1、等比數列【要點精講】1等比數列定義一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比；公比通常用字母表示，即：數列對于數列（1）（2）（3）都是等比數列，它們的公比依次是2，5，。（注意：“從第二項起”、“常數”、等比數列的公比和項都不為零）2等比數列通項公式為：。說明：（1）由等比數列的通項公式可以知道：當公比時該數列既是等比數列也是等差數列；（2）等比數列的通項公式知：若為等比數列，則。3等比中項如果在中間插入一個數，使成等比數列，那么叫做的等比中項（兩個符號相同的非零實數，都有兩個等比中項） G2ab，G±

2、;；4等比數列前n項和公式一般地，設等比數列的前n項和是，當時， 或；當q=1時，（錯位相減法）。說明：（1）和各已知三個可求第四個；（2）注意求和公式中是，通項公式中是不要混淆；（3）應用求和公式時，必要時應討論的情況。4等比數列的判定方法定義法：對于數列，若，則數列是等比數列；等比中項：對于數列，若，則數列是等比數列5等比數列的性質等比數列任意兩項間的關系：如果是等比數列的第項，是等差數列的第項，且，公比為，則有；對于等比數列，若，則，也就是：。若數列是等比數列，是其前n項的和，那么，成等比數列【典例解析】題型1：等比數列的概念例1“公差為0的等差數列是等比數列”；“公比為的等比數列一定是

3、遞減數列”；“a,b,c三數成等比數列的充要條件是b2=ac”；“a,b,c三數成等差數列的充要條件是2b=a+c”，以上四個命題中，正確的有（ ）A1個 B2個 C3個 D4個解析：四個命題中只有最后一個是真命題。命題1中未考慮各項都為0的等差數列不是等比數列；命題2中可知an+1=an×，an+1<an未必成立，當首項a1<0時，an<0，則an>an，即an+1>an，此時該數列為遞增數列；命題3中，若a=b=0，cR，此時有，但數列a,b,c不是等比數列，所以應是必要而不充分條件，若將條件改為b=，則成為不必要也不充分條件。點評：該題通過一些選擇

4、題的形式考察了有關等比數列的一些重要結論，為此我們要注意一些有關等差數列、等比數列的重要結論。例2命題1：若數列an的前n項和Sn=an+b(a1)，則數列an是等比數列；命題2：若數列an的前n項和Sn=an2+bn+c(a0)，則數列an是等差數列；命題3：若數列an的前n項和Sn=nan，則數列an既是等差數列，又是等比數列；上述三個命題中，真命題有（ ）A0個 B1個 C2個 D3個解析： 由命題1得，a1=a+b，當n2時，an=SnSn1=(a1)·an1。若an是等比數列，則=a，即=a，所以只有當b=1且a0時，此數列才是等比數列。由命題2得，a1=a+b+c，當n2

5、時，an=SnSn1=2na+ba，若an是等差數列，則a2a1=2a，即2ac=2a，所以只有當c=0時，數列an才是等差數列。由命題3得，a1=a1，當n2時，an=SnSn1=a1，顯然an是一個常數列，即公差為0的等差數列，因此只有當a10；即a1時數列an才又是等比數列。點評：等比數列中通項與求和公式間有很大的聯系，上述三個命題均涉及到Sn與an的關系，它們是an=，正確判斷數列an是等差數列或等比數列，都必須用上述關系式，尤其注意首項與其他各項的關系。上述三個命題都不是真命題，選擇A。例3.（全國卷文）已知為等比數列，求的通項式。解: 設等比數列an的公比為q, 則q0, a2=

6、= , a4=a3q=2q，所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3, 當q=時, a1=18.所以 an=18×()n1= = 2×33n. 當q=3時, a1= , 所以an=×3n1=2×3n3.例4（全國文） 設等比數列 an的公比q<1,前n項和為Sn.已知a3=2,S4=5S2,求an的通項公式.解：由題設知，則 由得，因為，解得或當時，代入得，通項公式；當時，代入得，通項公式題型2：等比數列的判定例5已知等比數列中，則其前3項的和的取值范圍是(D )（） （）（） （）【解1】：等比數列中 當公比為1時， ； 當公比為時， 從

7、而淘汰（）（）（）故選D；【解2】：等比數列中 當公比時，； 當公比時， 故選D；【考點】：此題重點考察等比數列前項和的意義，等比數列的通項公式，以及均值不等式的應用；【突破】：特殊數列入手淘汰；重視等比數列的通項公式，前項和，以及均值不等式的應用，特別是均值不等式使用的條件；點評：本題主要考查等比數列的概念和基本性質，推理和運算能力。例6（2009浙江文）設為數列的前項和，其中是常數（I） 求及；（II） （II）若對于任意的，成等比數列，求的值解（）當，（） 經驗，（）式成立， （）成等比數列，即，整理得：，對任意的成立， 例7、(2008陜西文)已知數列的首項，（）證明：數列是等比數列；

8、 （）數列的前項和） ， ， ，又， 數列是以為首項，為公比的等比數列（）由（）知，即，設， 則，由得 ，又數列的前項和 題型3：等比數列的通項公式及應用例8一個等比數列有三項，如果把第二項加上4，那么所得的三項就成為等差數列，如果再把這個等差數列的第三項加上32，那么所得的三項又成為等比數列，求原來的等比數列解析：設所求的等比數列為a，aq，aq2；則2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2，q=3或a=，q=5；故所求的等比數列為2，6,18或，。點評：第一種解法利用等比數列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數列、等比數列的常用方法，其優點是思路

9、簡單、實用，缺點是有時計算較繁。例9(2009山東卷文)等比數列的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函數且均為常數)的圖像上. （1）求r的值； （11）當b=2時，記 求數列的前項和解:因為對任意的,點，均在函數且均為常數)的圖像上.所以得,當時, 當時,又因為為等比數列, 所以, 公比為, 所以（2）當b=2時，, 則 相減,得所以【命題立意】:本題主要考查了等比數列的定義,通項公式,以及已知求的基本題型,并運用錯位相減法求出一等比數列與一等差數列對應項乘積所得新數列的前項和.例10（1）（2009安徽卷文）已知數列 的前n項和，數列的前n項和（）求數列與的通項公式；（）設，證明：當且僅當n3時， 【思路】由可求出，這是數列中求通項的常用方法之