1、第二章 平面向量數(shù)學(xué)4是高中數(shù)學(xué)課程的必修模塊，內(nèi)容包括三角函數(shù)、平面上的向量（簡稱平面向量）、三角恒等變換。平面向量是1996年進入高中數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，標(biāo)準(zhǔn)對其中的一些內(nèi)容作了新的處理，在要求上也有變化。一、教育價值向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景。這部分內(nèi)容的教育價值主要體現(xiàn)在以下幾個方面。1、有助于學(xué)生體會數(shù)學(xué)與實際生活的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用。向量是刻畫現(xiàn)實世界的重要數(shù)學(xué)模型。力、速度、位移等在實際生活中隨處可見，這些都是向量的實際背景，也可以用向量加以刻畫和描述。標(biāo)準(zhǔn)突出向量的實際背景與應(yīng)用。因此，通

2、過本模塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生認(rèn)識到向量與實際生活的緊密聯(lián)系，以及向量在解決實際問題中的廣泛應(yīng)用，從中感受數(shù)學(xué)的價值，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實世界，去解決日常生活和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。2、有助于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造過程。向量既是代數(shù)的對象，又是幾何的對象，它是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。標(biāo)準(zhǔn)將向量與三角函數(shù)設(shè)計在一個模塊中，主要是為了通過向量溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的聯(lián)系，體現(xiàn)向量在處理三角函數(shù)問題中的工具作用。標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，并由此公式作為出發(fā)點，推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角

3、的正弦、余弦、正切公式以及積化和差、和差化積、半角公式等，這個過程有助于學(xué)生體會向量與三角函數(shù)的聯(lián)系、數(shù)與形的聯(lián)系以及三角恒等變換公式之間的內(nèi)在聯(lián)系。3、有助于發(fā)展學(xué)生的運算能力和推理能力。向量作為代數(shù)對象，可以象數(shù)一樣進行運算。運算對象的不斷擴展是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索。數(shù)運算，字母運算，向量運算，函數(shù)運算，映射、變換、矩陣運算等是數(shù)學(xué)中的基本運算。從數(shù)運算、字母運算到向量運算，是運算的一次飛躍，向量運算使運算對象從一元擴充到多元，對于進一步理解其它數(shù)學(xué)運算具有基礎(chǔ)作用。標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生掌握向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積的運算，推導(dǎo)三角恒等變換公式。三角恒等變換公式的推導(dǎo)即是一種三角函數(shù)運算，也體現(xiàn)

4、了公理化方法和推理論證在數(shù)學(xué)研究中的作用。因此，本模塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生體會數(shù)學(xué)運算的意義，以及運算、推理在探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，建立數(shù)學(xué)體系中的作用，發(fā)展學(xué)生的運算能力和推理能力。二、課程內(nèi)容加強的方面及依據(jù)1、加強幾何直觀。對于平面向量，標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)向量概念的幾何背景，強調(diào)理解向量運算（加、減、數(shù)乘、數(shù)量積）及其性質(zhì)的幾何意義。2、強調(diào)數(shù)學(xué)建模。標(biāo)準(zhǔn)將向量作為刻畫現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)模型。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的最好方法是經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，即“問題情景建立模型數(shù)學(xué)結(jié)果解釋、應(yīng)用與拓展”。標(biāo)準(zhǔn)對向量內(nèi)容的處理，首先提供豐富的實際背景，通過對實際背景（現(xiàn)實原型）的分析、概括與抽象，建立向量模型（引出向量的概念）

5、，再運用數(shù)學(xué)的方法研究向量模型的性質(zhì)，最后運用向量模型及其性質(zhì)去解決包括現(xiàn)實原型在內(nèi)的更加廣泛的一類實際問題。這樣處理體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，反映了數(shù)學(xué)的“來龍去脈”，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成對數(shù)學(xué)完整的認(rèn)識。4、強調(diào)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系。向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)與幾何的一種工具，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。本模塊用向量的數(shù)量積來推導(dǎo)兩角差的余弦公式、刻畫平面內(nèi)兩條直線平行與垂直的位置關(guān)系等問題，體現(xiàn)了向量方法在研究和解決數(shù)學(xué)問題中的作用，也溝通了代數(shù)、幾何與三角的聯(lián)系。三角函數(shù)與向量在物理中有著廣泛的應(yīng)用，物理背景也是向量模型的重

6、要原型。標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)突出向量的物理背景和向量在物理中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理等學(xué)科的密切聯(lián)系。 三、課程內(nèi)容削弱的方面及依據(jù) 平面向量與2002年頒布的全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱相比，標(biāo)準(zhǔn)在平面向量部分刪減了平面兩點間的距離公式，線段定比分點及中點坐標(biāo)公式，平移公式等內(nèi)容。四、對標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容的有關(guān)說明與建議1向量是刻畫現(xiàn)實和描述現(xiàn)實世界的重要數(shù)學(xué)模型。標(biāo)準(zhǔn)將向量當(dāng)作數(shù)學(xué)模型來處理，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型觀，滲透了數(shù)學(xué)建模的思想。對于數(shù)學(xué)模型，徐利治先生在數(shù)學(xué)方法論選講一書中作了這樣的解釋：所謂數(shù)學(xué)模型，是指針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)

7、構(gòu)。徐利治先生在該書中還對數(shù)學(xué)模型作了廣義的解釋：凡一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、各種數(shù)學(xué)公式、各種方程（代數(shù)方程、函數(shù)方程、微分方程、差分方程、積分方程）以及有公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等等都可稱之為數(shù)學(xué)模型。這是一種廣義的數(shù)學(xué)模型觀。以這種觀點看待本模塊的內(nèi)容，向量的概念、向量的運算等等都是數(shù)學(xué)模型。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的最好方法是經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程，即首先從大量的實際背景中概括抽象出三角函數(shù)、向量的概念（數(shù)學(xué)模型），然后利用數(shù)學(xué)的方法研究向量的性質(zhì)，再運用這些數(shù)學(xué)模型去解決實際問題。由于數(shù)學(xué)模型是從現(xiàn)實原型中抽象出來的，它高于原型，可用于刻畫和解決包括原型在內(nèi)的更加廣泛的一類問題。這個過程突出了數(shù)學(xué)的來

8、龍去脈。因此，教師在向量的教學(xué)中，應(yīng)樹立一種數(shù)學(xué)模型的觀念，用數(shù)學(xué)模型的觀點看待這些內(nèi)容。在向量概念的教學(xué)中，教師也應(yīng)關(guān)注以下兩點：第一，根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗，創(chuàng)設(shè)豐富的情境。例如，物理中的力、速度、加速度以及幾何中的有向線段等概念是向量概念的原型，物理中力的合成與分解是向量的加法運算與向量分解的原型。通過這些實例，可使學(xué)生了解向量的物理背景和幾何背景，認(rèn)識到向量是描述和刻畫現(xiàn)實問題、物理和數(shù)學(xué)等學(xué)科中的問題的工具。這對于學(xué)生理解向量概念和運用向量解決實際問題都是十分重要的。第二，注重向量模型的運用，引導(dǎo)學(xué)生運用向量解決一些物理和幾何問題。例如，利用向量計算力使物體沿某方向運動所做的功，利用向量

9、解決平面內(nèi)兩條直線平行與垂直的位置關(guān)系等問題。2向量是數(shù)學(xué)中重要的、基本的概念，它既是代數(shù)的對象，又是幾何的對象。作為代數(shù)對象，向量可以運算。作為幾何對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面、切線等幾何對象；向量有長度，可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。向量由大小和方向兩個因素確定，大小反映了向量數(shù)的特征，方向反映了向量形的特征，因此，向量是集數(shù)形于一身的數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn)。向量是重要的數(shù)學(xué)模型。（V,+）是一個群的模型，即向量對加法運算構(gòu)成群；(V,R,+,.)是一個線性空間的模型，即向量、實數(shù)對向量加法、數(shù)與向量乘法構(gòu)成線性空間；(V,R,+,.)是一個線性賦范空間

10、的模型，即給向量賦以長度，向量、實數(shù)對向量加法、數(shù)與向量乘法構(gòu)成線性賦范空間。因此，向量是抽象代數(shù)、線性代數(shù)、泛函分析中的基本數(shù)學(xué)模型，是理解這些數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)。向量也是重要的物理模型。平面力場、平面位移場以及二者混合產(chǎn)生的做功問題，都可以用向量空間來刻畫和描述。向量不僅溝通了代數(shù)與幾何的聯(lián)系，而且，體現(xiàn)了近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想，它在高中數(shù)學(xué)中的重要地位是不言而喻的。標(biāo)準(zhǔn)中，對向量內(nèi)容也是分層次處理的。在必修數(shù)學(xué)4中設(shè)計了平面向量，在選修系列2中設(shè)計了空間向量。下面對數(shù)學(xué)4中的平面向量作進一步分析。平面上任意向量可唯一表示成一組不共線的向量的線性組合，也就是說，對于平面上的向量，任意一組不共線的向量

11、都可作為基底。為了方便，通常我們選擇一組標(biāo)準(zhǔn)正交的向量（一組夾角為90度，長度為1的向量）作為基底。將平面上的一個向量用標(biāo)準(zhǔn)正交基表示就是向量的正交分解，即平面上的任一向量都可以分解成兩個正交的向量。從幾何的角度看，向量的正交分解就是把一個向量分解成兩個互相垂直（正交）的向量，這兩個互相垂直的向量的長度正是原向量分別在正交基的兩個方向上的投影的長度。從代數(shù)的角度看，向量的正交分解就是把一個向量表示為標(biāo)準(zhǔn)正交基的線性組合，這個線性組合的系數(shù)（唯一的數(shù)對）就是該向量在此標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)，即向量可以用數(shù)對來表示。向量的數(shù)量積是向量的一種重要運算。為便于說明向量的數(shù)量積的意義，我們不妨以一個向量與單

12、位向量的數(shù)量積為例。一個向量與單位向量的數(shù)量積，其物理意義就是由向量表示的力使物體沿單位向量方向作運動所做的功，其幾何意義就是向量在單位向量上的投影的長度。一個向量與自身的數(shù)量積就是該向量長度的平方。因此，向量的坐標(biāo)就是該向量與標(biāo)準(zhǔn)正交基中的兩個單位向量的數(shù)量積。運用向量的數(shù)量積很容易推導(dǎo)出兩角差的余弦公式。設(shè)（e1,e2）是平面上的標(biāo)準(zhǔn)正交基，a，b是平面上的單位向量，a與e1的夾角為，b與e1的夾角為，且。向量a在（e1,e2）下的坐標(biāo)為，向量b在（e1,e2）下的坐標(biāo)為，向量a，b的數(shù)量積ab =。由于a，b是單位向量，所以，。運用向量也可以解釋三角函數(shù)。設(shè)（e1,e2）是平面上的標(biāo)準(zhǔn)正交基，a是平面上的向量，a與e1的夾角為，則可以用向量的數(shù)量積來解釋三角函數(shù)如下。， 。三角函數(shù)的