1、系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)課程習(xí)題一、 選擇題：答案唯一，在（ ）內(nèi)填入正確答案的編號(hào)。1. 對(duì)于批量最小二乘格式，其最小二乘無(wú)偏估計(jì)的必要條件是（ ）。A. 輸入序列為“持續(xù)激勵(lì)”信號(hào) B. 與正交C. 為非白噪聲向量 D. 2. 對(duì)象模型為時(shí)，采用遞推最小二乘估計(jì)后的殘差序列的計(jì)算式為（ ）。A. B. C. D. 3. 在上題的條件下，遞推最小二乘算法中的增益矩陣可以寫成（ ）。A. B. C. D. 4. 可以同時(shí)得到對(duì)象參數(shù)和干擾噪聲模型參數(shù)的估計(jì)算法是（ ）。A. 輔助變量法 B. 廣義最小二乘法C. 最小二乘限定記憶法 D. 相關(guān)最小二乘兩步法5. 增廣最小二乘估計(jì)的關(guān)鍵是（ ）。A.

2、將控制項(xiàng)增廣進(jìn)中，并用殘差項(xiàng)取代進(jìn)行估計(jì)B. 將輸出項(xiàng)增廣進(jìn)中，并用殘差項(xiàng)取代進(jìn)行估計(jì)C. 將噪聲項(xiàng)增廣進(jìn)中，并用殘差項(xiàng)取代進(jìn)行估計(jì)D. 將噪聲項(xiàng)增廣進(jìn)中，并用輸出項(xiàng)取代進(jìn)行估計(jì)答案：1. B 2. C 3. D 4. B 5. C 二、 判斷題：以表示正確或×表示錯(cuò)誤。1估計(jì)殘差平方和最小是確定辨識(shí)過程對(duì)象結(jié)構(gòu)的唯一標(biāo)準(zhǔn)。（ ）2最小二乘估計(jì)的批量算法和遞推算法在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。（ ）3廣義最小二乘法就是輔助變量法和增廣最小二乘法交替試用。（ ）4在遞推最小二乘算法中，若置，則該算法也能克服“數(shù)據(jù)飽和”現(xiàn)象，進(jìn)而可適用于時(shí)變系統(tǒng)。（ ）5用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)SISO非線性系統(tǒng)辨識(shí)，采用的是

3、輸入層和輸出層均為一個(gè)神經(jīng)元的三層前饋神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。（ ）答案：1. × 2. 3. × 4. 5. × 三、 設(shè)和之間滿足關(guān)系，試圖利用和的觀測(cè)值來估計(jì)參數(shù)，請(qǐng)將該模型化成最小二乘格式。答案：其中， 四、 對(duì)于多輸入單輸出（MISO）系統(tǒng)可由下面的模型描述其中，為系統(tǒng)的m×1維輸入向量；為系統(tǒng)的標(biāo)量輸出；為標(biāo)量隨機(jī)噪聲；為延遲算子，即；為標(biāo)量參數(shù)多項(xiàng)式，為1×m的參數(shù)多項(xiàng)式向量：請(qǐng)寫出：最小二乘遞推算法公式和計(jì)算步驟或流程。答案：根據(jù)題意，可寫出最小二乘格式為：其中，因此，采用批量最小二乘法估計(jì)時(shí)，設(shè)采集數(shù)據(jù)時(shí)刻為k=1,2,L，則有批量最

4、小二乘格式為：其中，從而，批量最小二乘估計(jì)公式為：遞推最小二乘估計(jì)公式為：，初始估計(jì)：，是一個(gè)充分大的正數(shù)。 計(jì)算流程為：（0） 給定；（1） 量測(cè)，組成；（2） 計(jì)算；（3） 計(jì)算；（4） 輸出估計(jì)結(jié)果，并由誤差限或數(shù)據(jù)長(zhǎng)度L來確定是否停止估計(jì)。若條件滿足，則停止估計(jì)；否則，繼續(xù)進(jìn)行。（5） 計(jì)算；（6） ，返回到（1）。 五、 對(duì)于SISO系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型其中，和分別為系統(tǒng)的輸入輸出量，為干擾噪聲，和為參數(shù)多項(xiàng)式：且，為延遲算子，即。1 對(duì)于量測(cè)、，寫出估計(jì)系統(tǒng)參數(shù)的最小二乘批量算法詳細(xì)公式。2 給出最小二乘法無(wú)偏估計(jì)的條件并加以證明。3 簡(jiǎn)述辨識(shí)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟。答案：1由題意可

5、知，采用L次測(cè)量的批量最小二乘格式可寫為：其中，因此，最小二乘批量算法公式為： 2證明：當(dāng)和不相關(guān)時(shí)，上式第二項(xiàng)為零，最小二乘估計(jì)為無(wú)偏估計(jì)，為零均值獨(dú)立隨機(jī)序列時(shí)，此條件自然滿足。此時(shí)，。 3辨識(shí)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟為：Step1: 確定建模目的，并由工藝和物理/化學(xué)過程初步確定模型形式和結(jié)構(gòu)；Step2: 試驗(yàn)設(shè)計(jì)：包括試驗(yàn)信號(hào)設(shè)計(jì)、采樣周期選擇、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度選定、試驗(yàn)方式（離線/在線）等；Step3: 實(shí)際系統(tǒng)試驗(yàn)，采集輸入輸出數(shù)據(jù)，并進(jìn)行數(shù)據(jù)的預(yù)處理；Step4: 模型結(jié)構(gòu)假設(shè)，選定階次范圍；Step5: 選供適用算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，得到一組數(shù)學(xué)模型；Step6: 模型結(jié)構(gòu)的確定，

6、得到一個(gè)數(shù)學(xué)模型；Step7: 模型檢驗(yàn)；根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果，可能要從Step2到Step6中的任何一步重新做起。Step8: 若模型檢驗(yàn)合格，則得到最終模型。 六、 某系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型為，假設(shè)：系統(tǒng)是穩(wěn)定的，且和都為零均值廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列。采用輔助變量法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，進(jìn)行L次量測(cè)，且L充分大,試證明：是一個(gè)合適的輔助變量矩陣。答案：證明：輔助變量法的計(jì)算公式為根據(jù)題義有因vk、uk和yk均為是零均值廣義平穩(wěn)噪聲序列，所以，式中，又相關(guān)函數(shù)可得由此可知，ZN矩陣是一個(gè)合適的輔助變量矩陣。 七、 在遞推最小二乘估計(jì)中，新息的表達(dá)式為。1. 請(qǐng)寫出殘差的表達(dá)式2. 證明：答案：1. 2. 證明： 八、 請(qǐng)

7、證明：在遞推最小二乘估計(jì)中。證明：在遞推最小二乘估計(jì)中， 九、 考慮一個(gè)SISO閉環(huán)系統(tǒng)如圖所示，其中和分別為前向通道過程輸入和輸出量，為白噪聲擾動(dòng)序列，過程參數(shù)多項(xiàng)式、和已知的調(diào)節(jié)器參數(shù)多項(xiàng)式、分別表示為： 試證明：過程參數(shù)多項(xiàng)式可辨識(shí)的條件是使調(diào)節(jié)器參數(shù)多項(xiàng)式的階次滿足+ -+ +過程 或 答案：證明：由題義可知過程對(duì)象的數(shù)學(xué)模型為由wk到y(tǒng) k的閉環(huán)系統(tǒng)方程為令 （8-1）顯然有，則閉環(huán)系統(tǒng)方程可以寫為亦可進(jìn)一步寫成最小二乘格式 其中，采用相應(yīng)的最小二乘類型參數(shù)估計(jì)算法，可以估計(jì)得到。應(yīng)估計(jì)的主要的過程參數(shù)多項(xiàng)式、的參數(shù)個(gè)數(shù)為，需要根據(jù)已知的調(diào)節(jié)器參數(shù)多項(xiàng)式、，用估計(jì)得到的，從方程（3-1）中解出。方程（3-1）兩邊同次冪系數(shù)比較即可得到線性方程組，從而解出過程參數(shù)的估計(jì)值和，有唯一解的必要條件為：其等價(jià)條件為或，命題得證。 十、 考慮一個(gè)SISO閉環(huán)系統(tǒng)如圖所示,其中和分別為前向通道被控對(duì)象的輸入和輸出量，為白噪聲擾動(dòng)序列。試討論以下兩種情況的被控對(duì)象模型參數(shù)的可辨識(shí)性和辨識(shí)結(jié)果。1控制器為：2控制器為：+ +控制器被控對(duì)象答案：被控對(duì)象的結(jié)構(gòu)參數(shù)：1時(shí)， ，該閉環(huán)系統(tǒng)可以辨識(shí)。閉環(huán)系統(tǒng)方程為：其中，根據(jù)題意，采用增廣最小二乘法對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，可得：從而可以解出前向通道被控系統(tǒng)參數(shù)的估計(jì)值為：2. 由于是兩個(gè)不同的控制器切換，故存在閉環(huán)系統(tǒng)可辨識(shí)性。（