1、角（提高）撰稿：孫景艷審稿：趙煒【學習目標】1掌握角的概念及角的幾種表示方法，并能進行角度的互換；2.借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比較方法；3.掌握角的和、差、倍、分關系，并會進行有關計算；4.掌握互為余角和互為補角的概念及性質，會用余角、補角及性質進行有關計算；5了解方位角的概念，并會用方位角解決簡單的實際問題【要點梳理】【要點梳理】【高清課堂：角 397364角的概念：】知識點一、角的概念1 角的定義：（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的

2、端點旋轉而形成的圖形，射線旋轉時經過的平面部分是角的內部如圖2所示，射線OA繞它的端點O旋轉到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊要點詮釋：（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉，當終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續旋轉，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角2.角的表示法：角的幾何符號用“”表示，角的表示法通常有以下四種：要點詮釋：用數字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯數字或小寫希臘字母3.角的

3、畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角；（2）用量角器可以畫出任意給定度數的角；（3）利用尺規作圖可以畫一個角等于已知角知識點二、角的比較與運算1.角度制及其換算 角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1”，1的為1秒，記作“1”這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制 1周角360°，1平角180°，1°60，160要點詮釋：在進行有關度分秒的計算時，要按級進行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高

4、一位借的單位要化為低位的單位后再進行運算，在相乘或相加時，當低位得數大于60時要向高一位進位2.角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種方法1：度量比較法先用量角器量出角的度數，然后比較它們的大小方法2：疊合比較法把其中的一個角移到另一個角上作比較如比較AOB和AOB的大小：如下圖，由圖（1）可得AOBAOB；由圖(2)可得AOBAOB；由圖(3)可得AOBAOB3.角的和、差關系如圖所示，AOB是1與2的和，記作：AOB1+2；1是AOB與2的差，記作：1AOB-2要點詮釋：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；重合(一邊與刻度尺上的零度線重

5、合)；讀數(讀出另一邊所在線的度數) (2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據角的和、差關系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角4.角平分線從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線如圖所示，OC是AOB的角平分線，AOB2AOC2BOC，AOCBOC=AOB要點詮釋：由角平分線的概念產生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣知識點三、余角和補角1.定義：一般地，如果兩個角的和等于9

6、0°(直角)，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角 類似地，如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角2性質：（1）等角的余角相等（2）等角的補角相等要點詮釋：(1)互余互補指的是兩個角的數量關系，互余、互補的兩個角只與它們的和有關，而與它們的位置無關(2)一般地，銳角的余角可以表示為(90°-)，一個角的補角可以表示為(180°-)顯然一個銳角的補角比它的余角大90°知識點四、方位角在航行和測繪等工作中，經常要用到表示方向的角例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的

7、方向是南偏西30°這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角要點詮釋：（1）正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示；（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”；（3）在同一問題中觀察點可能不止一個，在不同的觀測點都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點的正東、正西、正南、正北的方向；（4）圖中的點O是觀測點，所有方向線(射線)都必須以O為端點知識點五、鐘表上有關夾角問題鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應30°的角，分針1分鐘轉6°

8、;，時針每小時轉30°，時針1分鐘轉0.5°，利用這些關系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題【典型例題】類型一、角的比較與運算1. 利用一副三角板上的角，能畫出多少個小于180°的角，試一一畫出來【思路點撥】首先發現一副三角板上有30°，45°，60°，90°這樣4個不相等的角，利用這些角進行一次和差，可得小于180°的所有角【答案與解析】解：除了可以畫30°，45°，60°，90°外，還可畫15°，75°，105°，120°，135

9、°，150°，165°的七個度數的角，畫法如圖所示【點評】利用一副三角板共可以畫出11個度數的角，分別是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°2.計算下列各題：(1)152°4912+20.18°； (2)82°-36°4215；(3)35°3647×9； (4)41°37÷3【答案與解析】解：(1)解法一： 20.1

10、8°20°1048 即：152°4912+20.18°173° 解法二： 152°4912152.82°， 152.82°+20.18°173° 即：152°4912+20.18°173°(2)將82°化為81°5960，則 82°-36°421545°1745 42373， 324+75°31， 35°3647×9320°313 41°37÷3=13

11、76;5220【點評】在角度的和、差運算中應先統一單位，都化成度或分、秒表示，然后進行計算；在進行乘法運算時，往往先把度、分、秒分別乘以倍數，將結果滿60進1，滿60進1°；對于除法運算則是從度開始除，將余數化為分和以前的分數相加再除，將余數再化成秒和以前的秒數相加再除，若除不盡往往四舍五入舉一反三：【變式】計算：(1)23°4536+66°1424；(2)180°-98°2430；(3)15°5042×3； (4)88°1448÷4【答案】(1)23°4536+66°142490&#

12、176;；(2)180°-98°243081°3530；(3)15°5042×347°326；(4)88°1448÷422°3423.如圖所示表示兩塊三角板(1)用疊合法比較1，2的大小；(2)量出圖中各角的度數，并把圖中的6個角從小到大排列，然后用“”或“”連接【答案與解析】解：(1)如圖所示，把兩塊三角板疊在一起，可得1，用同樣的方法，可得2所以21(2)用量角器量出圖中各個角的度數，分別是1245°，390°，30°，60°，90°，把它們從小到大排

13、列，有123【點評】比較角的大小有疊合法和度量法兩種：先將兩個角的頂點與頂點重合，一條邊與一條邊重合再比較先量出每個角的度數，然后按它們的度數來比較舉一反三：【變式】如圖，AOB的平分線OM,ON為MOA內的一條射線，OG為AOB外的一條射線。某同學經過認真分析，得到一個關系式是MON=（BONAON），你認為這個同學得到的關系式正確嗎？若正確，請把得到這個結論的過程寫出來。【答案】解：正確，理由如下：AOB的平分線OM， AOM=MOB又MON=AOMAON=MOBAON=(BONMON)AON即有MON=BONMONAON 2MON=BONAONMON=（BONAON）類型二、余角與補角4

14、.(武漢武昌區期末調研考試)已知點O是直線AB上的一點，COE90°，OF是AOE的平分線(1)當點C、E、F在直線AB的同側(如圖所示)時試說明BOE2COF；(2)當點C與點E、F在直線AB的兩旁(如圖所示)時(1)中的結論是否仍然成立?請給出你的結論并說明理由；(3)將如圖中的射線OF繞點O順時針旋轉m°(0m180)，得到射線OD，設AOCn°，若BOD，則DOE的度數是多少?(用含n的式子表示)【思路點撥】由于本題中涉及角的數量關系，故可以選擇代數的方法來說明理由【答案與解析】解：(1)如圖，設COF， 則EOF90°- 因為OF是AOE的平分

15、線 所以AOF90°- 所以AOC(90°-)-90°-2BOE180°-COE-AOC 180°-90°-(90°-2)2 即BOE2COF(2)成立如圖2 設AOC，則 所以BOE180°-AOE180°-(90°-)90°+ 所以BOE2COF(3)因為DOE180°-AOE-BOD 故的度數是【點評】根據角平分線，互余及互補的定義，進行有關角的計算有一定的綜合性和代表性，主要培養分析問題和解決問題的能力【高清課堂：角397364角的有關計算例4】舉一反三：【變式】如圖

16、，已知O是直線AC上一點，OD平分ÐAOB，OE在ÐBOC內，且ÐBOEÐEOC，ÐDOE70°，求ÐEOC的度數.【答案】解：設EOC=°，則ÐBOEÐEOC°，根據題意可得：解得：ÐEOC2ÐBOE80°5.輪船在海面上以每小時15海里的速度向正北方向航行，上午8時到達A處，測得燈塔C在北偏西45°方向，上午10時到達B處，又測得燈塔C在北偏西60°方向(1)根據題設條件，選用適當的比例尺畫出圖形；(2)量出BC的圖上距離，并推算出

17、BC的實際距離；輪船繼續向北航行到達D處，這時燈塔C在輪船的正西方向，這時CD的實際距離是多少?(3)你能確定輪船到達D處時的時間嗎?【答案與解析】解：(1)如圖所示作圖步驟如下：從點A引南北、東西方向的兩條直線，并畫出DAC45°；輪船從8時到10時共航行了30海里，在南北方向上截取AB7 mm(這時圖距7 mm表示30海里)；畫DBC60°，射線AC、BC的交點C就是燈塔C的實際位置；在圖上作CDA90°，CD與AD交于點D(2)從圖中依次量出BC22 mm，BD11 mm，CD19 mm，那么BC的實際距離為94(海里)，CD的實際距離為19×81(海里)(3)BD的實際距離為47(海里)，輪船船速為15海里時，所以，輪船到達D處所需時間為3.14(小時)，即3小時8分24秒3小時8分24秒+10小時13小時8分24秒 答：輪船到達D處時的時間是13時8分24秒【點評】以A點作為南北方向所構成的平角的頂點，由觀察點A、B的位置以及它們與燈塔C的夾角，由此可確定燈塔C的位置，然后根據比例尺和草圖準確地畫圖，并計算即可類型三、鐘表上有關夾角問題6.在7時到7時10分之間的什么時刻，時針與分針成一條直線?【答案與解析】解：設7時x分鐘，時針與分針成一條直線，由題意得：， 答：7時分鐘時針與分針成一條直線【點評】時鐘上