1、線性代數（A卷） 一選擇題(每小題3分,共15分)1. 設是任意階方陣,那么下列等式必成立的是( ) (A) (B) (C) (D)2. 如果元齊次線性方程組有基礎解系并且基礎解系含有個解向量,那么矩陣的秩為( ) (A) (B) (C) (D) 以上答案都不正確3.如果三階方陣的特征值為,那么及分別等于( ) (A) (B) (C) (D) 4. 設實二次型的矩陣為,那么( ) (A) (B) (C) (D) 5. 若方陣A的行列式，則( ) (A) A的行向量組和列向量組均線性相關 (B)A的行向量組線性相關,列向量組線性無關 (C) A的行向量組和列向量組均線性無關 (D)A的列向量組線

2、性相關,行向量組線性無關二填空題(每小題3分,共30分)1 如果行列式有兩列的元對應成比例,那么該行列式等于 ；2. 設，是的伴隨矩陣，則 ；3. 設,是非齊次線性方程組的解,若也是它的解, 那么 ；4. 設向量與向量正交,則 ；5. 設為正交矩陣,則 ；6. 設是互不相同的三個數,則行列式 ；7. 要使向量組線性相關，則 ；8. 三階可逆矩陣的特征值分別為,那么的特征值分別為 ；9. 若二次型是正定的，則的取值范圍為 ；10. 設為階方陣,且滿足,這里為階單位矩陣,那么 .三計算題（每小題9分，共27分）1. 已知，求矩陣使之滿足.2. 求行列式的值.3 求向量組的一個最大無關組和秩.四(1

3、0分)設有齊次線性方程組問當取何值時, 上述方程組(1)有唯一的零解(2)有無窮多個解,并求出這些解. 五(12分)求一個正交變換,把下列二次型化成標準形:. 六(6分)已知平面上三條不同直線的方程分別為試證：這三條直線交于一點的充分必要條件為.線性代數（A卷）答案一1. D 2. C 3. B 4. A 5. A二1. 0 2. 3. 1 4. 3 5. 1或-16. 7. 0 8. 9. 10. 三1. 解 由得. (2分)下面求. 由于 (4分)而 . (7分)所以. (9分)2. 解 (4分) (8分) (9分) .3. 解 由于 (6分)故向量組的秩是 3 ，是它的一個最大無關組。(

4、9分)四解 方程組的系數行列式 (2分)當,即且時,方程組有唯一的零解; (4分)當時, ,方程組的系數矩陣為,它有一個二階子式,因此秩()(這里),故方程組有無窮多個解.對施行初等行變換,可得到方程組的一般解為 其中可取任意數; (7分)當時, ,方程組的系數矩陣為,顯然,秩()(這里),所以方程組也有無窮多個解.對施行初等行變換可得方程組的一般解為 其中可取任意數. (10分)五 解 二次型的矩陣為, (2分)因為特征多項式為,所以特征值是(二重)和. (4分)把特征值代入齊次線性方程組得解此方程組可得矩陣的對應于特征值的特征向量為. 利用施密特正交化方法將正交化:, ,再將單位化得 , (8分)把特征值代入齊次線性方程組得解此方程組可得矩陣的對應于特征值的特征向量為.再將單位化得. (10分)令則是一個正交矩陣,且滿足.所以,正交變換為所求,它把二次型化成標準形. (12分)六