1、三角函數誘導公式：所謂三角函數誘導公式，就是將角 n （兀/2） ± “的三角函數轉化為角a的三角函數。常用公式：公式一： 設a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等:sin(2kjt+a)=sina(kCZ)cos(2k九+ a )=cosa(k Z)tan(2k兀+ a )=tana(kZ)cot(2k兀+ a )=cota( k Z)公式二：設a為任意角，冗+a的三角函數值與a的三角函數值之間的關系：sin (九 + a )=？一 sin acos (九 + a ) = cos atan (九 + a ) = tan acot (九 + a ) =cot a公式三：任意角

2、a與-a的三角函數值之間的關系：sin ( a ) = sin acos ( a ) = cos atan ( a ) = tan acot ( a ) =cot a系:公式四：利用公式二和公式三可以得到冗-a與a的三角函數值之間的關sin (九一a ) = sin acos （九一a ） =cos atan （九一a ） =tan a2九-a與a的二角函數值之I可的關cot （九一a ） =cot a公式五：利用公式一和公式三可以得到系：sin (2 冗-a ) =sin acos (2 冗-a ) = cos atan (2 冗-a ) =tan acot (2 冗-a ) =cot a公

3、式六：九/2 ± a與a的三角函數值之間的關系：sin (冗 /2+ a ) =cos asin (九 /2 a ) =cos acos (冗 /2+ a ) = sin acos (九 /2 a ) =sin atan (兀 /2+ a ) = cot atan (九 /2 a ) =cot acot (兀 /2+ a ) = tan acot (九 /2 a ) =tan a推算公式：3九/2 ± a與a的三角函數值之間的關系:sin (3 冗 /2+ a ) =cos asin (3 冗/2 a) = cos acos (3 冗 /2+ a ) =sin acos (

4、3冗/2 a) = sin atan (3 兀 /2+ a ) =cot atan (3 兀 /2 a ) =cot acot (3 兀 /2+ a ) =tan acot (3 兀 /2 a ) =tan a誘導公式記憶口訣：“奇變偶不變，符號看象限”。“奇、偶”指的是九/2的倍數的奇偶，“變與不變”指的是三角函數的名稱 的變化：“變”是指正弦變余弦，正切變余切。(反之亦然成立)“符號看象限” 的含義是：把角a看做銳角，不考慮a角所在象限，看 n (冗/2) ± a是第幾象 限角，從而得到等式右邊是正號還是負號。以 cos (兀/2+ a ) =sin a為例， 等式左邊cos (

5、兀/2+ a )中n=1,所以右邊符號為sin a,把a看成銳角，所以 冗/2< (兀/2+a) <兀，y=cosx在區間(冗/2,冗)上小于零，所以右邊符號為 負，所以右邊為一sin a。符號判斷口訣：全,S,T,C,正。這五個字口訣的意思就是說：第一象限內任何一個角的四種 三角函數值都是“ +” ；第二象限內只有正弦是“ +”，其余全部是“-"；第三 象限內只有正切和余切是“+”，其余全部是“-"；第四象限內只有余弦是“+”， 其余全部是“-”。也可以這樣理解：一、二、三、四指的角所在象限。全正、正弦、正切、余 弦指的是對應象限三角函數為正值的名稱。口訣中未

6、提及的都是負值。“ASTC 反 Z。意即為 “ all(全部)"、“sin ”、“tan”、“cos” 按照將 字母Z反過來寫所占的象限對應的三角函數為正值。另一種口訣：正弦一二切一三，余弦一四緊相連，言之為正。推導過程：萬能公式推導sin2 a =2sin a cos a =2sin a cos a /cos 2( a )+sin 2( a ),(因為 cos 2( a )+sin 2( a )=1 )再把分式上下同除 cosA2( a ),可得 sin2 a =2tan a /1+tan 2( a )然后用a /2代替a即可。同理可推導余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余

7、弦得到。三倍角公式推導tan3 a =sin3 a /cos3 a=(sin2 a cos a +cos2 a sin a )/(cos2 a cos a - sin2 a sin a )=2sin a cos 2( a )+cos 2( a )sin a sin 3( a )/cos 3( a ) cos a sin 2( a ) 2sin 2( a )cos a 上下同除以cos3( a ),得：tan3 a =3tan a tan 3( a )/1 -3tan 2( a )sin3 a =sin(2 a + a )=sin2 a cos a +cos2 a sin a=2sin a co

8、s 2( a )+1 2sin 2( a )sin a=2sin a 2sin 3( a )+sin a 2sin 3( a )=3sin a 4sin 3( a )cos3 a =cos(2 a + a )=cos2 a cos a sin2 a sin a=2cos 2( a ) 1cos a 2cos a sin 2( a )=2cos3( a ) cos a +2cos a 2cos3( a )=4cos3( a)3cos a即sin3 a =3sin a 4sin 3( a )cos3 a =4cos 3( a ) 3cos a和差化積公式推導首先,我們矢口道 sin(a+b尸sin

9、acosb+cosasinb, sin(a-b尸sinacosb-cosasinb我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb同理，若把兩式相減，就得到 cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)/2同樣的，我們還知道cos(a+b尸cosacosb-sinasinb , cos(a-b尸cosacosb+sinasinb所以，把兩式相加，我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb同理，兩式相減我們就得到sinasinb=-cos(a+b)-cos(a-b)/2這樣，我們就得到了積化和差的公式：cosasinb=sin(a+b)

10、-sin(a-b)/2sinasinb=-cos(a+b)-cos(a-b)/2好，有了積化和差的四個公式以后，我們只需一個變形，就可以得到和差化積的四個公式我們把上述四個公式中的a+b設為x, a-b設為y,那么a=(x+y)/2 , b=(x-y)/2把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式：sinx+siny=2sin(x+y)/2cos(x-y)/2sinx-siny=2cos(x+y)/2sin(x-y)/2cosx+cosy=2cos(x+y)/2cos(x-y)/2cosx-cosy=-2sin(x+y)/2sin(x-y)/2三角函數同角三角函數的基本關系式倒數關系

11、tan a - cot a =1sin a - csc a =1cos a - sec a =1商的關系sin a /cos a =tan a =sec a /csc a cos a /sin a =cot a =csc a /sec a 平方關系sin 2( a )+cos 2( a )=11+tan 2( a )=sec 2( a )1+cot 2( a )=csc 2( a )同角三角函數關系六角形記憶法構造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中間 1”的正六邊形為模型。倒數關系對角線上兩個函數互為倒數；商數關系六邊形任意一頂點上的函數值等于與它相鄰的兩個頂點上函數值的乘積。(主要是兩條虛

12、線兩端的三角函數值的乘積，下面 4個也存在這種關系。)由此，可得商數關系式。平方關系在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數值的平方和等于下面頂點上的三 角函數值的平方。兩角和差公式sin(a+ 3 )=sin a cos 3 +cos a sin 3sin(a- 3 )=sin a cos 3 - cos a sin 3cos(a+ 3 )=cos a cos 3 - sin a sin 3cos(a- 3 )=cos a cos 3 +sin a sin 3tan(a+ 3 )=(tan a +tan 3 )/(1 tana tan3 )tan(a 3 )=(tan a tan 3

13、 )/(1+tana tan3 )二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2 a =2sin a cos acos2 a =cos 2( a ) sin 2( a )=2C0S 2( a ) 1=1 2sin 2( a ) tan2 a =2tan a /1 tan 2( a )tan(1/2) a =(sin a )/(1+cos a )=(1 -cos a )/sin a半角的正弦、余弦和正切公式sin 2( a /2)=(1 cos a )/2cos2( a /2)=(1+COs a )/2tan 2( a /2)=(1 cos a )/(1+COs a)tan( a /2)=(1 cos a

14、 )/sin a =sin a /1+cos a萬能公式sin a =2tan( a /2)/1+tan2( a /2)cos a =1 tan 2( a /2)/1+ tan 2( a /2)tan a =2tan( a /2)/1 tan 2( a /2)三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 a =3sin a 4sin 3( a )cos3 a =4cos 3( a ) 3cos atan3 a =3tan a tan 3( a )/1 3tan 2( a )三角函數的和差化積公式sin a +sin 3 =2sin( a + 3 )/2cos( a 3 )/2sin a sin 3 =2cos( a + 3 )/2sin( a 3 )/2cos a