1、論行列式的計算方法方法1化三角形法化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或對角形行列式計算的一種方法。這是計算行列式的基本方法重要方法之一。因為利用行列式的定義容易求得上（下）三角形行列式或對角形行列式的性質將行列式化為三角形行列式計算。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。例1：浙江大學2004年攻讀碩士研究生入學考試試題第一大題第2小題（重慶大學2004年攻讀碩士研究生入學考試試題第三大題第1小題）的解答中需要計算如下行列式的值：分析顯然若直接化為三角形行列式，計算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質。注意到從第1列開始；每一列與它

2、一列中有n-1個數是差1的，根據行列式的性質，先從第n-1列開始乘以1加到第n列，第n-2列乘以1加到第n-1列，一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計算就簡單多了。解：問題推廣循環行列式從而推廣到一般，求下列行列式：解：令 首先注意，若u為n次單位根（即un=1），則有：為范德蒙行列式又例1中，循環的方向與該推廣在方向上相反所以例1與相對應。方法2 按行（列）展開法（降階法）設為階行列式，根據行列式的按行（列）展開定理有或其中為中的元素的代數余子式按行（列）展開法可以將一個n階行列式化為n個n-1階行列式計算。若繼續使用按行（列）展開法，可以將

3、n階行列式降階直至化為許多個2階行列式計算，這是計算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開并不能減少計算量，僅當行列式中某一行（列）含有較多零元素時，它才能發揮真正的作用。因此，應用按行（列）展開法時，應利用行列式的性質將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開。例2，計算20階行列式分析這個行列式中沒有一個零元素，若直接應用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個2階行列式計算，需進行20！*201次加減法和乘法運算，這人根本是無法完成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質將其化為有很多零元素，則很快就可算出結果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應元素僅差1，因此，可

4、按下述方法計算：解：方法3遞推法應用行列式的性質，把一個n階行列式表示為具有相同結構的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關系式，這種關系式稱為遞推關系式。根據遞推關系式及某個低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計算行列式的方法稱為遞推法。例3，2003年福州大學研究生入學考試試題第二大題第10小題要證如下行列式等式：分析此行列式的特點是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對角”行列式1。從行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1與Dn具有相同的結構。因此可考慮利用遞推關系式計算。證明：Dn按

5、第1列展開，再將展開后的第二項中n-1階行列式按第一行展開有：這是由Dn-1 和Dn-2表示Dn的遞推關系式。若由上面的遞推關系式從n階逐階往低階遞推，計算較繁，注意到上面的遞推關系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：或現可反復用低階代替高階，有：同樣有：因此當時由（1）（2）式可解得：方法4 加邊法（升階法）有時為了計算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進行計算，這種計算行列式的方法稱為加邊法或升階法。當然，加邊后必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易計算。要根據需要和原行列式的特點選取所加的行和列。加法適用于某一行（列）有一個相同的字母外，也可用于

6、其列（行）的元素分別為n-1個元素的倍數的情況。加邊法的一般做法是：特殊情況取 或 例4、計算n 階行列式：分析 我們先把主對角線的數都減1，這樣我們就可明顯地看出第一行為x1與x1,x2, xn相乘，第二行為x2與x1,x2, xn相乘，第n行為xn與 x1,x2, xn相乘。這樣就知道了該行列式每行有相同的因子x1,x2, xn，從而就可考慮此法。解：方法5 拆行（列）法由行列式拆項性質知，將已知行列式拆成若干個行列式之積，計算其值，再得原行列式值，此法稱為拆行（列）法。由行列式的性質知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個數之和，則該行列式可拆成兩個行列式的和，這兩個行列式的某行（列）分

7、別以這兩數之一為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素與原行列式的對應行（列）相同，利用行列式的這一性質，有時較容易求得行列式的值。例5、 南開大學2004年研究生入學考試題第1大題，要求下列行列式的值：設n階行列式：且滿足對任意數b，求n階行列式 分析該行列式的每個元素都是由兩個數的和組成，且其中有一個數是b，顯然用拆行（列）法。解： 也為反對稱矩陣又為的元素從而知：方法6 數學歸納法一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數學歸納法給出猜想的證明。因此，數學歸納法一般是用來證明行列式等式。因為給定一個行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。例6.證明：證：當

8、時，有：結論顯然成立。現假定結論對小于等于時成立。即有：將按第1列展開，得： 故當對時，等式也成立。得證。方法7 析因法如果行列式D中有一些元素是變數x（或某個參變數）的多項式，那么可以將行列式D當作一個多項式f(x)，然后對行列式施行某些變換，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)與這些因式的乘積g(x)只相差一個常數因子C，根據多項式相等的定義，比較f(x)與g(x)的某一項的系數，求出C值，便可求得D=Cg(x) 。那在什么情況下才能用呢？要看行列式中的兩行（其中含變數x），若x等于某一數a1時，使得兩行相同，根據行列式的性質，可使得D=0。那么x a1便是一個一次因式，再找其他的互

9、異數使得D=0，即得到與D階數相同的互素一次因式，那么便可用此法。例7.蘭州大學2004招收攻讀碩士研究生考試工試題第四大題第（1）小題。需求如下行列式的值。分析 根據該行列式的特點，當時，有。但大家認真看一下，該行列式Dn+1是一個n+1次多項式，而這時我們只找出了n個一次因式,那么能否用析因法呢？我們再仔細看一下，每行的元素的和數都是一樣的，為：，那么我們從第2列開始到第n+1列都加到第1列，現提出公因式，這樣行列式的次數就降了一次。從而再考慮析因法。解：令：顯然當：時，。又為n次多項式。又中的最高次項為，系數為1，C=1因此得：方法8.輔助行列式法輔助行列式法應用條件：行列式各行（列）和

10、相等，且除對角線外其余元素都相同。解題程序：1）在行列式D的各元素中加上一個相同的元素x，使新行列式除主對角線外，其余元素均為0；2）計算的主對角線各元素的代數余子式;3)例8.大連理工大學2004年碩士生入學考試高等代數試題，第一大題填空題第2小題需求下列n階行列式的值。解：在的各元素上加上后，則有：又，其余的為零。方法9 利用拉普拉斯定理拉普拉斯定理的四種特殊情形：151） 2）3） 4）例9 計算n階行列式：1解：方法 10 .利用范德蒙行列式范德蒙行列式：例10 計算n階行列式9解：顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質把它化為范德蒙行列式的類型。先將的第

11、n行依次與第n-1行，n-2行，,2行，1行對換，再將得到到的新的行列式的第n行與第n-1行，n-2行，,2行對換，繼續仿此作法，直到最后將第n行與第n-1行對換，這樣，共經過（n-1）+（n-2）+2+1=n（n-1）/2次行對換后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結果得： 方法11 利用矩陣行列式公式引理：設A為型矩陣，B為型矩陣，分別表示n階，m階單位矩陣，則有5先引入一個證明題：1設A，B分別是和矩陣，證明：證明：兩邊取行列式得：又同樣兩邊取行列式有： 得證。那么對于分別是和矩陣，能否得到：答案是肯定的。證： 有：又 即得：對分別為和矩陣，時，有：則當時，有：引理得證。例112003年全國碩士研究生入學考試數學試卷三第九題的解答中需要計算如下行列式的值。解：令矩陣則可得： 其中 那么根據上面所提到的引理可得：又 可得：方法12 利用方陣特征值與行列式的關系。也以例11為例解：顯然的個特征值為。 的個特征值為。故的特征值為 由矩陣特征值與對應行列式的關系知：注 的特征值也可由特征值的定義得到