1、 1.掌握直線與平面垂掌握直線與平面垂直的定義直的定義 2.掌握直線與平面垂直掌握直線與平面垂直的判定定理的判定定理 3理解直線與平面所成的角的概念理解直線與平面所成的角的概念，并能解決簡單的線面角問并能解決簡單的線面角問題題 第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系 1直線與平面垂直直線與平面垂直 (1)直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義 如果直線如果直線 l 與平面與平面 內的內的_都垂直都垂直，就說直線，就說直線 l 與與平面平面 互相垂直互相垂直，記作記作_ 第二章點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系(2)直線與平面垂直的判定

2、定理直線與平面垂直的判定定理 文字語言文字語言 圖形語言圖形語言 符號語言符號語言 一條直線與一個平一條直線與一個平面內的面內的_都垂都垂直直，則該直線與此平則該直線與此平面垂面垂直直 lalbababPl 任意一條直線任意一條直線l2.直線與平面所成的角直線與平面所成的角 (1)如圖如圖，一直線一直線 PA 和一個平面和一個平面 相交相交，但不和這個平面垂直但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個這條直線叫做這個平面的平面的_，斜線和平面的交點斜線和平面的交點 A 叫做叫做_ 過斜線上斜足以外的一點向平面引 過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線垂線 PO， 過垂足過垂足 O 和斜足和斜足 A 的直

3、線的直線 AO 叫做斜線在這個平面上叫做斜線在這個平面上的的_ 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的_， 叫叫做這條直線和這個平面所成的角做這條直線和這個平面所成的角 (2)一條直線垂直于平面一條直線垂直于平面，稱它們所成的角是直角；一條直線在稱它們所成的角是直角；一條直線在平面內或一條直線和平面平行平面內或一條直線和平面平行，稱它們所成的角是稱它們所成的角是 0的角的角 兩條相交直線兩條相交直線 1 判一判判一判(正確的打正確的打“”“”， ，錯誤的打錯誤的打“”“”) (1)如果一條如果一條直線與一個平面內無數條直線都垂直，那么這條直直線與一個平面

4、內無數條直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直線與這個平面垂直( ) (2)如果一條直線與一個平面內所有直線都垂直如果一條直線與一個平面內所有直線都垂直， ，那么這條直線那么這條直線與這個平面垂直與這個平面垂直( ) 斜線斜線斜足斜足射影射影銳角銳角答案：答案：(1) (2) 2已知直線已知直線 a直線直線 b，b平面平面 ，則則( ) Aa Ba Ca Da 是是 的斜線的斜線 答案：答案：C 3如圖如圖，ADB 和和ADC 都是以都是以 D 為直角頂點的直角三角形為直角頂點的直角三角形，且且 ADBDCD， BAC60， 則直線則直線 AD平面平面_； 直； 直線線 BD平面平面_；直線；

5、直線 CD平面平面_ 答案：答案：BCD ADC ADB 探究點一探究點一 直線與平直線與平面垂直的定義面垂直的定義 下列命題中下列命題中，正確的序號是正確的序號是_ 若直線若直線 l 與平面與平面 內的一條直線垂直內的一條直線垂直， 則則 l； 若直線若直線 l 不不垂直于平面垂直于平面 ，則則 內沒有與內沒有與 l 垂直的直線；垂直的直線；若直線若直線 l 不垂直不垂直于平面于平面 ， 則則 內也可以有無數條直線與內也可以有無數條直線與 l 垂直；垂直； 若平面若平面 內內有一條直線與直線有一條直線與直線 l 不垂直不垂直，則直線則直線 l 與平面與平面 不垂直不垂直 解析解析 當當 l

6、與與 內的內的一條直線垂直時一條直線垂直時，不能保證，不能保證 l 與平面與平面 垂垂直直，所以所以不正確；當不正確；當 l 與與 不垂直時不垂直時，l 可能與可能與 內的無數條內的無數條平行直線垂直平行直線垂直，所以所以不正確不正確，正確根據線面垂直的定義正確根據線面垂直的定義，若若 l，則則 l 與與 內的所有直線都垂直內的所有直線都垂直，所以所以正確正確 答案答案 (1)直線和平面垂直的定義是描述性定義直線和平面垂直的定義是描述性定義，對直線的任意性要注對直線的任意性要注意理解實際上意理解實際上，“任何一條任何一條”與與“所有所有”表達相同的含義當表達相同的含義當直線與平面垂直時直線與平

7、面垂直時， 該直線就垂直于這個平面內的任何直線 由該直線就垂直于這個平面內的任何直線 由此可知此可知， 如果一條直線與一個平面內的一條直線不垂直如果一條直線與一個平面內的一條直線不垂直， 那么這那么這條直線就一定不與這個平面垂直條直線就一定不與這個平面垂直 (2)由定義可得線面垂直由定義可得線面垂直線線垂直線線垂直， 即若即若 a， b， 則則 ab. 1.以下命題正確的是以下命題正確的是( ) aa； aabb； aabb. A B C D 解析：解析：選 選A. 由線面垂直的判由線面垂直的判定定理可知結論正確；定定理可知結論正確； 中 中b， ， 的關系可以線面平行或直線在平面內；的關系可

8、以線面平行或直線在平面內； 中直線可以與平面平中直線可以與平面平行 行， ，相交或直線在平面內相交或直線在平面內 探究點二探究點二 直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定 如圖如圖，AB 為為O 的直徑的直徑，PA 垂直于垂直于O 所在的平面所在的平面，M 為圓周上任意一點為圓周上任意一點，ANPM，N 為為垂足垂足 (1)求證：求證：AN平面平面 PBM； (2)若若 AQPB，垂足為垂足為 Q，求證：求證：NQPB. 證明證明 (1)因為因為 AB 為為O 的直徑的直徑， 所以所以 AMBM.又又 PA平面平面 ABM，所以所以 PABM. 又因為又因為 PAAMA，所以所以 BM平面平

9、面 PAM. 又又 AN平面平面 PAM，所以所以 BMAN. 又又 ANPM，且且 BMPMM，所以所以 AN平面平面 PBM. (2)由由(1)知知 AN平面平面 PBM， PB平面平面 PBM，所以所以 ANPB. 又因為又因為 AQPB，ANAQA， 所所以以 PB平面平面 ANQ. 又又 NQ平面平面 ANQ，所以所以 PBNQ. 在本例中若條件不變在本例中若條件不變， ，在四面體在四面體PAMB的四個面的四個面中共有多少個直角三角形中共有多少個直角三角形 解解：由例：由例(1)的證明過程知的證明過程知， BM平面平面 PAM，又又 PM平面平面 PAM，所以所以 BMPM. 所以所

10、以PAMPABAMBBMP90. 所以四個面都是直角三角形所以四個面都是直角三角形 證明線面垂直的方法證明線面垂直的方法 (1)線線垂直證明線面垂直線線垂直證明線面垂直 定義法定義法(不常用不常用，但由線面垂直可得出線線垂直但由線面垂直可得出線線垂直)； 判定定理法：要著力尋找平面內哪兩條相交直線判定定理法：要著力尋找平面內哪兩條相交直線(有時作輔助有時作輔助線線)；結合平面圖形的性質；結合平面圖形的性質(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等中線等)及一條直線與平行線中一條垂直也與另一條垂直等結論及一條直線與平行線中一條垂直也與另一條垂直等結論來論證線線垂直來

11、論證線線垂直 (2)平行轉化法平行轉化法(利用推論利用推論) ab，ab； ，aa. 2. 如圖所示如圖所示， 在三棱柱在三棱柱ABCA1B1C1中中， 側棱側棱 AA1底面底面 ABC，ABAC1，AA12，B1A1C190，D 為為 BB1的中點求證：的中點求證：AD平面平面A1DC1. 證明：證明：因為因為 AA1底面底面 ABC， 平面平面 A1B1C1平面平面 ABC， 所以所以 AA1平面平面 A1B1C1，顯然顯然 A1C1平面平面 A1B1C1， 所以所以 A1C1AA1. 又又B1A1C190，所以所以 A1C1A1B1而而 A1B1AA1A1， 所以所以 A1C1平面平面

12、AA1B1B，AD平面平面 AA1B1B， 所以所以 A1C1AD.由已知計算得由已知計算得 AD 2，A1D 2，AA12. 所以所以 AD2A1D2AA21，所以所以 A1DAD. 因為因為 A1C1A1DA1，所以所以 AD平面平面 A1DC1. 探究點三探究點三 求解直線與平面所成的角求解直線與平面所成的角 在正方體在正方體 ABCDA1B1C1D1中中，E 是棱是棱 DD1的中點的中點，求求直線直線 BE 與平面與平面 ABB1A1所成的角的正弦值所成的角的正弦值 解解 取取 AA1的中點的中點 M，連接連接 EM，BM. 因為因為 E 是是 DD1的中點的中點， 四邊形四邊形 AD

13、D1A1為正方形為正方形， 所以所以 EMAD. 又在正方體又在正方體 ABCDA1B1C1D1中中， AD平面平面 ABB1A1， 所以所以 EM平面平面 ABB1A1， 從而從而 BM 為直線為直線 BE 在平面在平面 ABB1A1上的射影上的射影，EBM 即為直即為直線線 BE 與平面與平面 ABB1A1所成的角所成的角 設正方體的棱長為設正方體的棱長為 2， 則則 EMAD2，BE2222123. 于是在于是在 RtBEM 中中，sinEBMEMBE23， 即直線即直線 BE 與平面與平面 ABB1A1所成的角的正弦值為所成的角的正弦值為23. 求直線與平面所成的角的方法求直線與平面所

14、成的角的方法 (1)作圖：作圖：作作(或找或找)出斜線在平面上的射影出斜線在平面上的射影，將空間角轉化為平面將空間角轉化為平面角角， 作射影要過斜線上一點作平面的垂線作射影要過斜線上一點作平面的垂線， 再過垂足和斜足作直再過垂足和斜足作直線線， 注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關，才能便于計算才能便于計算 (2)定角：定角：證明某平面角就是斜線與平面所成的角證明某平面角就是斜線與平面所成的角 (3)計算計算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算算 3. 如圖所示如圖

15、所示，RtBMC 中中，斜邊斜邊 BM5，它在它在平面平面 ABC 上的射影上的射影 AB 的長為的長為 4，MBC60，求求 MC 與平與平面面 CAB 所成的角的正弦值所成的角的正弦值 解：解：由題意知由題意知，A 是是 M 在平面在平面 ABC 內的射影內的射影，所以所以 MA平面平面ABC， 所以所以 MC 在平面在平面 CAB 內的射影為內的射影為 AC. 所以所以MCA 即為直線即為直線 MC 與平面與平面 CAB 所成的角所成的角 又因為在又因為在 RtMBC 中中，BM5，MBC60， 所以所以 MCBMsinMBC5sin 60532532. 在在 RtMAB 中中，MAMB

16、2AB252423. 在在 RtMAC 中中，sinMCAMAMC3532235. 即即 MC 與平面與平面 CAB 所成的角的正弦值為所成的角的正弦值為235. 1直線與平面垂直定義的理解直線與平面垂直定義的理解 (1)定義中的定義中的“任意一條直線任意一條直線”這一詞語這一詞語，它與它與“所有直線所有直線”是是同義語同義語，定定義是說這條直線和平面內所有直線垂直義是說這條直線和平面內所有直線垂直 (2)直線和平面垂直是直線和平面相交的一種特殊形式直線和平面垂直是直線和平面相交的一種特殊形式 (3)直線和平面垂直直線和平面垂直，則直線和平面內的任何一條直線都垂直則直線和平面內的任何一條直線都

17、垂直，即如果即如果 a，b，則則 ab，簡述之簡述之，即即“線面垂直線面垂直，則線線則線線垂直垂直”， 這是今后判定兩條直線垂直時這是今后判定兩條直線垂直時， 經常使用的一種重要方經常使用的一種重要方法法 (4)直線與平面垂直的圖形語言表示及符號語言表述直線與平面垂直的圖形語言表示及符號語言表述，畫直線和畫直線和水平平面垂直時水平平面垂直時， 要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的橫邊要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的橫邊垂直垂直，如圖所示直線與平面垂直的符號語言表述是如圖所示直線與平面垂直的符號語言表述是 l. 2對直線與平面垂直的判定定理的理解對直線與平面垂直的判定定理的理解 (1)突出關鍵詞突出關鍵詞“兩條相交直兩條相交直線線”一定不可忽視一定不可忽視，否則將導致結否則將導致結論錯誤論錯誤 如圖如圖，直線直線 la，lb，a，b，ab，而而 l，即即 l 不垂不垂直于直于 . (2)本定理體現了轉化思想本定理體現了轉化思想，即線線垂直即線線垂直