1、學科：奧數教學內容：三垂線法作二面角的平面角的技巧求二面角的大小是考試中經常出現的問題，而用三垂線法作二面角的平面角是求二面角大小的一個重要方法，許多同學在解題過程中由于沒有有效地利用三垂線定理(或逆定理)作出二面角的平面角，使得解題受阻我們把用三垂線定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法稱為三垂線法，其作圖模型為：如圖1，在二面角l一中，過平面內一點A作AO平面，垂足為O，過點O作OBl于B(過A點作AB于B)，連結AB(或OB)，由三垂線定理(或逆定理)知ABl(或OBl)，則ABO為二面角。l的平面角作圖過程中，作出了兩條垂線AO與OB(或AB)，后連結AB兩點(或OB兩點)，這一過程可

2、簡記為“兩垂一連”，其中AO為“第一垂線”“第一垂線”能否順利找到或恰當作出是用三垂線法作二面角的平面角的關鍵，在具體解題過程中要注意以下幾點：1善于利用圖中已有的“第一垂線”例1 已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰為AC的中點M，又知AA1與底面ABC所成的角為60°(1)求證：BC平面AA1CC1；(2)求二面角B一AA1C的大小剖析：注意該題的第(1)問，事實上本題已經暗示了BC就是我們要尋求的“第一垂線”略解2 A1A與底面AB成的角為60°，所以A1AC60°，又M是AC中點，所以AA1C是正

3、三角形，作CNAA1于N，點N為A1A的中點，連結BN，由BC平面AA1CC1，BNAA1，則BNC為二面角B一AA1一C的平面角設ACBCa，正AA1C的邊長為a，所以，在RtBNC中，tanBNC=，即BNC.例2 如圖3，在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中，ABC90°，SA面ABCD，SA=AB=BC1，AD(1)求四棱錐SABCD的體積；(2)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值剖析：由SA面ABCD及ABC=90°，不難發現，BC即為“第一垂線”，但是，本題要作二面角的平面角，還需首先作出二面角的棱略解2 延長BA、CD相交于點E，連結SE，則SE是所求二

4、面角的棱，因為ADBC，BC=2AD，所以EA=AB=SA，所以SESB，因為SA面ABCD，得面SEB面EBC，EB是交線，又BCEB，所以BC面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，所以CSSE，所以BSC是所求二面角的平面角，因為，BC=1，BCSB，因為tanBSC=，即所求二面角的正切值為2借助第三個平面，作“第一垂線”例3 如圖4，正三棱柱ABCA1B1C1的底邊長為a，側棱長為，若經過對角線AB1且與對角線BC1平行的平面交上底面一邊A1C1于點D(1)確定點D的位置，并證明你的結論；(2)求二面角A1AB1D的大小剖析：由線面平行的性質定理及三角形中位線性質，易知D是A1C1

5、中點二面角A1AB1一D的放置屬于非常規位置的圖形，但是，容易發現，平面A1B1C1過點D且與平面A1AB1垂直，這樣的平面相對于二面角的兩個平面而言，我們稱為第三個平面過D作DFA1B1，由面面垂直的性質知，DF面A1AB1，即DF為我們要作的“第一垂線”略解2 在平面A1B1C1內，作CFA1B1于F，連DC，由三垂線定理可證AB1DG，DGF就是二面角A1AB1一D的平面角，在正A1B1C1中，因為D是A1C1中點，A1B1a，所以，在RtDFG，可求得DCF=45°3利用特殊圖形的定義、性質作“第一垂線”例4 已知：RtABC的斜邊BC在平面內，AB、AC分別與平面。成30°和45°角，求平面與ABC所在平面所成二面角的大小剖析：本題中沒有相對于二面角的兩個平面的第三個平面可以借助，但是，我們注意到AB、AC與平面所成的角均已給出，只要過A作AO于O，就可以同時找到AB、AC在平面內的射影，無疑這樣得到的“第一垂線"AO有著非常特殊的位置，有利于二面角大小的計算解：作AO于O，ODBC于D，連OB，AD，OC，由三垂線定理得：ADBC，所以ADO是二面角ABCO的平面角，令AOx，在RtAOB中，ABO30°，所以AB2x，在RtAOC中，ACO45&