式求和利用公式求和; ;二是把數列整二是把數列整理化簡理化簡, ,使某些項相約、相消使某些項相約、相消, ,成為關于成為關于n n的一的一個代數式。歸納起來個代數式。歸納起來, ,常用的方法有如下幾種。常用的方法有如下幾種。4 4倒序相加倒序相加1 1裂項相消裂項相消)12)(12()2(534312:222 nnnSn求求例例 121121211)12)(12(11nnnnan12)1(21211211211217151513131121 nnnnnnnnSn分組求和分組求和nSn 21321211例例：求求）（）（）（解解：nSn 21321211)(212)1(212nnnnn 考考慮慮到到：）（