1、空間向量及其運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：空間向量；相等的向量；空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律；能力目標(biāo)：理解空間向量的概念，掌握其表示方法會(huì)用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律；能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的立體幾何中的問題德育目標(biāo)：學(xué)會(huì)用發(fā)展的眼光看問題，認(rèn)識(shí)到事物都是在不斷的發(fā)展、進(jìn)化的，會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待事物教學(xué)重點(diǎn)：空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用向量解決立體幾何問題教學(xué)方法：討論式教學(xué)過程： .復(fù)習(xí)引入師在必修四第二章平面向量中，我們學(xué)習(xí)了有關(guān)平面向量的一些知識(shí)，什么叫做向量？向量是怎樣表示的呢？生既有大小又有方向的量叫向量向量的表示方法有：用有

2、向線段表示；用字母a、b等表示；用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：師數(shù)學(xué)上所說的向量是自由向量，也就是說在保持向量的方向、大小的前提下可以將向量進(jìn)行平移，由此我們可以得出向量相等的概念，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下生長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.師學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念以后，我們學(xué)習(xí)了向量的加減以及數(shù)乘向量運(yùn)算：向量的加法：向量的減法：實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：(1)|a|a|(2)當(dāng)0時(shí)，a與a同向； 當(dāng)0時(shí)，a與a反向； 當(dāng)0時(shí)，a0.師關(guān)于向量的以上幾種運(yùn)算，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，有哪些運(yùn)算律呢？生向量加法和數(shù)乘向量滿足以下運(yùn)算律加法交換律：abba加法結(jié)合

3、律：(ab)ca（bc）數(shù)乘分配律：(ab)ab師今天我們將在必修四第二章平面向量的基礎(chǔ)上，類比地引入空間向量的概念、表示方法、相同或向等關(guān)系、空間向量的加法、減法、數(shù)乘以及這三種運(yùn)算的運(yùn)算率，并進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本P26P27.新課講授師如同平面向量的概念，我們把空間中具有大小和方向的量叫做向量例如空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量那么我們?cè)鯓颖硎究臻g向量呢？相等的向量又是怎樣表示的呢？生與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示，并且同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量師由以上知識(shí)可知，向量在空間中是可以平移的空間任意兩個(gè)向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示因此我們說空間任

4、意兩個(gè)向量是共面的師空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量各是怎樣定義的呢？生空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量的定義與平面向量的運(yùn)算一樣：=a+b，（指向被減向量），a 師空間向量的加法與數(shù)乘向量有哪些運(yùn)算律呢？請(qǐng)大家驗(yàn)證這些運(yùn)算律生空間向量加法與數(shù)乘向量有如下運(yùn)算律：加法交換律：a + b = b + a；加法結(jié)合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（課件驗(yàn)證）數(shù)乘分配律：(a + b) =a +b師空間向量加法的運(yùn)算律要注意以下幾點(diǎn)：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量即：因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量首尾相接的若干

5、向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量即：兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立因此，求始點(diǎn)相同的兩個(gè)向量之和時(shí)，可以考慮用平行四邊形法則例已知平行六面體（如圖），化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：說明：平行四邊形ABCD平移向量 a 到ABCD的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體記作ABCDABCD平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱解：（見課本P27）說明：由第2小題可知，始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量，這是平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣.課堂練習(xí)課本P92

6、練習(xí).課時(shí)小結(jié)平面向量?jī)H限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點(diǎn)都是指“將圖形上所有點(diǎn)沿相同的方向移動(dòng)相同的長(zhǎng)度”，空間的平移包含平面的平移關(guān)于向量算式的化簡(jiǎn)，要注意解題格式、步驟和方法.課后作業(yè)課本P106 1、2、預(yù)習(xí)課本P92P96，預(yù)習(xí)提綱： 怎樣的向量叫做共線向量？?jī)蓚€(gè)向量共線的充要條件是什么？空間中點(diǎn)在直線上的充要條件是什么？什么叫做空間直線的向量參數(shù)表示式？怎樣的向量叫做共面向量？向量p與不共線向量a、b共面的充要條件是什么？空間一點(diǎn)P在平面MAB內(nèi)的充要條件是什么？板書設(shè)計(jì)：3.1 空間向量及其運(yùn)算（一）一、 平面向量復(fù)習(xí) 二、空間向量

7、 三、例1定義及表示方法 定義及表示加減與數(shù)乘運(yùn)算 加減與數(shù)乘向量 小結(jié)運(yùn)算律 運(yùn)算律教學(xué)后記：空間向量及其運(yùn)算一、課題：空間向量及其運(yùn)算（2） 二、教學(xué)目標(biāo)：1理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論；2掌握空間直線、空間平面的向量參數(shù)方程和線段中點(diǎn)的向量公三、教學(xué)重、難點(diǎn)：共線、共面定理及其應(yīng)用四、教學(xué)過程：（一）復(fù)習(xí)：1空間向量的概念及表示；（二）新課講解：1共線（平行）向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。讀作：平行于，記作：2共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使（唯一）推論：如果為經(jīng)過已知點(diǎn)，且平行于已知向量

8、的直線，那么對(duì)任一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，滿足等式，其中向量叫做直線的方向向量。在上取，則式可化為或當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，此時(shí)和都叫空間直線的向量參數(shù)方程，是線段的中點(diǎn)公式3向量與平面平行：已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說向量平行于平面，記作：通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的4共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)使推論：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使或?qū)臻g任一點(diǎn)，有上面式叫做平面的向量表達(dá)式（三）例題分析：例1已知三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外任一點(diǎn)，滿足條件，試判斷：點(diǎn)與是否

9、一定共面？解：由題意：，即，所以，點(diǎn)與共面說明：在用共面向量定理及其推論的充要條件進(jìn)行向量共面判斷的時(shí)候，首先要選擇恰當(dāng)?shù)某湟獥l件形式，然后對(duì)照形式將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算【練習(xí)】：對(duì)空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，問滿足向量式 （其中）的四點(diǎn)是否共面？解：，點(diǎn)與點(diǎn)共面例2已知，從平面外一點(diǎn)引向量，（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）平面平面解：（1）四邊形是平行四邊形，共面；（2），又，所以，平面平面五、課堂練習(xí)：課本第96頁練習(xí)第1、2、3題六、課堂小結(jié)：1共線向量定理和共面向量定理及其推論；2空間直線、平面的向量參數(shù)方程和線段中點(diǎn)向量公式七、作業(yè)：1已知兩個(gè)非零向量不共線，如果，求證：共面2已知，若，求

10、實(shí)數(shù)的值。3如圖，分別為正方體的棱的中點(diǎn)，求證：（1）四點(diǎn)共面；（2）平面平面4已知分別是空間四邊形邊的中點(diǎn)，（1）用向量法證明：四點(diǎn)共面；（2）用向量法證明：平面從三個(gè)方面談空間向量立體幾何引入空間向量使得幾何問題代數(shù)化，很多復(fù)雜的幾何問題得以迎刃而解但不少學(xué)生對(duì)空間向量的學(xué)習(xí)把握不準(zhǔn)確，不知道要掌握到什么程度，拓寬到什么程度本文從“轉(zhuǎn)、基、法”三方面談空間向量必須掌握之處，供參閱一、“轉(zhuǎn)”“轉(zhuǎn)”即轉(zhuǎn)化，即向量之間的相互表示；難點(diǎn)在于怎樣有效地用已知向量來表示未知向量正如三角函數(shù)求值中角的相互“轉(zhuǎn)化”，怎樣用已知角來代換未知角難點(diǎn)突破：尋找已知向量來表示所要求的向量往往立竿見影或者利用分析法

11、，根據(jù)所要求證的向量來表示要轉(zhuǎn)化的向量例1如圖1，在空間四邊形ABCD中，如果，求證：證明：由，得，即，取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE和BE，則上式化為，得，即所以評(píng)注：要得到，需從條件中構(gòu)造，解答中的移項(xiàng)使得構(gòu)造得以實(shí)現(xiàn)二、“基”“基”即基底，由空間向量基本定理，可知空間任一向量可由不共面的三個(gè)向量來表示用基底的眼光看問題會(huì)使得空間向量的表示簡(jiǎn)潔明朗化例2已知正四面體，、分別為、的中點(diǎn)，求與所成角的余弦值解：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，如圖2設(shè)，則，OE與BF所成的角的余弦值為評(píng)注：基底的取法還有很多，以，三向量為基底來表示其它向量，可使問題輕松獲解三、“法”法向量求法：設(shè)，找平面內(nèi)兩相交向量a、b，再

12、作，得兩方程，三個(gè)未知量?jī)蓚€(gè)方程，一般通過取定z的值來定法向量，方向朝上，方向朝下法向量的應(yīng)用：（一）利用平面法向量求線面角方法：如圖3，AB為平面的斜線，n為平面的法向量如果與n之間所成的角為銳角，則斜線AB與平面之間所成的角為；若為鈍角（當(dāng)n方向朝另一面時(shí)，即與圖3的n反向時(shí)），則故欲求斜線AB與平面所成的角，只需求出向量與平面的法向量n之間的夾角即可總之例3在長(zhǎng)方體中，求直線和平面所成角的正弦值解：如圖4，以D為原點(diǎn)，以方向分別作為x軸、y軸、z軸的正方向，則，設(shè)平面的法向量，則，即故是其中一組解，即為其中一個(gè)法向量，所以故所求角的正弦值為（二）利用平面法向量求二面角的平面角方法：如圖5，平面的法向量所成的角即為二面角的平面角（或其補(bǔ)角）例4在正方體中，、分別是的中點(diǎn)，求平面和底面所成銳二面角的余弦值解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖6所示由例3的方法，容易求得平面的法向量，底面的法向量，所以，即為所求角的余弦值（三）利用平面法向量求點(diǎn)到平面的距離方法：如圖7，求點(diǎn)P到平面的距離d，可以在平面上任意取一點(diǎn)，則（n為平面的法向量，方向如圖）若不知n與夾角為銳角或鈍角時(shí)，例5如圖8，四面體中，、分別是BD、BC的中點(diǎn)，（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離（1）證明：連結(jié)OC，在中，由已知可得，而，即