1、第一次數學危機A A1.1 背景第一次危機發生在公元前580 568 年之間的古希臘，當時人們對有理數的認識還很有限，對于無理數的概念更是一無所知。數學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派。這個學派是一個宗教、政治、學術合一且組織嚴密，帶有濃厚宗教色彩的學派，這個學派進行了大量的教學研究，并取得了眾多的數學發現。在當時他們一致認為“數”的中心地位隨時可見，他們還提出了“萬物皆數”這一論斷。后期畢達哥拉斯學派成員費洛羅斯將這一觀點清晰表達為：“人們所知道的一切 事物都包含數；因此，沒有數就既不可能表達，也不可能理解任何事物。”世界上的萬物和現象都只能通過數才能加以解釋，唯有通過數和形，才能把握宇宙的

2、本性，他們還指出“萬物都可以歸結為整數之比”并且相信宇宙的本質就在于這種“數的和諧” 。1.2 起源1.2.1 “萬物都可以歸結為整數之比”比較兩條線段a 與 b 的長度， 當 b 恰好是 a 的正整數r 倍時， 我們可以直接用 a 作為這兩條線段的共同度量單位。當b 不是 a 的正整數倍時，我們就要去找第三條線段d， 使得 a 可以正好分成d 的正整數倍，同時 b 也可以分成d 的正整數倍，我們可以假設a 的長度是d 的 m 倍， b 的長度是d 的 n 倍，這時，我們說 d 就是 a 與 b 的度量單位，并說線段a 與 b 是可公約或可公度的。這個過程相當于用比較短的線段當尺子去量長的，如

3、果一次量盡，則度量結束；如果一次量不盡，就用余下的那段線段作為新的尺子去量那個比較短的線段，如果量盡，度量結束，且度量單位就是那段余下的線段；如果還是量不盡，就用再余下的那 段線段作為新的尺子去量之前余下的那一段如此下去，直到量盡，度量結束，且度量單位就是最后余下的那段線段。對于任意兩條線段，畢達哥拉斯學派的成員相信上面的操作過程總會在進行了有限步之后結束，他們相信，只要有耐心總能找到那個度量單位的。所以， 任何兩個同類量都是可通約的，即萬物都歸結為整數之比1.2.2 希帕索斯悖論希帕索斯悖論的提出與勾股定理的發現密切相關。因此， 我們從勾股定理談起。 勾股定理是歐氏幾何中最著名的定理之一。天

4、文學家開普勒曾稱其為歐氏幾何兩顆璀璨的明珠之一。它在數學與人類的實踐活動中有著極其廣泛的應用，同時也是人類最早認識到的平面幾何定理之一。在我國， 最早的一部天文數學著作周髀算經中就已有了關于這一定理的初步認識。不過， 在我國對于勾股定理的證明卻是較遲的事情。一直到三國時期的趙爽才用面積割補給出它的第一種證明。 在國外， 最早給出這一定理證明的是古希臘的畢達哥拉斯。因而國外一般稱之為“畢達哥拉斯定理”。 并且據說畢達哥拉斯在完成這一定理證明后欣喜若狂，而殺牛百只以示慶賀。因此這一定理還又獲得了一個帶神秘色彩的稱號： “百牛定理” 。當畢達哥拉斯學派提出“任何兩個量都是可公度的”時，古希臘人坦然地

5、接受了這一似乎是無可懷疑的結論。畢達哥拉斯學派所說的數，原來是指整數，他們不把分數看成一種數，而僅看作兩個整數之比，他們錯誤地認為，宇宙間的一切現象都歸結為整數或整數之比。后來畢達哥拉斯學派的希帕索斯根據勾股定理通過邏輯推理發現等腰直角三角形的直角邊與斜邊不可公度！即這兩條線段不存在共同的度量單位，不管度量單位取得多么小，都不可能成為等腰直角三角形的直角邊與斜邊的共同度量單位。即腰長為1 的等腰直角三角形的斜邊長度，竟然是一個無法寫成為有理數的數。亦即是說有理數并非一切數，存在有理數以外的數，有理數不可以完全填滿整條線段。這就是希帕索斯悖論：存在不可公度量！1.3 危機的解決1.3.1 無理數

6、的出現畢達哥拉斯學派提出的所謂“任何兩個量都是可度量的”就是指對于任何兩條線段a與b,存在一條小線段d可作為a與b的共同度量單位，使得a=md,b=nd. 這實際上意味著b: a=m： n,其中m與n都是整數。因此，當畢達哥拉斯學派相信任何兩條線段a 與 b 都可公度時，用我們現在的語言表述就是指任何兩條線段的比是整數或是一個分數。簡言之， 是一個有理數。而希帕索斯不可公度量的發現就是指，等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比既不是一個整數，也不是一個分數， 或者簡言之，不是一個有理數，而是一個當時人們完全不了解的全新的數，這類數后來被稱為無理數。最早出現的無理數也與計數、測量有關。乘法的重復進行產

7、生了乘方，2 乘3 就是三個2 相乘，然而哪個數的平方會等于2 呢？畢達哥拉斯學派提出了這個問題，邊長為1的正方形的對角線的長度不是既約分數，后來用，2表示對角線的長度，無理數的概念初步形成。在歐幾里德的幾何原本中有關于，2不是有理數的一個證明，但據說是 更早的畢達哥拉斯學派所作 ：設，2是既約分數p/q,即，2=p/q,則2q2=p2 ,這表明p2是偶數，p也是偶數（否則若p是奇數則p2是奇數），設p=2k,得q2=2k2 ，于是 q 也是偶數，這與p/q 是既約分數矛盾。人類歷史上誕生的第一個無理數就是希帕索斯發現的，2。1.3.2 悖論所引發的問題為什么在當時無理數的發現會被認為是悖論并

8、且引發如此嚴重的問題呢？首先， 這一發現動搖了畢達哥拉斯學派的數學與哲學根基，它將推翻畢達哥拉斯學派“萬物皆數”的基本哲學信條。 其次， 這一發現摧毀了建立在“任何兩條線段都是可通約的”這一觀點背后的數學觀念。更重要的是，這一發現摧毀了人們通過經驗與直覺獲得的一些常識。簡言之， 這意味著，曾為人們的經驗所確信的，完全符合常識的許多論斷都要被小小的，2的存在而推翻了！這應該是多么違反常識，多么荒謬的事！要把這種“荒謬”的事承認下來是多么困難啊。事實上， 不可通約量的發現對畢達哥拉斯學派是一個致命的打擊，他對于當時所有古希臘人的觀念都是一個極大的打擊。不可通約量的發現所造成的影響，不但體現在猛烈抨

9、擊并摧毀了許多傳統觀念與畢達哥拉斯學派所堅持的觀念上，而且表現在它對具體數學成果的否定上。事實上， 當時畢達哥拉斯學派的許多幾何定理證明都是建立在任何量都是可通約的基礎上的。1.3.3 芝諾悖論與畢氏學派誘發第一次數學危機的一個間接因素是之后“芝諾悖論”的出現，當人們還處在剛剛從自然數概念脫胎而形成有理數概念的早期階段，對于無理數的概念一無所知。 因此， 當時人們的普遍見解是確信一切量都可以用有理數來表示。亦就是說， 在任何精確度的范圍內的任何量，總能表示為有理數，迫使人們去認識和理解自然數及其比不能包括幾何量，迫使畢達哥拉斯學派承認希帕索斯悖論，并提出單子概念去解決這一悖論。單子概念是如此之

10、小的度量單位以致本身是不可度量卻又要保持為一種單位。這或許是企圖通過無限來解決問題的最早努力。但是，畢氏學派的努力卻又引起了芝諾認為“一個單子或者是 0 或者不是0，如果是0，則無窮多個單子相加也產生不了長度，如果不是0，則由無窮多個單子組成的有限長線段應該是無限長的。”不論何說都矛盾，這就是芝諾悖論。古代數學家認為，這樣能把直線上所有的點用完。但是， 畢氏學派大約在公元前 400 年發現：直線上存在不對應任何有理數的點。特別是，他們證明了：這條直線上存在點p 不對應于有理數，這里距離op 等于邊長為單位長的正方形的對角線。于是就必須發明新的數對應這樣的點，并且因為這些數不可能是有理數，只好稱

11、它們為無理數。無理數的發現，是畢氏學派的最偉大成就之一，也是數學史上的重要里程碑。1.3.4 比理論古希臘人面對的難題是如何解決不可通約量或以我們現在的方式說是如何解決無理數，對他們來說，問題來自幾何，只要研究線段等幾何量，就不得不面對不可通約量，這是無法繞過去的。于是， 古希臘人設想的思路是：在數的領域，仍然只承認整數或整數的比，只要在幾何研究中，能解決幾何量中出現的不可通約量問題就可以宣告萬事大吉了。簡言之， 把數和量分開，研究的關鍵轉向線段、面積、 體積等幾何量。令人稱奇的是，古希臘人依照這種思路走下去竟然成功了。幫助古希臘人擺脫困境的關鍵一步是由才華橫溢的歐多克索斯邁出的。歐多克索 斯

12、建立了既適用于可通約線段，也適用于不可通約量線段的完整的比理論。歐多克索斯本人的著作已經全部失傳，不過， 他的比例論成果被保存在歐幾里得幾何原本第五卷中，下面所介紹的內容來自幾何原本第五卷，但其主要思想屬于歐多克索斯。定義3：兩個同類量之間的數量關系叫做比。定義4：如果一個量增大幾倍后可以大于另一個量，則說這兩個量有一個比。這個定義實際上允許了不可通約量的存在。比如對正方形對角線與邊長這兩個量來說，因為正方形的邊長增加2 倍后就可以超過其對角線，所以現在對兩者就可以定義一個比了。也就是說這里創造的量的比這一新的數學定義已經突破了畢達哥拉斯所認為的只有可公度量才可以比的限制。實際上，如果承認“兩

13、個有限的同類量，任何一個加大適當的倍數都能大于另一個”（阿基米德公理）那么任何兩個有限量都有比，而不必考慮是否可公度。定義5： a:b=c:d 是指： 如果對于任給的正整數m,n， 只要 ma>nb, 總有 mc>nd ；只要 ma=nb ，總有 mc=nd ；只要 ma<nb, 總有 mc<nd ；這個定義的貢獻在于：如果在只知道有理數而不知道無理數的情況下，它指出可以用全部大于某數和全部小于某數的有理數來定義該數，從而使可公度量與不可公度量都能參加運算。這一定義是整個比理論的基礎。歐多克索斯的比例理論為處理無理數提供了邏輯依據，用幾何方法消除了希帕索斯悖論引發的數學

14、危機，事實上，19 世紀的無理數理論是歐多克索斯思想不過歐多克索斯理論是建筑在幾何量的基礎之上的，因而回避了把無理數作為數來處理盡管如此，歐多克索斯的這些定義無疑給不可公度比提供了邏輯基礎為了防止在處理這些量時出錯，他進一步建立了以明確公理為依據的演繹體系，從而大大推進了幾何學的發展從他之后，幾何學成了希臘數學的主流1.4 第一次數學危機的影響希帕索斯悖論的出現，對畢達哥拉斯學派產生了沉重的打擊，“數即萬物”的世界觀被極大的動搖了,有理數的尊崇地位也受到了挑戰，因此也影響到了整個數學的基礎，使數學界產生了極度的思想混亂，導致了第一次數學危機，這一危機的影響是巨大的，它不僅推動了數學及其相關學科

15、的發展，使古希臘數學的基礎發生了根本性的變化，而且推動了整個科學的發展，第一次數學危機讓人們第一次認識到了無理數的存在，無理數從此誕生了，之后， 許多數學家正式研究了無理數， 給出了無理數的嚴格定義，提出了一個含有有理數和無理數的新的數類實數， 并建立了完整的實數理論，為數學分析的發展奠定了基礎。在古希臘，數學和哲學是結盟的，哲學使古希臘的數學趨于抽象和真理，正是由于古希臘的哲學背景，使其有可能建立世界上第一個數學公理系統，并最終導致了近代科學的誕生。1.5 結論這場危機通過在幾何學中引進不可通約量概念而得到解決。第一次數學危機表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示。反之， 數卻可以由幾何量表示出來。整數的尊崇地位受到挑戰，古希臘的數學觀點受到極大的沖擊。于是， 幾何學開始在希臘數學中占有特殊地位。同時經過這次危機的洗禮，希臘人不得不承認：直覺、經驗乃至實驗都不是絕對可靠的，推理論證才是可靠的。從此希臘人開始從“自明的”公理出發，經過演繹推理，并由此建立幾何學體系。這是數學思想上的一次變革，也是第一次數學危機的自然產物。歐多克索斯的解決方式，是借助幾何方法，通過避免直接出現無理數而實現的。這就生硬地把數和量肢解開來。在這種解決方案下