1、第二章 空間中的直線與平面空間概念主題1：空間概念1.基本公設(shè)：(1)相異兩點(diǎn)恰決定一條直線。(2)過(guò)不共線三點(diǎn)恰決定一平面。(3)一直線L若有相異兩點(diǎn)A、B都在一平面E上則L上每一點(diǎn)都在平面E上（即）。(4)空間中過(guò)直線L上一點(diǎn)A有無(wú)限多直線與L垂直而這些直線構(gòu)成一平面E。(5)給定任意兩平面、，若、相交，則、的交集至少包含相異兩點(diǎn)。2.決定一平面的條件：(1)不共線三點(diǎn)。(2)一線及線外一點(diǎn)。(3)二平行線。(4)相交於一點(diǎn)的兩相異直線。3.直線與平面的關(guān)係：空間中一直線L與平面E的關(guān)係可為：(1)（L與E沒(méi)有交點(diǎn)）(2)L與E交於一點(diǎn)(3)L上有二相異點(diǎn)A、B在E上（）4.空間中二直線、

2、之關(guān)係(1)（存在相異兩點(diǎn)A、B同時(shí)在、上）(2)、恰交於一點(diǎn)(3)、不相交，但、共平面（此時(shí)稱）(4)、不共平面（此時(shí)稱、為歪斜線）5.直線的垂直線與垂直平面(1)平面上給定一線L及線外一點(diǎn)P則恰有一直線過(guò)P且垂直於L(2)空間中給定一線L及線外一點(diǎn)P則恰有一直線過(guò)P且垂直於L(3)平面上給定一線L及線上一點(diǎn)A則恰有一直線過(guò)A且垂直於L(4)空間中給定一線L及線上一點(diǎn)A則有無(wú)限多直線過(guò)A且垂直於L(5)由基本公設(shè)(4)知；通過(guò)A點(diǎn)而與L垂直之直線均在E上且平面E上過(guò)A點(diǎn)之任一線均垂直於L，此時(shí)我們規(guī)定直線L垂直平面E，並稱L為平面E的法線，與L平行的任一向量稱為E的法向量，而E為L(zhǎng)的一個(gè)法平

3、面。(6)直線與平面的垂直定理：直線L交平面E於點(diǎn)A，若E上過(guò)A點(diǎn)之兩相異直線、均垂直於L，則。7.平面與平面的關(guān)係：(1)由基本公設(shè)(5)知空間中兩平面、的相交情形有：(a)、不相交（）(b)、交於一直線(c)(2)空間中兩相異平面若相交，則不在同一平面之兩半平面與交稜所成的圖形稱為二面角，交稜稱為此二面角的稜，兩個(gè)半平面稱為此二面角的兩邊或兩面。OQE1ABE2P(3)二面角的度量：在一個(gè)二面角的稜上任取一點(diǎn)O，自O(shè)點(diǎn)在角的兩面上各作一射線、都與垂直此時(shí)規(guī)定為此二面角的一個(gè)平面角，的度量等於之度量。(4)相異兩平面若相交，則會(huì)構(gòu)成四個(gè)二面角，其中兩鄰角互為補(bǔ)角，兩對(duì)角相等。(5)當(dāng)一個(gè)二面

4、角的平面角為直角時(shí)我們稱此二面角為直二面角。(6)當(dāng)相交之兩相異平面交成四個(gè)直二面角時(shí)，我們稱這兩平面互相垂直。(7)若則在上垂直於交線的任一直線，必垂直於。(8)若直線L垂直於平面E，則空間中包含直線L的任意平面都垂直於平面E。8.三平面的關(guān)係：空間中三相異平面的關(guān)係可為：(1)。(2)兩面平行，第三面與此二平面各交於一線。(3)三面交於一線。 (4)三面兩兩交於一線，三線互相平行。(5)三面交於一點(diǎn)。主題2：三垂線定理1.直線垂直平面於B點(diǎn)，L為E上不過(guò)B之任一線，若垂直L於C，則亦垂直於L；反之，若垂直L於C，則亦垂直於L。空間坐標(biāo)系主題1：空間坐標(biāo)1.空間坐標(biāo)系：(1)在空間中任取一點(diǎn)

5、O，過(guò)O作互相垂直的三直線軸、軸、軸，稱O為原點(diǎn)，則構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系。(2)平面、平面、平面把空間割成8部分，每一部分稱為一卦限，其中、之卦限稱為第一卦限。(3)空間上一點(diǎn)則：OEFGHABCxyz(1)在軸上坐標(biāo)【對(duì)x軸垂足】 在軸上坐標(biāo)【對(duì)y軸垂足】 在軸上坐標(biāo)【對(duì)z軸垂足】(2)在平面上坐標(biāo)【對(duì)平面垂足】 在平面上坐標(biāo)【對(duì)平面垂足】 在平面上坐標(biāo)【對(duì)平面垂足】(3)對(duì)軸上對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)軸上對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)軸上對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)(4)到平面上距離 到平面上距離 到平面上距離(5)到軸上距離 到軸上距離 到軸上距離2.距離公式：(1)O為原點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)為則(2)、則空間向量的坐標(biāo)表示法主題1：空間坐

6、標(biāo)1.在空間坐標(biāo)系中，對(duì)於任予向量皆存在唯一的一點(diǎn)P，使，若P點(diǎn)坐標(biāo)為則定義的坐標(biāo)表示法為表為，其中分別行為之x分量、y分量、z分量，而的長(zhǎng)度表為。2.若、則3.若為非零向量，、分別為與x、y、z軸正向之夾角，則稱、為之方向角，、為之方向餘弦。4.，、為之方向角，則(1)(2)，(3)若之方向角為、，則之坐標(biāo)表示法為(、)主題2：空間向量的運(yùn)算1.空間向量的加減法與係數(shù)積：若，則：(1)(2)(3)，(4)；2.分點(diǎn)公式設(shè)、為空間中相異兩點(diǎn)(1)P點(diǎn)內(nèi)分，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(2)P點(diǎn)外分，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(3)C為中點(diǎn)，則C點(diǎn)坐標(biāo)為主題3：向量?jī)?nèi)積與柯西不等式向量?jī)?nèi)積：1.定義：(1)、不為零向量，、夾

7、角為，則定義(2)或，則定義(3)若、則2.向量?jī)?nèi)積性質(zhì)：(1)(2)(3)(4)(5)(6)、，、夾角為則：(a)(b)(c)等號(hào)成立的充要條件為或、有一為主題4：面積與體積1.向量外積：，則：(1)(2)(3)；(4)2.所張平行四邊形面積 3.所張平行六面體體積 4.所張四面體體積空間中的平面主題1：平面方程式1.過(guò)點(diǎn)法向量的平面方程式為2.不為零向量，三元一次方程式之所有解在空間中所描之點(diǎn)所成圖形為一個(gè)以為法向量的平面。3.，x截距a，y截距b，z截距c之平面方程式為4.各種特殊平面方程式：(1)平面：，平面：，平面：(2)垂直x軸之平面，垂直y軸之平面，垂直z軸之平面(3)，平行平面

8、且過(guò)點(diǎn)之平面，平行平面且過(guò)點(diǎn)之平面，平行平面且過(guò)點(diǎn)之平面(4)與面垂直（平行z軸）之平面，與面垂直（平行x軸）之平面，與面垂直（平行y軸）之平面，(5)過(guò)原點(diǎn)之平面：(6)與平行之平面(7)，過(guò)、交線之平面E方程式為：(a)，。(b)，此時(shí)。(c)，此時(shí)。主題2：兩平面的夾角兩平面，其中，且，則：1.或。2.。3.、相交，交角滿足。主題3：到平面的距離1.點(diǎn)到平面的距離為2.點(diǎn)對(duì)平面(1).投影點(diǎn)：， 。(2)對(duì)稱點(diǎn)：， 3.兩平行平面，間的距離為4.相異兩相交平面，之交角平分面方程式為空間中的直線主題1：直線方程式1.不為零向量，若平行直線L，則稱為L(zhǎng)之方向向量；l、m、n為L(zhǎng)之方向數(shù)。2.

9、若、直線L，則：(1)為L(zhǎng)之一方向向量(2)；稱為之參數(shù)式(3)；為之參數(shù)式(4)；為之參數(shù)式(5)；為之相反射線3.過(guò)點(diǎn)方向向量為之直線，參數(shù)式為；4.直線L過(guò)點(diǎn)方向向量為(1)若l、m、n均不為0則稱為L(zhǎng)之對(duì)稱比例式(2)若，則為L(zhǎng)之對(duì)稱比例式(3)若，則為L(zhǎng)之對(duì)稱比例式5.、為不平行之兩相異平面，則為、之交線方程式其方向比為主題2：直線與平面直線與平面滿足1.，即，即，則L與E相交於一點(diǎn)。2.（即）且無(wú)解，則。；， 【】3.且有解（即）則4.平面方程式：(1)三點(diǎn)式：，(a)(b)求；【平面法向量】代入點(diǎn)向式(2)一直線及線外一點(diǎn)：直線過(guò)及線外一點(diǎn)，L的方向向量(a)求 (b)代入點(diǎn)向式

10、求直線方程式(3)二相交直線：；(a)求 【平面法向量】 (b)代入點(diǎn)向式求直線方程式(4)二平行線：；(a)求(b)求 【平面法向量】 (c)代入點(diǎn)向式求直線方程式主題3：兩直線的關(guān)係兩直線，1.若且則。平行，；。二平行線之距離 【】2.若且則。3.若且有解。則兩線交於一點(diǎn)，交角滿足。4.若且無(wú)解則兩線歪斜。，二歪斜線之距離：(1)作平面，【平行；】。(2) 【】。主題4：點(diǎn)到直線之距離點(diǎn)到直線之距離為：1.2. ，3.點(diǎn)對(duì)直線 (1).令(2)求值 (3)代入得Q【投影點(diǎn)】(4)由中點(diǎn)公式得對(duì)稱點(diǎn)R一次方程組與矩陣的列運(yùn)算主題1：一次方程組一次方程組的解法常見(jiàn)的有：(1)代入消去法(2)加

11、減消去法(3)高斯消去法2.矩陣就是把一串?dāng)?shù)字排成矩形的陣式，如是第列（橫的）第行（直的）的元素上面這個(gè)矩陣有m列、n行，我們稱它是階的矩陣。若，則稱它是n階的方陣。3.一次方程組：(1)它的係數(shù)所排成的矩陣稱為這個(gè)方程組的係數(shù)矩陣。(2)它的係數(shù)以及等號(hào)右邊的常數(shù)所排成的矩陣稱為這個(gè)方程組的增廣矩陣。(3)每一個(gè)方程組對(duì)應(yīng)一個(gè)增廣矩陣，將矩陣進(jìn)行“列運(yùn)算”就可得出方程組的解。對(duì)於增廣矩陣：(a)任意兩列對(duì)調(diào)，不影響方程組的解。(b)任一列乘以不是0的數(shù)加到其他一列，不影響方程組的解。(這是加減消去法的觀念）利用上述方法求解，我們稱為高斯消去法。主題2：二階行列式1.二階行列式的展開(kāi)，規(guī)定。2.二階行列式的性質(zhì)：(1)二階行列式的行與列依序互相轉(zhuǎn)換，其行列式值不變。(2)將兩行（或兩列）對(duì)調(diào)，則行列式的值變號(hào)。(3)將某一行（或某一列）乘以k，其行列值的值為原來(lái)行列式值的k 倍。注意(4)將某一行（或某一列）乘以k加到另一行（或另一列），其值不變。(5)； 主題3：利用克拉瑪公式解二元一次方程組1.對(duì)於二元一次方程組令，得，(1)此方程組恰有一組解：，(2)，或