1、第八章電磁感應 電磁場習題解答8 6一鐵心上繞有線圈100匝，已知鐵心中磁通量與時間的關系為，求在 時，線圈中的感應電動勢分析由于線圈有N 匝相同回路，線圈中的感應電動勢等于各匝回路的感應電動勢的代數和，在此情況下，法拉第電磁感應定律通常寫成 ，其中稱為磁鏈解線圈中總的感應電動勢當 時，8 7有兩根相距為d 的無限長平行直導線，它們通以大小相等流向相反的電流，且電流均以 的變化率增長若有一邊長為d 的正方形線圈與兩導線處于同一平面內，如圖所示求線圈中的感應電動勢分析本題仍可用法拉第電磁感應定律 來求解由于回路處在非均勻磁場中，磁通量就需用來計算（其中B 為兩無限長直電流單獨存在時產生的磁感強度

2、B1 與B2 之和）為了積分的需要，建立如圖所示的坐標系由于B 僅與x 有關，即，故取一個平行于長直導線的寬為x、長為d 的面元S，如圖中陰影部分所示，則，所以，總磁通量可通過線積分求得（若取面元，則上述積分實際上為二重積分）本題在工程技術中又稱為互感現象，也可用公式求解解1穿過面元S 的磁通量為因此穿過線圈的磁通量為再由法拉第電磁感應定律，有解2當兩長直導線有電流I 通過時，穿過線圈的磁通量為線圈與兩長直導線間的互感為當電流以 變化時，線圈中的互感電動勢為8 10如圖（）所示，把一半徑為R 的半圓形導線OP 置于磁感強度為B的均勻磁場中，當導線以速率v 水平向右平動時，求導線中感應電動勢E

3、的大小，哪一端電勢較高？分析本題及后面幾題中的電動勢均為動生電動勢，除仍可由求解外（必須設法構造一個閉合回路），還可直接用公式求解在用后一種方法求解時，應注意導體上任一導線元l 上的動生電動勢.在一般情況下，上述各量可能是l 所在位置的函數矢量（v B）的方向就是導線中電勢升高的方向解1如圖（）所示，假想半圓形導線OP 在寬為2R 的靜止形導軌上滑動，兩者之間形成一個閉合回路設順時針方向為回路正向，任一時刻端點O 或端點P 距 形導軌左側距離為x，則即由于靜止的 形導軌上的電動勢為零，則 2RvB式中負號表示電動勢的方向為逆時針，對OP 段來說端點P 的電勢較高解2建立如圖（c）所示的坐標系，

4、在導體上任意處取導體元l，則由矢量（v B）的指向可知，端點P 的電勢較高解3連接OP 使導線構成一個閉合回路由于磁場是均勻的，在任意時刻，穿過回路的磁通量.由法拉第電磁感應定律可知， 0又因 OP PO即 OP PO 2RvB由上述結果可知，在均勻磁場中，任意閉合導體回路平動所產生的動生電動勢為零；而任意曲線形導體上的動生電動勢就等于其兩端所連直線形導體上的動生電動勢上述求解方法是疊加思想的逆運用，即補償的方法8 12如圖所示，長為L 的導體棒OP，處于均勻磁場中，并繞OO軸以角速度旋轉，棒與轉軸間夾角恒為，磁感強度B 與轉軸平行求OP 棒在圖示位置處的電動勢分析如前所述，本題既可以用法拉第

5、電磁感應定律 計算（此時必須構造一個包含OP導體在內的閉合回路， 如直角三角形導體回路OPQO），也可用來計算由于對稱性，導體OP 旋轉至任何位置時產生的電動勢與圖示位置是相同的解1由上分析，得由矢量的方向可知端點P 的電勢較高解2設想導體OP 為直角三角形導體回路OPQO 中的一部分，任一時刻穿過回路的磁通量為零，則回路的總電動勢顯然，QO 0，所以由上可知，導體棒OP 旋轉時，在單位時間內切割的磁感線數與導體棒QP 等效后者是垂直切割的情況8 13如圖（）所示，金屬桿AB 以勻速平行于一長直導線移動，此導線通有電流I 40A求桿中的感應電動勢，桿的哪一端電勢較高？分析本題可用兩種方法求解（

6、1） 用公式求解，建立圖（a）所示的坐標系，所取導體元，該處的磁感強度（2） 用法拉第電磁感應定律求解，需構造一個包含桿AB 在內的閉合回路為此可設想桿AB在一個靜止的形導軌上滑動，如圖（）所示設時刻t，桿AB 距導軌下端CD的距離為y，先用公式求得穿過該回路的磁通量，再代入公式，即可求得回路的電動勢，亦即本題桿中的電動勢解1根據分析，桿中的感應電動勢為式中負號表示電動勢方向由B 指向A，故點A 電勢較高解2設順時針方向為回路ABCD 的正向，根據分析，在距直導線x 處，取寬為x、長為y 的面元S，則穿過面元的磁通量為穿過回路的磁通量為回路的電動勢為由于靜止的形導軌上電動勢為零，所以式中負號說

7、明回路電動勢方向為逆時針，對AB 導體來說，電動勢方向應由B 指向A，故點A 電勢較高8 17半徑為R 2.0 cm 的無限長直載流密繞螺線管，管內磁場可視為均勻磁場，管外磁場可近似看作零若通電電流均勻變化，使得磁感強度B 隨時間的變化率 為常量，且為正值，試求：（1） 管內外由磁場變化激發的感生電場分布；（2） 如，求距螺線管中心軸r 50 cm處感生電場的大小和方向分析變化磁場可以在空間激發感生電場，感生電場的空間分布與場源變化的磁場（包括磁場的空間分布以及磁場的變化率 等）密切相關，即.在一般情況下，求解感生電場的分布是困難的但對于本題這種特殊情況，則可以利用場的對稱性進行求解無限長直螺

8、線管內磁場具有柱對稱性，其橫截面的磁場分布如圖所示由其激發的感生電場也一定有相應的對稱性，考慮到感生電場的電場線為閉合曲線，因而本題中感生電場的電場線一定是一系列以螺線管中心軸為圓心的同心圓（若電場線是其他類型的曲線則與其對稱性特點不符），同一圓周上各點的電場強度Ek 的大小相等，方向沿圓周的切線方向圖中虛線表示r R和r R 兩個區域的電場線電場線繞向取決于磁場的變化情況，由楞次定律可知，當時，電場線繞向與B 方向滿足右螺旋關系；當 時，電場線繞向與前者相反解如圖所示，分別在r R 和r R 的兩個區域內任取一電場線為閉合回路l（半徑為r 的圓），依照右手定則，不妨設順時針方向為回路正向（1

9、） r R，r R， 由于，故電場線的繞向為逆時針（2） 由于r R，所求點在螺線管外，因此將r、R、 的數值代入，可得 ，式中負號表示Ek的方向是逆時針的8 18在半徑為R 的圓柱形空間中存在著均勻磁場，B 的方向與柱的軸線平行如圖（）所示，有一長為l 的金屬棒放在磁場中，設B 隨時間的變化率為常量試證：棒上感應電動勢的大小為分析變化磁場在其周圍激發感生電場，把導體置于感生電場中，導體中的自由電子就會在電場力的作用下移動，在棒內兩端形成正負電荷的積累，從而產生感生電動勢由于本題的感生電場分布與上題所述情況完全相同，故可利用上題結果，由 計算棒上感生電動勢此外，還可連接OP、OQ，設想PQOP

10、 構成一個閉合導體回路，用法拉第電磁感應定律求解，由于OP、OQ 沿半徑方向，與通過該處的感生電場強度Ek 處處垂直，故，OP、OQ 兩段均無電動勢，這樣，由法拉第電磁感應定律求出的閉合回路的總電動勢，就是導體棒PQ 上的電動勢證1由法拉第電磁感應定律，有證2由題 17可知，在r R 區域，感生電場強度的大小設PQ 上線元x 處，Ek的方向如圖（b）所示，則金屬桿PQ 上的電動勢為討論假如金屬棒PQ 有一段在圓外，則圓外一段導體上有無電動勢？ 該如何求解？8 23如圖所示，一面積為4.0 cm2 共50 匝的小圓形線圈A，放在半徑為20 cm 共100 匝的大圓形線圈B 的正中央，此兩線圈同心

11、且同平面設線圈A 內各點的磁感強度可看作是相同的求：（1） 兩線圈的互感；（2） 當線圈B 中電流的變化率為50 A1 時，線圈A 中感應電動勢的大小和方向分析設回路中通有電流I1 ，穿過回路的磁通量為21 ，則互感M M21 21I1 ；也可設回路通有電流I2 ，穿過回路的磁通量為12 ，則 雖然兩種途徑所得結果相同，但在很多情況下，不同途徑所涉及的計算難易程度會有很大的不同以本題為例，如設線圈B 中有電流I 通過，則在線圈A 中心處的磁感強度很易求得，由于線圈A 很小，其所在處的磁場可視為均勻的，因而穿過線圈A 的磁通量BS反之，如設線圈A 通有電流I，其周圍的磁場分布是變化的，且難以計算

12、，因而穿過線圈B 的磁通量也就很難求得，由此可見，計算互感一定要善于選擇方便的途徑解（1） 設線圈B 有電流I 通過，它在圓心處產生的磁感強度穿過小線圈A 的磁鏈近似為則兩線圈的互感為（2）互感電動勢的方向和線圈B 中的電流方向相同8 24如圖所示，兩同軸單匝線圈A、C 的半徑分別為R 和r，兩線圈相距為d若r很小，可認為線圈A 在線圈C 處所產生的磁場是均勻的求兩線圈的互感若線圈C 的匝數為N 匝，則互感又為多少？解設線圈A 中有電流I 通過，它在線圈C 所包圍的平面內各點產生的磁感強度近似為穿過線圈C 的磁通為則兩線圈的互感為若線圈C 的匝數為N 匝，則互感為上述值的N 倍8 26一個直徑

13、為0.01 m，長為0.10 m 的長直密繞螺線管，共1 000 匝線圈，總電阻為7.76 求：（1） 如把線圈接到電動勢E 2.0 V 的電池上，電流穩定后，線圈中所儲存的磁能有多少？ 磁能密度是多少？*（2） 從接通電路時算起，要使線圈儲存磁能為最大儲存磁能的一半，需經過多少時間？分析單一載流回路所具有的磁能，通常可用兩種方法計算：（1） 如回路自感為L（已知或很容易求得），則該回路通有電流I 時所儲存的磁能，通常稱為自感磁能（2） 由于載流回路可在空間激發磁場，磁能實際是儲存于磁場之中，因而載流回路所具有的能量又可看作磁場能量，即，式中 為磁場能量密度，積分遍及磁場存在的空間由于，因而采用這種方法時應首先求載流回路在空間產生的磁感強度B 的分布上述兩種方法還為我們提供了計算自感的另一種途徑，即運用 求解L解（1） 密繞長直螺線管在忽略端部效應時，其自感 ，電流穩定后，線圈中電流，則線圈中所儲存的磁能為在忽略端部效應時，該電流回路所產生的磁場可近似認為僅存在于螺線管中，并為均勻磁場，故磁能密度 處處相等，（2） 自感為L，電阻為R 的線圈接到電動勢為E 的電源上，其電流變化規律，當電流穩定后，其最大值按題意1，則，將其代入中，得8 31設有半徑R 0.20 m 的圓形平行板電容器，兩板之間為真空，板間距離d