1、10屆屆 分 類 號:o175.14 單位代碼:10452臨沂師范學院理學院畢業(yè)論文（設計） 姓 名 邵付松邵付松 學 號 200606140412200606140412 年 級 20062006 專 業(yè) 數學與應用數學數學與應用數學 系（院） 理學院理學院 指導教師 楊楊 偉偉 2009年11月30日臨沂師范學院理學院 2010 屆本科畢業(yè)論文（設計）1摘摘 要要采用積分因子法將一階微分方程轉化成全微分方程是我們常用的一種重要的求解方法.為了得到方程的積分因子, 需要求解積分因子所滿足的偏微分方程.為了避免求解偏微分程，我們利用偏微分方程所對應的特征方程, 從而將求解積分因子轉化成為求解常

2、微分方程的首次積分.為了簡化首次積分的計算, 我給出了一些特征方程有關條件的限制, 并利用比例性質對特征方程進行變形,從而比較容易得到一些特殊的積分因子, 從而使常微分方程轉化為全微分方程，這是我寫本文的主要思路.如何對特征方程有關條件進行限制？這一點主要還是從積分因子的引入過程中得以了解.關鍵詞關鍵詞 ：積分因子；偏微分方程；特征方程；首次積分臨沂師范學院理學院 2010 屆本科畢業(yè)論文（設計）2ABSTRACTIntegrating factor method using first-order differential equations are transformed into Shi

3、ng Chuen is commonly used as an important method for solving. Integral factor to the equation, integrating factor which needs to solve the partial differential equation. In order to avoid solving the partial differential equation, we use the characteristics of partial differential equations correspo

4、nding to the solution of integral factor transformed into the first integral to solve ordinary differential equations.In order to simplify the calculation of the first points, I give some characteristic equation of the conditions, and the proportional nature of the characteristic equation for deform

5、ation, and thus easier to get some special integrating factor, so that all ordinary differential equations are transformed into This is my main ideas of this writing. How to restrict the conditions characteristic equation? This is mainly from the introduction of the process of integrating factor to

6、understand.Key words：Integrating factor；Partial Differential Equations；Characteristic equation；First integral1目 錄1 1 引言引言.1 12 2 預備知識預備知識.1 13 3 重要定理重要定理.5 54 4 應用應用.9 95 5 結論結論 .1111參參 考考 文文 獻獻.1212致致 謝謝.131311 引言對一些特殊積分因子的存在條件和計算公式做了一些研究，并利用這些方法對一些較為復雜的的微分方程進行簡化，并使我們對積分因子法的應用有了一定的認識.本文主要是通過對偏微分方程對

7、應特征方程有關條件的限制，利用合分比性質求得特征方程的首次積分，從而獲得特殊條件下的某些積分因子.2 預備知識在介紹本篇文章之前，讓我們先來回顧一下積分因子、偏微分方程以及一階常微分方程組的首次積分的概念.定義定義 1 1 如果微分形式的一階方程（1-1）0),(),(dyyxNdxyxM的左端恰好是一個二元函數的全微分，即),(yxU（1-2）則稱（1-1）是全微分方程或dyyxNdxyxMyxdU),(),(),(恰當微分方程，而函數 U（x,y）稱為微分式（1-2）的函數.例如方程就是一個微分方程，因為它的左端恰是二元函數0 ydyxdx的全微分.但是方程（1-1）未必都是全微分方程，例

8、)(21),(22yxyxU如，下面這個簡單方程：（1-3）就不是微分方程，因為0 xdyydx 如果將上面這個方程兩端同乘以,得到方程1, 1xNyMx21（1-4）這是一個微分方程，因為此時有012dyxdxyx 通常我們稱為方程（1-4）的積分因子，因為它可使方xNyMx21x21程（1-3）變成全微分方程（1-4）.一般地，我們有下面的定義，假如存在這樣的連續(xù)可微函數,使方程0),(yxu （1-5）成為全微分方程，我0),(),(),(),(dyyxNyxudxyxMyxu們就把稱為方程（1-1）的一個積分因子.易于看到，當),(yxu時，方程（1-1）與（1-2）是同解的.于是為了

9、求解（1-1），只0),(yxu需求解（1-2）就可以了.那什么是偏微分方程呢？例如，方程臨沂師范學院理學院 2010 屆本科畢業(yè)論文（設計）2、 都是偏微分方程.偏微),(yxuuyxu0yuxu02yxz分方程有著鮮明的實際背景，很多有重大意義的自然科學與工程技術問題可以轉化成偏微分方程.偏微分方程的解法和理論是極為豐富的.一階偏微分方程的一般形式為：（1-6）其中，0).,.,(2121xxxxxxnnuuuuFx1.，為自變量，是未知函數，和常微分方程一樣， （1-6）也有初值問x2xnu題即 Cauchy 問題，但提法不同.（1-4）的初值問題是求（1-6）的滿足的解，其中 i 是

10、1,2,3,.，n),.,.,(|11210uixxxxxuniiifu中的某一個數.而為某一給定函數.),.,.,(1121xxxxxniif例如，求解初值問題解 前面已知方程的通解為yyuyuxu2), 0(0 其中為的任意可微函數，根據初值條件,y)-f(xu )(vfvyyu2), 0(應有,所以,于是初值問題的解為yyf2)(vvf2)()(2yxu如下兩類方程：（1-7）0),.,(.),.,(1111xxxXxxxXnnnnuu（1-),.,(),.,(.),.,(11111uRuuxxxxxXxxxXnnnnn8）（1-7）稱為一階線性奇次偏微分方程，（1-8）稱為一階擬線性非

11、齊次偏微分方程.對一階微分方程 (1)其中0),(),(dyyxNdxyxMDyx),(D 為單連通區(qū)域，在 D 上有連續(xù)的一階偏導數，尋找積分),(),(yxNyxM因子,使方程（1）轉化成微分方程),(yxu（2）求解，是一種重要0),(),(),(),(dyyxNyxudxyxMyxu的和有效的求解方法，通過全微分方程可以得到偏微分方xuNyuM)()(臨沂師范學院理學院 2010 屆本科畢業(yè)論文（設計）3程 （3）.下面讓我們來了解下一階常微xNyMyuMxuNlnln分方程組的首次積分的概念.我們先給出一般的一階常微分方程組的形式： （1-),.,(.),.,(),.,(212122

12、2111yyyfyyyyfyyyyfynnnnnxdxdxdxdxdxd9） 例 1 求解 xdtdyydtdx解解 先將第一式兩端同乘 x，第二式兩端同乘 y，然后相加得 或 這個式子是可積的，積分后得到0dtdyydtdxx0)(dtdyx22和的一個關系式 為了解出和來，最好還能求得和xycyx122xyx的另一個關系式.經過觀察分析，可以用如下方法.將第一式兩端同乘，第yy二式兩端同乘，然后相減，得 x yxdtdyxdtdxy22即 122yxdtdyxdtdxy或 , 1arctanyxdtdctyx2arctan于是，得到方程組的解和所滿足的方程組（1-)(tx)(tyccyxt

13、yx2122arctan臨沂師范學院理學院 2010 屆本科畢業(yè)論文（設計）410） ，上式即為原方程組的通積分.我們在上例中使用的方法屬于“可積組合法” ，就是將所給方程組，經過有限次運算之后，得到某些可以積分的方程的方法.這種方法沒有一定的規(guī)則，技巧性較高.我們主要想從上例中引出一個重要的概念，即首次積分，請注意（1-10）左端的兩個函數 . 由于（1-10）yxyxt221),(tyxyxt arctan),(2是原方程組的通積分，所以將方程組的任意一個解, 代入到（1-10）)(tx)(ty中，它的兩個式子都將成為恒等式.從而應有： )()()(),(,(221tttytxtyxc1

14、cttytxtytxt22)()(arctan)(),(,(即 ，將分別恒等于某些常數.)(),(,(1tytxt)(),(,(2tytxt定義定義 2 2 如果以（1-9）的任何一個解代入連續(xù))(),.,(),(21xxxyyyn可微函數，使函數恒等于某),.,(21yyynx(x)(x),.,(x),(x,yyyn21一個常數（此常數與所取解有關） ，則函數稱為方程 （1-),.,(21yyynx9）的一個首次積分. 引理引理 常微分方程有可求的積分因子充分0),(),(dyyxNdxyxM必要條件是方程（3）的特征方程有可求的首次積分.證證 （必要性）若存在函數使),(yxu為0),()

15、,(),(),(dyyxNyxudxyxMyxu全微分方程，則有 xuNyuM)()(（4）而方程又等價于偏微分方程（3）.故要解方程（1）關鍵是要解積分因子,而要求關鍵是要求偏微分方程（3）),(yxu),(yxu令： (*)xNyMSut,ln則方程（3）可轉化成臨沂師范學院理學院 2010 屆本科畢業(yè)論文（設計）5, (5)SytMxtN寫出偏微分方程（5）的特征方程, (6)SdtMdyNdx故求解關鍵就在于求解（6）的首次積分.),(yxu（充分性）若方程（6）存在首次積分 （c 為常數） ，反解ctyx),(得,即故.顯然),(1yxt),(),(ln1yxyxueyxyxu),(

16、1),(滿足偏微分方程（5）.),(yxu故為全微分方程.即0),(),(),(),(dyyxNyxudxyxMyxu為方程（1）的一個積分因子.),(yxu由引理我們可以得到，將積分因子滿足的偏微分方程改寫成特征方程，從而通過求常微分方程組的首次積分來確定積分因子是一種較為有效的方法.由于在求解偏微分方程及特征方程的首次積分中存在著一定困難，因此本文對特征方程的有關條件進行了限制，從而得到幾種特殊的積分因子.3 重要定理定理定理 1 1 對一階微分方程 0),(),(dyyxNdxyxMDyx),(（7）其中為單連通區(qū)域，在 D 上又連續(xù)的),(),(dcbaD),(),(yxNyxM一階偏

17、導數.若存在只與 x 有關的函數 P（x） ，使得成立.則方程（7）存在只與 x 有關的積分因子xMyMNxP1)(.edxxPxu)()(證證 由引理及證明知，必滿足偏微分方程（5）及特征方程（6） ，),(yxu即，其中 S,t 如（*）式.將條件，SdtMdyNdxxNyMNxP1)(即代入方程（6）得.進而得到首次積分),()(yxNxPS )(1xpdtdx臨沂師范學院理學院 2010 屆本科畢業(yè)論文（設計）6，從而得方程的一個積分因子.dxxpt)(edxxpxu)()(定理定理 2 2 對一階微分方程 0),(),(dyyxNdxyxMDyx),(（8）其中為單連通區(qū)域，在 D

18、上又連續(xù)的),(),(dcbaD),(),(yxNyxM一階偏導數.若存在只與 y 有關的函數 Z(y)，使得成立.則方程（8）存在只與 y 有關的積分因子yMxNMyZ1)(.edyyzyu)()(證證 由引理及證明知，必滿足偏微分方程（5）及特征方程（6） ，),(yxu即，其中 S,t 如（*）式.將條件SdtMdyNdx，即代入方程（6）得yMxNMyZ1)(),()(yxMyZS .進而得到首次積分，從而得方程的一個積分因子)(1yzdtdxdyyzt)(.edyypyu)()(定理定理 3 3 對一階微分方程 0),(),(dyyxNdxyxMDyx),(（9）其中為單連通區(qū)域，在

19、 D 上又連續(xù)的),(),(dcbaD),(),(yxNyxM一階偏導數.若存在正整數 m,n 使等式)(),() 1(),() 1(11yxyxmnmnxNyMyxMmyxNn成立，則（9）式存在積分因子.yxmnyxu11),(證證 由引理及證明知，必滿足偏微分方程（5）及特征方程（6） ，),(yxu即，SdtMdyNdx臨沂師范學院理學院 2010 屆本科畢業(yè)論文（設計）7其中 S，t 如（*）式.對方程（6）變形為SdtMdyNdxyyxxmmnn即 ,SdtMmdNndyyxxmmnn) 1() 1(11利用合分比性質得SdtMmNndyxyxmnmn) 1() 1(11由條件 得

20、)(),() 1(),() 1(11yxyxmnmnSyxMmyxNn，進而得首次積分,從而得方程的一1)(1111dtdyxyxmnmn)ln(11yxmnt個積分因子yxmnyxu11),(推論推論 1 1 對一階微分方程 0),(),(dyyxNdxyxMDyx),(（10）其中為單連通區(qū)域，在 D 上又連續(xù)的),(),(dcbaD),(),(yxNyxM一階偏導數.并且成立.則)(),(2),(222yxxNyMyxyMyxxN原方程（10）存在積分因子.)(),(22yxyxu證證 在定理 1 中令即得1 mn定義定義 3 3 若函數和,其中，0)(xP0)(yqbax,dcy,并且

21、，使得,其中),()(),()(dccyqbacxp)()(),(yqxpyxu為方程（1）的積分因子，則稱),(),(),(dcbayx為變量型積分因子.)()(),(yqxpyxu定理定理 4 4 對一階微分方程 0),(),(dyyxNdxyxMDyx),(臨沂師范學院理學院 2010 屆本科畢業(yè)論文（設計）8(11)其中為單連通區(qū)域，在 D 上又連續(xù)的),(),(dcbaD),(),(yxNyxM一階偏導數.若,存在,使得DyxyxN),( , 0),(),()(bacxT成立.則原方程（11）存在變量型積分因子)(1xTMxNyMN，其中.)()(),(yqxpyxueeydxxTy

22、qxp)(,)()(證證 由引理及證明知，必滿足偏微分方程（5）及特征方程（6） ，),(yxu即 ，SdtMdyNdx其中 S，t 如（*）式.由，DyxyxN),( , 0),(對方程（6）變形為NSdtNMdydx1利用合分比性質得MxNyMNdydtdx11變形得dydtdxMxNyMN1進而得首次積分，dxMxNyMNyt1從而得方程的一個積分因子eedxxTyyxu)(),(其中，顯然,edxxTxp)()(eyyq)(0)(, 0)(yqxp故為一個變量型積分因子.eedxxTyyxu)(),(定理定理 5 5 對一階微分方程 0),(),(dyyxNdxyxMDyx),( （1

23、2臨沂師范學院理學院 2010 屆本科畢業(yè)論文（設計）9）其中為單連通區(qū)域，在 D 上又連續(xù)的),(),(dcbaD),(),(yxNyxM一階偏導數，若,存在 DyxyxM),( , 0),(),()(dccyZ成立.則原方程（12）存在變量型積分因子)(1yZNyMxNM，其中.)()(),(yqxpyxueexdyyZxpyq)(,)()(證證 由引理及證明知，u(x,y)必滿足偏微分方程（5）及特征方程（6） ，即 ，SdtMdyNdx其中 S，t 如（*）式.由,DyxyxM),( , 0),(對方程（6）變形得yMxNMdtMNdxdy11利用合分比性質得 NyMxNMdxdtdy

24、11變形得 )(1xTMxNyMN 進而得首次積分xdyNyMxNMt1從而得到方程的一個積分因子為一eeeedyyZxdyNyMxNMxyxu)(1),(個變量型積分因子4 應用例例 1 1 求解方程0)(232232dydxxyyyxyx臨沂師范學院理學院 2010 屆本科畢業(yè)論文（設計）10解解 令故 yxyxNxyyM2232,2331xNyMN由于常數可以看作是 x 的函數，即存在只與 x 有關的函數.由定理 13)(xP知，方程存在只與 x 有關的積分因子.則原方程可化為全eexdxxpxu3)()(微分方程0)()23(223323dydxxyyyxeyxexx例例 2 2 求解

25、方程 0)sin(cosdyyxdxyx解解 令)sin(),cos(yxNyxM則yxxNyxyMcos),sin(從而有為 y 的函數，即存在函數，使11NyMxNM)(yZ,由定理 5 知，存在一個積分因子1)(yZ，eeeeexydyxdyyZxyxu1)(),(從而原方程可化為全微分方程 0)sin(cosdyyxdxyxeexyxy注：對于此類三角函數的微分方程，此方法極為簡便.例例 3 3 求解方程 yxqxpdxdyy)()(2解解 由于.1,)()(2NyxqxpMy則0),()(2xNxqxypyM由（6）式得yxqxpydtyxqxpdydxyy)()(2)(2)(221

26、22利用合分比性質， 得yxqydtdydx)(21即dtdyydxxq2)(于是得首次積分 ，ydxxqtln2)(臨沂師范學院理學院 2010 屆本科畢業(yè)論文（設計）11從而得積分因子，eydxxqu)(21從而原微分方程可化為全微分方程.0)()(1)(22)(2dydxyxqxpeyyeyedxxqdxxq5 結論 通過上述幾個定理和例題，我們對積分因子與偏微分方程有了大致的了解，并對偏微分方程的特征方程及合分比性質在求解積分因子中的作用有了進一步的認識.如果在今后的學習和研究中，我們能夠更好的運用這些性質，來求解微分方程，那么對較好的運用積分因子法會有一定的幫助.臨沂師范學院理學院

27、2010 屆本科畢業(yè)論文（設計）12參 考 文 獻1閻淑芳.常微分方程求解積分因子的一個定理及其應用J.邯鄲師專學報，2004,14（3） ，362張鵬強，黃繼強，代平立.一類一階微分方程的積分因子J.固原師專學報，2004,25（6） ，57593李振東，張永珍，求積分因子的新方法J.唐山學院報.2003,16（2） ，39404胡晶地，一種尋求積分因子的有效途徑J，浙江工貿業(yè)技術學院，2004,，4（3） ，47495李德新，積分因子法的應用J.福建農林大學學報（自然科學版）2004,33（2） ，2692716金福臨，李訓經.常微分方程.上海：上海科技出版社，19797丁同仁.常微分方程

28、教程.北京：人民教育出版社，19818王柔懷，伍卓群.常微分方程講義.北京:人民教育出版社，19639張錦炎.常微分方程幾何理論與分支問題.北京：北京大學出版社，198710潘家齊.常微分方程.北京：中央廣播電視大學出版社，200211任永泰，史希福.常微分方程.沈陽:遼寧人民出版社，198412F.約翰，偏微分方程，科學出版社，198613R.布朗森，全美精典微分方程，科學出版社，200214陳恕行，偏微分方程概論，人民教育出版社，198115E卡姆克，常微分方程手冊，科學出版社，198716復旦大學數學系，常微分方程，上海科學技術出版社，197817尤秉禮，常微分方程補充教程，人民教育出版社，19831