1、第一章 引言1.1 研究背景向量（或矢量）,最初被應(yīng)用于物理學(xué)很多物理量如力、速度、位移以及電場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量.大約公元前350年前,古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量,兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到.“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段最先使用有向線段表示向量的是英國大科學(xué)家牛頓.向量在解析幾何整個知識體系中占有非常重要的地位,向量是數(shù)學(xué)中的一個重要概念.它可以使圖形量化,使圖形間關(guān)系代數(shù)化.向量是研究圖形問題的有力工具.向量是一個具有幾何和代數(shù)雙重身份的概念,同時向量代數(shù)所依附的線性代數(shù)是高等數(shù)學(xué)中一個完整的體系,具有良好的分析方法和完整結(jié)構(gòu)

2、,通過向量的運(yùn)用對傳統(tǒng)問題的分析,可以幫助學(xué)生更好地建立代數(shù)與幾何的聯(lián)系,也為中學(xué)數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過渡奠定了一個直觀的基礎(chǔ)這方面的案例包括平面幾何、立體幾何和解析幾何1.2 本課題的研究內(nèi)容本課題主要是對向量法在有關(guān)平面問題中的應(yīng)用的進(jìn)一步探討.具體從以下幾個方面進(jìn)行探討：1、向量在建立平面方程中的應(yīng)用.2、向量在討論平面與平面、平面與直線的位置關(guān)系中的應(yīng)用.3、向量在推導(dǎo)點(diǎn)到平面的距離公式中的應(yīng)用.4、向量在推導(dǎo)兩平面的夾角公式中的應(yīng)用.5、向量在平面其它方面的應(yīng)用.第二章 向量法在有關(guān)平面問題中的應(yīng)用2.1 向量的基礎(chǔ)知識1.向量分解定理定理1 如果向量,那么向量與向量共線的充分條件是可以用

3、向量線性表示,或者說是的線性組合,即,并且系數(shù)被,唯一確定.定理2 如果向量,不共線,那么向量與向量,共面的充要條件是可以用向量,線性表示,或者說可以分解成,的線性組合,即,并且系數(shù), ,被,唯一確定.這時,叫做平面上向量的基底.2.向量平行、垂直的條件及夾角公式設(shè)空間中兩個非零向量為和則(1)(2) (3)即3.向量乘法運(yùn)算的有關(guān)內(nèi)容:設(shè)則(1)數(shù)量積：1) 2) 3) 4) 即(2)向量積：1)2)若不平行,則 圖1 3)若即(3)混合積：1) 2)若不共面,則2.2向量在建立平面方程中的應(yīng)用 平面的點(diǎn)法式方程如果一非零向量垂直于一平面,這向量就叫做該平面的法向量.法向量的特征：垂直于平面

4、的任一非零向量.已知平面上一點(diǎn)和該平面的法向量.設(shè)平面上的任一點(diǎn)則有=圖2平面的點(diǎn)法式方程為由點(diǎn)法式得到平面的一般是方程其中例1: 一平面過點(diǎn)和且垂直于平面,求此平面的方程.解: 平面的法向量設(shè)所求平面的法向量在所求平面上從而有,圖3即 (1)又所求平面垂直于平面 , 從而有 即 即 (2)由(1)(2)解得：所求平面的方程為即另解：且該平面的法向量為 圖4所求平面的方程為 即 從以上兩例可以看出,在用向量建立平面方程時,首先要確定平面的法向量,熟記平面的幾種特殊位置的方程,且需注意兩平面的位置特征.平面的參數(shù)式方程圖5在空間,取仿射坐標(biāo)系,并設(shè)點(diǎn)的向徑,平面上的任意一點(diǎn)的向徑為(圖4),顯然

5、點(diǎn)在平面上的充要條件為向量與共面,因?yàn)椴还簿€,所以這個共面的條件可以寫成,又因?yàn)?所以有 其中為參數(shù). 即 則此方程叫做平面的向量式參數(shù)方程,如果設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為那么 ; 令,那么由平面的向量式參數(shù)方程得,則此方程組叫做平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程.2.3討論平面與平面、平面與直線的位置關(guān)系中的應(yīng)用2.3.1平面與平面的位置關(guān)系空間兩個平面的位相關(guān)位置有三種情形,即相交、平行和重合,而且當(dāng)且僅當(dāng)兩平面有一部分公共點(diǎn)時它們相交,當(dāng)且僅當(dāng)兩平面無公共點(diǎn)時它們相互平行,當(dāng)且僅當(dāng)一個平面上的所有點(diǎn)就是另一個平面的點(diǎn)時,這兩平面重合.因此如果設(shè)兩平面方程為 , （1）, （2）那么兩平面與是相交還是平行或是重合

6、,就決定于由方程(1)與(2)構(gòu)成的方程組是有解還是無解,或是方程(1)與（2）僅相差一個不為零的數(shù)因子,因此我們就得到了下面的定理.定理.1: 平面（1）與（2）相交的充要條件是 ,平行的充要條件是 ,重合的充要條件是 定理.2:兩平面（1）與（2）相互垂直的充要條件是;證：設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為而與的位置關(guān)系直接影響與的位置關(guān)系.下面分幾種情況來討論.(如圖)1. 特例：與重合（1）,（2）兩方程同解 且顯然,且與不重合 2. .將上面結(jié)果歸納起來可以得到2.3.2平面與直線的位置關(guān)系空間直與平面的相關(guān)位置有直線與平面相交,直線與平面平行和直線在平面上的三種情況.下面給出直線與平

7、面位置成立的條件：設(shè)直線平面的方程分別為 , （1） , （2）則由定理.1 直線（1）與平面（2）的相互位置關(guān)系有下面的充要條件:1. 相交： ；2. 平行： ; ；3. 直線在平面上： ; 由于直線的方向向量為,而在直線坐標(biāo)系下,平面的法向量為,因此在直角坐標(biāo)系下,直線與平面的相互位置關(guān)系,從幾何上看,直線與平面的相交條件 就是不垂直于；直線與平面平行的條件 ;就是,且直線上的點(diǎn)不在平面上；直線在平面上的條件 ;就是,且直線上的點(diǎn)在平面上.2.4向量在推導(dǎo)點(diǎn)到平面的距離公式中的應(yīng)用空間解析幾何在空間點(diǎn)、直線與平面間相關(guān)位置的討論中有一個重要問題是求這些圖形間的距離,其中點(diǎn)到平面的距離尤為重

8、要本節(jié)將利用向量探討點(diǎn)到平面的距離公式的推導(dǎo)文獻(xiàn)1,2利用點(diǎn)與平面間離差的幾何意義給出了點(diǎn)與平面： （1）之間的距離公式： （2）平面的點(diǎn)法式向量方程為 , （3）平面的向量式參數(shù)方程 （4）其中是平面的法向量,、為參數(shù),是平面的方位向量,是平面上定點(diǎn)的徑矢, （5）設(shè) （6） （7） , （8）則平面的點(diǎn)法式向量方程（3）和平面的向量式參數(shù)方程（4）都可以轉(zhuǎn)化為平面的一般式方程（1）,所以以下推導(dǎo)中,只要得到由向量表示的距離公式,那么將（68）代入,就可得距離公式（2）.證：1. 與之間的距離是與上定點(diǎn)構(gòu)成向量在平面的法向量上的射影的絕對值.設(shè)平面的點(diǎn)法式方程如（3）式,則將（5）（6）（8

9、）式代入,即可得距離公式（2）已知與之間的距離是以平面的方位向量,和為棱的 平行六面體中,所在平面上的高證：1.設(shè)平面的方程如（4）式,將,的始點(diǎn)移到點(diǎn),則,不面.與之間的距離正好是以向量,和為棱的平行六面體中,所在面上的高如圖6.平行六面體的體積 ,底面的面積 圖6所以,將（5）,（7）,（8）式代入,即可得距離公式（2）評析：點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)有很多方法,本節(jié)利用向量法推導(dǎo)出了點(diǎn)到直線的距離公式,這種思路能更好的將向量與幾何問題結(jié)合起來,展現(xiàn)了向量在解決幾何問題中的重要作用.2.5 向量在推導(dǎo)兩平面的夾角公式中的應(yīng)用現(xiàn)在讓我們在直角坐標(biāo)系下來研究兩平面的交角.設(shè)兩平面與間的二面角用來表

10、示,而兩平面的法向量與的夾角記為,那么顯然有（圖7）或.因此我們得到圖7 例2: 如圖8,在底面是直角梯形的四棱錐中,/, . 求側(cè)面與面所成的二面角的大小.解：以為原點(diǎn)如圖8建立空間直角坐標(biāo)系,AzyxDCBS圖8則, ,顯然平面的一個法向量為,設(shè)平面的一個法向量為,則 則評析：因?yàn)樗蟮亩娼堑慕痪€在圖中較難作出,所以用傳統(tǒng)的方法求二面角比較困難,向量法在這里就體現(xiàn)出它特有的優(yōu)勢.2.6向量在平面其它方面的應(yīng)用1求點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).例3.求點(diǎn)關(guān)于平面:的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于平面對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是平面的法向量為.則有且點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等,即.得解得,則點(diǎn)的對稱點(diǎn).2

11、. 求平面與坐標(biāo)平面圍成的四面體體積.例4.求平面與三個坐標(biāo)平面所圍成的四面體體積.解：如圖9,則平面與坐標(biāo)系的交點(diǎn)與原點(diǎn)構(gòu)成的向量為,圖9則四面體體積為即四面體體積評析：向量除了本文所羅列出來的相關(guān)問題之外,還有很多的解析幾何問題可以利用向量來解決,所以向量在解決平面的相關(guān)問題中有著不可忽視的作用,值得我們認(rèn)真學(xué)習(xí)和研究.2.7本章小結(jié) 總之,向量在整個解析幾何中占有非常重要的地位,因此它的應(yīng)用在解決幾何問題時是最基礎(chǔ)最普遍的方法,尤其是在幾何的證明問題中,使用向量的分解定理和向量的基礎(chǔ)知識以及向量的一些定理可以起到事半功倍的效果.除此之外,用向量可以將一些代數(shù)問題幾何化,這樣借助向量的性質(zhì)

12、可以快速明了的解決一些難題.另外,向量在推導(dǎo)一些幾何公式時,使得問題簡化了很多.參考文獻(xiàn)1呂林根,許子道.解析幾何M北京：高等教育出版社,19922丘維聲. 解析幾何M北京大學(xué)出版社,19883鄭榮等.向量在幾何中的應(yīng)用舉例J.成都教育學(xué)院學(xué)報,2003,17 6566.4李健群.談向量方法在有關(guān)直線問題中的應(yīng)用J.數(shù)學(xué)通,2004, 617.致謝走的最快的總是時間,來不及感嘆,大學(xué)生活已近尾聲,四年多的努力與付出,隨著本次論文的完成,將要劃下完美的句.從課題選擇到具體的寫作過程,無不凝聚著老師的心血和汗水.老師要指導(dǎo)很多同學(xué)的論文,加上本來就有的教學(xué)任務(wù)和科研項(xiàng)目,工作量之大可想而知,她還在百忙之中抽出大量的時間來指導(dǎo)我們.她的循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪,她的淵博的專業(yè)知識,精益求精的工作作風(fēng),嚴(yán)以律己、寬以待人的崇高風(fēng)范,將一直是我工作、學(xué)習(xí)中的榜樣.在我的畢業(yè)論文寫作期間,老師為我提供了種種專業(yè)知識上的指導(dǎo)和一些富于創(chuàng)造性的建議,沒有這樣的幫助和關(guān)懷,我不會這么順利的完成畢業(yè)論文.在此向鄭平老師表示深深的感謝和崇高的