1、第8講直線與圓錐曲線的位置關系1直線與圓錐曲線的位置關系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線l的方程AxByC0(A、B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一個關于變量x(或變量y)的一元方程即消去y后得ax2bxc0.(1)當a0時，設一元二次方程ax2bxc0的判別式為，則0直線與圓錐曲線C相交；0直線與圓錐曲線C相切；0直線與圓錐曲線C無公共點(2)當a0，b0時，即得到一個一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關系是平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸的位置關系是平行

2、2圓錐曲線的弦長(1)圓錐曲線的弦長直線與圓錐曲線相交有兩個交點時，這條直線上以這兩個交點為端點的線段叫做圓錐曲線的弦(就是連接圓錐曲線上任意兩點所得的線段)，線段的長就是弦長(2)圓錐曲線的弦長的計算設斜率為k(k0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2|y1y2|.(拋物線的焦點弦長|AB|x1x2p，為弦AB所在直線的傾斜角)一種方法點差法：在求解圓錐曲線并且題目中交代直線與圓錐曲線相交和被截的線段的中點坐標時，設出直線和圓錐曲線的兩個交點坐標，代入圓錐曲線的方程并作差，從而求出直線的斜率，然后利用中點求出直線方程“點差法”的常見題

3、型有：求中點弦方程、求(過定點、平行弦)弦中點軌跡、垂直平分線問題必須提醒的是“點差法”具有不等價性，即要考慮判別式是否為正數一條規律“聯立方程求交點，根與系數的關系求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”雙基自測1直線ykxk1與橢圓1的位置關系為()A相交 B相切C相離 D不確定2 “直線與雙曲線相切”是“直線與雙曲線只有一個公共點”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件3已知以F1(2,0)，F2(2,0)為焦點的橢圓與直線xy40有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為()A3 B2 C2 D44(2012成都月考)已知雙曲線E的中心為原點，F(3,0)是

4、E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N(12，15)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.15(2011泉州模擬)ykx2與y28x有且僅有一個公共點，則k的取值為_考點一直線與圓錐曲線的位置關系6(2011合肥模擬)設拋物線y28x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是()A. B2,2C1,1 D4,4 研究直線和圓錐曲線的位置關系，一般轉化為研究其直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組解的個數，但對于選擇題、填空題，常充分利用幾何條件，利用數形結合的方法求解7 若直線mxny4與O：x2y24沒有交點，則過點P(m，n)

5、的直線與橢圓1的交點個數是()A至多為1 B2 C1 D0考點二弦長及中點弦問題8若直線l與橢圓C：y21交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值 當直線(斜率為k)與圓錐曲線交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)時，則|AB|x1x2| |y1y2|，而|x1x2|，可根據直線方程與圓錐曲線方程聯立消元后得到的一元二次方程，利用根與系數的關系得到兩根之和、兩根之積的代數式，然后再進行整體代入求解9橢圓ax2by21與直線xy10相交于A，B兩點，C是AB的中點，若AB2，OC的斜率為，求橢圓的方程考點三圓錐曲線中的最值(或取值范圍)問題10(2011湘潭模擬)已知橢

6、圓y21的左焦點為F，O為坐標原點(1)求過點O、F，并且與直線l：x2相切的圓的方程；(2)設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍 直線與圓錐曲線位置關系的判斷、有關圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對函數方程思想和數形結合思想的考查，一直是高考考查的重點，特別是焦點弦和中點弦等問題，涉及中點公式、根與系數的關系以及設而不求、整體代入的技巧和方法，也是考查數學思想方法的熱點題型11 (2012金華模擬)已知過點A(4,0)的動直線l與拋物線G：x22py(p0)相交于B、C兩點當直線l的斜率是時，4.(1)求拋物線G的方程；(

7、2)設線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍考點四定值(定點)問題12(2011四川)橢圓有兩頂點A(1,0)、B(1,0)，過其焦點F(0,1)的直線l與橢圓交于C、D兩點，并與x軸交于點P.直線AC與直線BD交于點Q.(1)當|CD|時，求直線l的方程(2)當點P異于A、B兩點時，求證：OO為定值 解決圓錐曲線中的定值問題的基本思路很明確：即定值問題必然是在變化中所表現出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題中的直線方程、數量積等，其不受變化的量所影響的一個值即為定值，化解這類問題的關鍵是引進參數表示直線方程、數量積等，根據等式的恒成立、數式變換等尋找不受參數影響的量，解題

8、過程中要注意討論直線斜率的存在情況，計算要準確13(2011山東)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：y21.如圖所示，斜率為k(k0)且不過原點的直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線x3于點D(3，m)(1)求m2k2的最小值；(2)若|OG|2|OD|OE|，求證：直線l過定點14【示例】(本題滿分12分)(2011遼寧)如圖，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸左、右端點M、N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e.直線lMN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D.(1)設e，求|BC|與

9、|AD|的比值；(2)當e變化時，是否存在直線l，使得BOAN，并說明理由 第(1)問，設C1的方程，C2的方程同樣由C1的系數a，b來表示，再分別求點A、B的坐標，進而可求|BC|AD|；第(2)問利用kBOkAN，得t與e、a的關系式，再由|t|a，求e的范圍 本題探索的是離心率e的變化范圍，化解這個難點的方法首先假設存在直線l，使得BOAN，根據kBOkAN，再由|t|a構建關于e的不等式，解出e的范圍，最后作出肯定回答15 已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y軸距離的差都是1.(1)求曲線C的方程；(2)是否存在正數m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩

10、個交點A，B的任一直線，都有0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由1A2A3C4B50或16C7B8解設A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)當ABx軸時，|AB|；(2)當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為ykxm.由已知，得，即m2(k21)把ykxm代入橢圓方程，整理，得(3k21)x26kmx3m230.x1x2，x1x2.|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)3.當k0時，上式334，當且僅當9k2，即k時等號成立此時|AB|2；當k0時，|AB|，綜上所述|AB|max2.當|AB|最大時，AOB面積取最大值Smax|AB|max.9解法一設A(x1，y1)

11、、B(x2，y2)，代入橢圓方程并作差得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.而1，koc，代入上式可得ba.再由|AB|x2x1|x2x1|2，其中x1、x2是方程(ab)x22bxb10的兩根，故244，將ba代入得a，b.所求橢圓的方程是1.法二由得(ab)x22bxb10.設A(x1，y1)、B(x2，y2)，則|AB|.|AB|2，1.設C(x，y)，則x，y1x，OC的斜率為，.代入，得a，b.橢圓方程為y21.10解(1)a22，b21，c1，F(1,0)，圓過點O，F，圓心M在直線x上設M，則圓半徑r，由|OM|r，得 ，解得t，所求圓的方程為2(y)2.(2

12、)設直線AB的方程為yk(x1)(k0)，代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220.直線AB過橢圓的左焦點F且不垂直于x軸，方程有兩個不等實根如圖，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點N(x0，y0)，則x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01)，AB的垂直平分線NG的方程為yy0(xx0)令y0，得xGx0ky0，k0，xG0，點G橫坐標的取值范圍為.11解(1)設B(x1，y1)，C(x2，y2)，當直線l的斜率是時，l的方程為y(x4)，即x2y4.由得2y2(8p)y80，又4，y24y1，由及p0得：y11，y24，p2，得拋物線G的方程為x24y.(2)設l

13、：yk(x4)，BC的中點坐標為(x0，y0)，由得x24kx16k0，x02k，y0k(x04)2k24k.線段BC的中垂線方程為y2k24k(x2k)，線段BC的中垂線在y軸上的截距為：b2k24k22(k1)2，對于方程，由16k264k0得k0或k4.b(2，)12 (1)解因橢圓焦點在y軸上，設橢圓的標準方程為1(ab0)，由已知得b1，c1，所以a，橢圓方程為x21.直線l垂直于x軸時與題意不符設直線l的方程為ykx1，將其代入橢圓方程化簡得(k22)x22kx10. 設C(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1x2，x1x2，|CD|.由已知得，解得k.所以直線l的方程為yx1或

14、yx1.(2)證明直線l與x軸垂直時與題意不符設直線l的方程為ykx1(k0且k1)，所以P點坐標為.設C(x1，y1)，D(x2，y2)，由(1)知x1x2，x1x2，直線AC的方程為y(x1)，直線BD的方程為y(x1)，將兩直線方程聯立，消去y得.因為1x1，x21，所以與異號22.又y1y2k2x1x2k(x1x2)1，與y1y2異號，與同號，解得xk.因此Q點坐標為(k，y0)OO1.故OO為定值13(1)解設直線l的方程為ykxt(k0)，由題意，t0.由方程組得(3k21)x26ktx3t230.由題意0，所以3k21t2.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數的關系得

15、x1x2，所以y1y2.由于E為線段AB的中點，因此xE，yE，此時kOE.所以OE所在直線方程為yx，又由題設知D(3，m)，令x3，得m，即mk1，所以m2k22mk2，當且僅當mk1時上式等號成立，此時由0得0t2，因此當mk1且0t2時，m2k2取最小值2.(2)證明由(1)知OD所在直線的方程為yx，將其代入橢圓C的方程，并由k0，解得G.又E，D，由距離公式及t0得|OG|222，|OD| ，|OE| ，由|OG|2|OD|OE|得tk，因此直線l的方程為yk(x1)，所以直線l恒過定點(1,0)14(1)因為C1，C2的離心率相同，故依題意可設C1：1，C2：1，(ab0)設直線

16、l：xt(|t|a)，分別與C1，C2的方程聯立，求得A(t，)，B.(4分)當e時，ba，分別用yA，yB表示A，B的縱坐標，可知|BC|AD|.(6分)(2)t0時的l不符合題意t0時，BOAN當且僅當BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，即，(8分)解得ta.因為|t|a，又0e1，所以1，解得e1.(10分)所以當0e時，不存在直線l，使得BOAN；當e1時，存在直線l，使得BOAN.(12分)15(1)設P(x，y)是曲線C上任意一點，那么點P(x，y)滿足：x1(x0)化簡得y24x(x0)(2)設過點M(m,0)(m0)的直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)

17、設l的方程為xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)0，于是又(x11，y1)，(x21，y2)0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20.又x，于是不等式等價于y1y210y1y2(y1y2)22y1y210，由式，不等式等價于m26m14t2，對任意實數t,4t2的最小值為0，所以不等式對于一切t成立等價于m26m10，即32m32.由此可知，存在正數m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有0，且m的取值范圍是(32，32)第9講曲線與方程1曲線與方程一般地，在平面直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)0的實數解建立了

18、如下關系：(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線2直接法求動點的軌跡方程的一般步驟(1)建立適當的坐標系，用有序實數對(x，y)表示曲線上任意一點M的坐標(2)寫出適合條件p的點M的集合PM|p(M)(3)用坐標表示條件p(M)，列出方程f(x，y)0.(4)化方程f(x，y)0為最簡形式(5)說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上3兩曲線的交點(1)由曲線方程的定義可知，兩條曲線交點的坐標應該是兩個曲線方程的公共解，即兩個曲線方程組成的方程組的實數解；反過來，方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個交點，

19、方程組無解，兩條曲線就沒有交點(2)兩條曲線有交點的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實數解可見，求曲線的交點問題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實數解問題一個主題通過坐標法，由已知條件求軌跡方程，通過對方程的研究，明確曲線的位置、形狀以及性質是解析幾何需要完成的兩大任務，是解析幾何的核心問題，也是高考的熱點之一四個步驟對于中點弦問題，常有的解題方法是點差法，其解題步驟為：設點：即設出弦的兩端點坐標；代入：即代入圓錐曲線方程；作差：即兩式相減，再用平方差公式把上式展開；整理：即轉化為斜率與中點坐標的關系式，然后求解五種方法求軌跡方程的常用方法(1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關系

20、F(x，y)0；(2)待定系數法：已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數；(3)定義法：先根據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；(4)代入轉移法：動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程；(5)參數法：當動點P(x，y)坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將x，y均用一中間變量(參數)表示，得參數方程，再消去參數得普通方程雙基自測1f(x0，y0)0是點P(

21、x0，y0)在曲線f(x，y)0上的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件2(2012泉州質檢)方程x2xyx的曲線是()A一個點B一條直線C兩條直線D一個點和一條直線3(2012合肥月考)已知點P是直線2xy30上的一個動點，定點M(1,2)，Q是線段PM延長線上的一點，且|PM|MQ|，則Q點的軌跡方程是()A2xy10B2xy50C2xy10D2xy504(2012福州模擬)若點P到直線x1的距離比它到點(2,0)的距離小1，則點P的軌跡為()A圓 B橢圓C雙曲線 D拋物線5(2011北京)曲線C是平面內與兩個定點F1(1,0)和F2(1,0)的距離的積等于

22、常數a2(a1)的點的軌跡給出下列三個結論：曲線C過坐標原點；曲線C關于坐標原點對稱；若點P在曲線C上，則F1PF2的面積不大于a2.其中，所有正確結論的序號是_考向一直接法求軌跡方程6已知O的方程是x2y220，O的方程是x2y28x100，如圖所示由動點P向O和O所引的切線長相等，求動點P的軌跡方程 直接法求曲線方程的一般步驟：(1)建立恰當的坐標系，設動點坐標(x，y)；(2)列出幾何等量關系式；(3)用坐標條件變為方程f(x，y)0；(4)變方程為最簡方程；(5)檢驗，就是要檢驗點軌跡的純粹性與完備性7 如圖所示，過點P(2,4)作互相垂直的直線l1，l2.若l1交x軸于A，l2交y軸

23、于B，求線段AB中點M的軌跡方程考向二定義法求軌跡方程8一動圓與圓x2y26x50外切，同時與圓x2y26x910內切，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么曲線審題視點 由曲線定義出發建立關系式，從而求出軌跡方程 在利用圓錐曲線定義求軌跡時，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據曲線的方程，寫出所求的軌跡方程，若所求軌跡是某種圓錐曲線上的特定點的軌跡，則利用圓錐曲線的定義列出等式，化簡求得方程，同時注意變量范圍9已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程考向三參數法、相關點法求軌跡方程10已知拋物線y24px(p0)，

24、O為頂點，A，B為拋物線上的兩動點，且滿足OAOB，如果OMAB于M點，求點M的軌跡方程 在一些很難找到形成曲線的動點P(x，y)的坐標x，y所滿足的關系式的情況下，往往借助第三個變量t，建立t和x，t和y的關系式x(t)，yx(t)，再通過一些條件消掉t就間接找到了x和y所滿足的方程，從而求出動點P(x，y)所形成的曲線的普通方程11 如圖所示，從雙曲線x2y21上一點Q引直線xy2的垂線，垂足為N.求線段QN的中點P的軌跡方程12(本小題滿分12分)(2011天津)在平面直角坐標系xOy中，點P(a，b)(ab0) 為動點，F1、F2分別為橢圓1的左、右焦點已知F1PF2為等腰三角形(1)

25、求橢圓的離心率e；(2)設直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，M是直線PF2上的點，滿足AB2，求點M的軌跡方程 第(1)問設出焦點坐標，根據|PF2|F1F2|列出等式，解方程即可求得；第(2)問根據題意設出A，B兩點坐標，代入關系式2即可求得點M的軌跡方程 代入法求曲線方程的難點是建立x，y，x0，y0所滿足的兩個關系式，這需要根據問題的具體情況，充分利用已知條件列出關系式，一般需要找到兩個互相獨立的條件建立兩個方程，通過這兩個方程所組成的方程組用x，y表達x0，y0.1C2C3D4D56解設P(x，y)，由圓O的方程為(x4)2y26，及已知|AP|BP|，故|OP|2|AO|2|OP|2

26、|OB|2，則|OP|22|OP|26.x2y22(x4)2y26，x，故動點P的軌跡方程是x.7解設點M的坐標為(x，y)，M是線段AB的中點，A點的坐標為(2x,0)，B點的坐標為(0,2y)(2x2，4)，(2,2y4)由已知0，2(2x2)4(2y4)0，即x2y50.線段AB中點M的軌跡方程為x2y50.8解如圖所示，設動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，設已知圓的圓心分別為O1、O2，將圓的方程分別配方得：(x3)2y24，(x3)2y2100，當動圓與圓O1相外切時，有|O1M|R2.當動圓與圓O2相內切時，有|O2M|10R.將兩式相加，得|O1M|O2M|12|O1O2|，動圓圓心M(x，y)到點O1(3,0)和O2(3,0)的距離和是常數12，所以點M的軌跡是焦點為O1(3,0)、O2(3,0)，長軸長等于12的橢圓