1、第六章 多元函數微分學§6.1 多元函數的概念、極限與連續性 （甲）內容要點 一、多元函數的概念 1二元函數的定義及其幾何意義 設是平面上的一個點集，如果對每個點，按照某一對應規則，變量 都有一個值與之對應，則稱是變量，的二元函數，記以，稱為定義域。 二元函數的圖形為空間一塊曲面，它在平面上的投影域就是定義域。 例如，二元函數的圖形為以原點為球心，半徑為1的上半球面，其定義域就是平面上以原點為圓心，半徑為1的閉圓。 2三元函數與元函數 ，空間一個點集，稱為三元函數 稱為元函數。 它們的幾何意義不再討論，在偏導數和全微分中會用到三元函數。條件極值中，可能會遇到超過三個自變量的多元函數。

2、 二、二元函數的極限 設在點的領域內有定義，如果對任意，存在，只要，就有 則記以或 稱當趨于時，的極限存在，極限值為。否則，稱為極限不存在。 值得注意：這里趨于是在平面范圍內，可以按任何方式沿任意曲線趨于，所以二元函數的極限比一元函數的極限復雜，但考試大綱只要求知道基本概念和簡單的討論極限存在性和計算極限值不象一元函數求極限要求掌握各種方法和技巧。 三、二元函數的連續性 1二元函數連續的概念 若則稱在點處連續 若在區域內每一點皆連續，則稱在內連續。 2閉區域上連續函數的性質 定理1 （有界性定理）設在閉區域上連續，則在上一定有界 定理2 （最大值最小值定理）設在閉區域上連續，則在上一定有最大值

3、和最小值（最大值），（最小值） 定理3 （介值定理）設在閉區域上連續，為最大值，為最小值，若，則存在，使得 （乙）典型例題 一、求二元函數的定義域 （自己閱讀） 例1求函數的定義域 解：要求 即； 又要求即，或，綜合上述要求得定義域 或 例2求函數的定義域 解：要求和 即 函數定義域在圓的內部（包括邊界）和拋物線的左側（不包括拋物線上的點） 二、有關二元復合函數 （自己閱讀） 例1設，求 解：設，解出， 代入所給函數化簡 故 例2設，求 解： 例3設，當時，求函數和 解：由條件可知 ，令， 則 ， 三、有關二元函數的極限 例1討論 （常數） 解：原式 而 又 例2討論 解：沿原式 沿，原式 原

4、式的極限不存在 例3討論 解： （） 而； 用夾逼定理可知 原式§6.2 偏導數與全微分 （甲）內容要點 一、偏導數與全微分的概念 1偏導數 二元：設 例：， ， 三元：設 ； ； 2二元函數的二階偏導數 設， ， ， ， 當二階偏導數連續時， 3全微分 設，增量 若 當時 則稱可微，而全微分 定義：， 定理：可微情況下， 三元函數 全微分 4相互關系 例：函數有偏導數是連續的（ ）條件 （A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）無關 5方向導數與梯度（數學一） 二、復合函數微分法鎖鏈公式 模型I：設， 則； 模型II：設， 則 模型III：設， ， 則口訣（38）：多元復合求偏

5、導；鎖鏈公式不可忘。思考題：設， 求和的鎖鏈公式和圖 三、隱函數微分法 設，確定 則；（要求偏導數連續且） 口訣（39）：多元隱函求偏導，交叉偏導加負號。 四、幾何應用（數學一） 1空間曲面上一點處的切平面和法線 2空間曲線上一點處的切線和法平面 （乙）典型例題 例1求的偏導數 解：， 例2設有連續的一階偏導數，又函數及分別由下列兩式確定 和，求 解： 由兩邊對求導，得 解出（分子和分母消除公因子） 由兩邊對求導，得 解出 所以 例3設，是由和所確定的函數，其中具有一階連續導數，具有一階連續偏導數，求 解：分別在兩方程兩邊對求導得 化簡 解出 例4設有連續偏導數，由方程 所確定，求 解一：令，

6、得， ，則用隱函數求導公式得 ； 解二：在兩邊求微分得 解出 代入 合并化簡也得 例5設具有二階連續偏導數，且滿足， ，求 解：， ， 故：， 所以： 例6已知，確定其中， 均有連續偏導數，求證 證： ， 根據隱函數求導公式 則得 例7設，求 分析：從方程組直接解u和v，遇到二次項，比較繁，而從du和dv的方程組中都是一次項，比較容易求出du和dv，另外從du和dv的表達式中同樣可以看出有關的偏導數。 解：對，的兩邊求全微分，得 ， ，§6.3 多元函數的極值和最值 （甲）內容要點 一、求的極值 第一步 求出駐點 第二步 令 若 則不是極值 若 則不能確定（有時需從極限定義出發討論）

7、 若 則是極值 二、求多元函數條件極值的拉格朗日乘子法 求的極值 約束條件 令 求出是有可能的條件極值點，一般再由實際問題的含義確定其充分性，這種方法關鍵是解方程組的有關技巧。 三、多元函數的最值問題（略） （乙）典型例題 一、普通極值 例1求函數的極值 解： ， 要求，得 故知，由此解得三個駐點 ， 又， 在點處 ， 又， 是極小值點 極小值 在點處 ， ， 也是極小值點 極小值 在點處 ， 不能判定 這時 取，（其中為充分小的正數）則 而 取時 由此可見不是極值點 例2設是由確定的函數，求的極值點和極值。（數學一二可能會考，數學三可以考慮不看） 分析：隱函數求極值的方法與顯函數求極值類似。

8、第一步求出駐點（需要計算一階偏導數），第二步作判別式（需要計算二階偏導數），但隱函數求一階和二階偏導數在計算上復雜多了。 解： 因為 每一項對求導，看作的函數，得 ， （1） 每一項對求導，看作的函數，得 。 （2） 令 得 故 將上式代入，可得 或 把（1）的每一項再對求導，和看作的函數，得 ， 把（1）的每一項再對求導，和看作的函數，得 ， 把（2）的每一項再對求導，和看作的函數，得 ， 所以， 故 ，又，從而點是的極小值點，極小值為。 類似地，由 ， ， ， 可知，又，所以點是的極大值點，極大值為。 二、條件極值問題 例1在橢球面第一卦限上點處作切平面，使與三個坐標平面所圍四面體的體積最

9、小，求點坐標。 解： 設點坐標，則橢球面在點的切平面的法向量為 切平面： 軸截距 軸截距 軸截距 所以四面體的體積 約束條件用拉格朗日乘子法，令 （1） （2） （3） （4） 用乘（1）乘（2）乘（3） 得 則 （5） 將（5）分別代入（1），（2），（3）得 ， ， 所以點坐標為而最小體積 例2求坐標原點到曲線的最短距離。 解： 設曲線上點到坐標原點的距離為，令，約束條件，用拉格朗日乘子法，令 （1） （2） （3） （4） （5） 首先，由（1），（2）可見，如果取，則，由（3）可知，再由（4），（5）得， 解得 這樣得到兩個駐點，其次，如果取，由（3）得，再由（1）（2）得，這樣（4）成為，是矛盾的，所以這種情形設有駐點。 最后，討論，情形，由（1）（2），（3）可得 ，代入（4），（5）消去得此方程無解，所以這種情形也沒有駐點。 綜合上面討論可知只有兩個駐點，它們到坐標原點的距離都是1，由實際問題一定有最短距離，可知最短距離為1。 另外，由于為雙曲線，所以坐標原點到的最大距離不存在。 例3已知函數的全微分，并且。求在橢圓域上的最大值和