1、四川理工學院畢業設計（論文） 二級倒立擺系統建模與仿真學 生：學 號：專 業：自動化班 級：自動化指導教師： 四川理工學院自動化與電子信息學院二O一一年六月摘 要常規的PID控制從理論上可以控制二級倒立擺，但在實際中對PID控制器參數的整定為一難點。本文針對二級倒立擺系統單輸入三輸出的不穩定系統，通過三回路PID控制方案，來完成對倒立擺的控制。利用狀態反饋極點配置的方法來對參數進行整定，解決PID參數整定的難點。然后借助于MATLAB中的Simulink模塊對所得的參數進行仿真，結果表明三回路PID控制是成功的，參數的有效性，也證實了這種參數整定方法簡單實用。并通過配置不同位置的極點，對其結果

2、進行分析得到極點配置的最佳配置方案。關鍵詞：倒立擺；PID；狀態反饋； MATLAB ABSTRACTDouble Inverted Pendulum System Modeling and SimulationConventional PID control theory to control the inverted pendulum, but in practice the parameters of PID controller tuning is a difficult. In this paper, double inverted pendulum system, the inst

3、ability of single-input three-output system, through the three-loop PID control program to complete the inverted pendulum control.Pole placement using state feedback approach to setting the parameters to resolve the difficulties PID parameter tuning. With MATLAB and Simulink in the module parameters

4、 obtained from simulation results show that the three-loop PID control is successful, the effectiveness of the parameters, but also confirms this tuning method is simple and practical.Different locations through the pole configuration, the results were too extreme configuration of the best configura

5、tion.朗讀顯示對應的拉丁字符的拼音Key words: pendulum；PID control ；state feedback；MATLAB目錄摘 要IABSTRACTII第1章 引 言11.1 倒立擺研究的目的及意義11.2 倒立擺的發展史和研究現狀21.3本文的主要工作4第2章 倒立擺的建模52.1 二級倒立擺的簡介及物理模型52.2 二級倒立擺計算機控制系統結構52.3 二級倒立擺的數學模型62.4根據牛頓力學、剛體動力學列寫二級倒立擺的數學模型7第3章 控制策略的選擇123.1 MATLAB簡介123.2該系統的能控、能觀及穩定性的分析15系統的能控性15系統能觀性17系統的穩定

6、性173.3 確定控制策略183.4 控制器參數整定方法183.5 通過狀態反饋極點配置法來整定參數20第4章 計算機仿真及結果分析234.1 Matlab下Simulink模塊簡介234.2 在Simulink下的仿真244.3對仿真結果的分析31第5章 結束語33致 謝34參考文獻35第1章 引 言1.1 倒立擺研究的目的及意義在控制理論發展的過程中, 一種理論的正確性及在實際應用中的可行性，往往需要一個典型對象來驗證, 并比較各種控制理論之間的優劣, 倒立擺系統就是這樣的一個可以將理論應用于實際的理想實驗平臺。倒立擺的典型性在于: 作為實驗裝置, 它本身具有成本低廉、結構簡單、便于模擬、

7、形象直觀的特點。 作為被控對象, 它是一個高階次、不穩定、多變量、非線性、強耦合的復雜被控系統, 可以有效地反映出控制中的許多問題。作為檢測模型, 該系統的特點與機器人、飛行器、起重機穩鉤裝置等的控制有很大的相似性。也是日常生活中所見到的任何重心在上、支點在下的控制問題的抽象。根據倒立擺系統的類型分，有以下下幾類：平面擺、平行式倒立擺、柔性擺、球平衡式倒擺和懸掛式倒立擺系統；根據倒立擺的運動軌道可以分為水平式和傾斜式的兩種；根據倒立擺的級數可以分為：一級倒立擺、二級倒立擺、三級倒立擺和多級倒立擺。日常生活中，有很多控制問題和倒立擺有很大的相似性，如衛星發射架的穩定控制、火箭姿態控制、飛機安全著

8、陸、機器人雙足行走機構、海上鉆井平臺的穩定控制等等諸多重心在上，支點在下的控制問題；對現代控制理論教學來說，倒立擺模型也是一個相當理想的實驗模型，因為倒立擺原理清晰、結構簡單，也易于實現，而且有現成的、成熟的產品可以直接作為控制領域研究的被控對象，其作為典型的多輸入系統，可用來研究諸如系統建模、系統辨識、現代控制理論、快速控制理論等控制理論中許多方面的問題；在現代控制理論研究中，由于倒立擺的高階次、非線性、快速、多變量、強藕合、不穩定特性，現代控制理論研究人員一直用它來描述非線性控制領域中的無源性控制、變結構控制、非線性模型降階、自由行走、非線性觀測器等控制思想和對線性控制領域中不穩定系統的穩

9、定性研究，不斷從中發掘出新的控制方法和控制理論，對應的研究成果也在機器人和航空航天等方面得到了廣泛的應用。因此，倒立擺機理的研究又具有重要的應用價值，成為控制理論中經久不衰的研究課題。因而對倒立擺的研究具有重要的工程背景和實際意義。1.2 倒立擺的發展史和研究現狀早在 20世紀 60年代, 人們就開始了對倒立擺系統的研究。1966年 Schaefer和 Cannon應用 Bang2 Bang控制理論, 將一個曲軸穩定于倒置位置。自從倒立擺系統成為自動控制領域控制實驗室的實驗和教學工具以來，人們對倒立擺控制的研究既有理論研究又有實驗研究。通過計算機仿真的方法對控制理論和控制方法的進行可行性研究；

10、實驗研究主要是解決仿真結果和實時控制之間性能差異的物理不確定性。在 1972 年，Stugne 等人采用全維狀態觀測器來重構了狀態，并使用線性控制模擬電路實現了二級倒立擺的控制，倒立擺的線性狀態反饋采用極點配置的方法獲得。1978 年，K. furutat 等人成功地應用降維觀測器重構了倒立擺系統的狀態，使用計算機處理實現了對三級倒立擺的控制。1984 年，K.furutat 等人又實現了三級倒立擺的穩定控制。1986 年，Chung 等人對一級倒立擺系統進行了系統辨識，并設計了 PD 反饋控制器和自適應自整定反饋控制器實現了對倒立擺的穩定控制1。1989 年，Anderson 等人運用函數最

11、小化和 LyaPunov 穩定方法成功產生了一個優化反饋控制器。1994 年，sinha等人，利用 LyapunovFloquet 變換得到了三級倒立擺系統的計算機仿真模型2。1995 年，任章等人在一種鎮定倒立擺系統的新方法中應用振蕩控制理論，在倒立擺支撐點的豎直方向上加入一個零均值的高頻振蕩信號，改善了倒立擺系統的穩定性。1996 和 1997 年，翁正新等人利用帶觀測器的 Hao 狀態反饋控制器對二級倒立擺系統在水平和傾斜導軌上進行了仿真控制。1998年，蔣國飛等人將 BP 神經網絡和 Q 學習算法有效結合，實現了倒立擺的無模型學習控制。2001 年，單波等人使用基于神經網絡的預測控制算

12、法對倒立擺進行了控制仿真。2000 年，劉妹琴等人用進化 RBF 神經網絡控制二級倒立擺。2001 年，李洪興在變論域自適應模糊控制學術報告中使用變論域自適應模糊控制的思想在國際上首次實現了四軸倒立擺的仿真。同年張葛祥等人建立了三級倒立擺的數學模型，并分析了系統的可控制性和可觀測性，給出了智能控制算法的思路。對單級倒立擺系統的實驗最早出現在 Roberge 的論文中。l976 年 Mori等人設計了一個組合控制器，實現了倒立擺的自動起擺和倒立擺起擺后的穩定控制3。1995 年 wei 等人利用 bang-bang 非線性控制器也實現了倒立擺的自動起擺和倒立擺起擺后的穩定控制。1996 年，張乃

13、堯等人使用雙閉環模糊控制實現了對倒立擺的穩定控制。1995 年，程福雁等人利用參變量模糊控制實現了對二級倒立擺實時穩定控制。1999 年張飛舟等人采用擬人智能控制，實現了一、二、三級倒立擺的穩定控制。1999 年，李德毅等人利用云控制方法成功實現了一、二、三級倒立擺的多種不同平衡姿態的控制。1999 年，李巖等人運用基于 PD 控制的專家智能控制對二級倒立擺進行實時控制，取得了很好的效果6。2000 年，楊亞煒等人利用擬人智能控制成功實現了在傾斜導軌上三級倒立擺的穩定控制，并可以控制三級倒立擺沿水平或傾斜導軌自由行走。1995 年，張明廉等人應用擬人智能控制方法實現三級倒立擺的穩定控制。200

14、2 年北京師范大學李洪興教授采用變論域自適應模糊控制方法在國際上首次成功實現了四級倒立擺實物控制系統。目前，人們對倒立擺的研究越來越多，倒立擺的類型也由簡單的單級倒立擺發展為多種多樣的形式，出現了柔性擺、球擺、旋轉式倒立擺、傾斜軌道式倒立擺等。目前，對倒立擺的控制方法主要有以下幾種：（1）狀態反饋控制7?；诘沽[的動力學模型，使用狀態空間理論推導出狀態方程和輸出方程，應用狀態反饋，實現對倒立擺的控制。常見的利用狀態反饋的方法有：1)線性二次型最優控制；2)極點配置9；3) 狀態反饋H 控制19；4)魯棒控制。（2）PID 控制?；诘沽[的動力學模型，使用狀態空間理論推導出其非線性模型，再在

15、平衡點處進行線性化得到倒立擺系統的狀態方程和輸出方程，根據倒立擺系統的狀態方程和輸出方程設計出 PID 控制器，實現對倒立擺的控制。（3）云模型控制10。云模型是一種擬人控制，用云模型構成語言值，用語言值構成規則，形成一種定性的推理機制。這種控制不需要系統數學模型，而是根據人的經驗、邏輯判斷和感受，通過語言原子和云模型轉換到語言控制規則器中，解決非線性問題和不確定性問題。（4）自適應控制。許多控制系統多為靜態控制，自適應控制隨著環境的變化而變化，屬于一種動態控制系統，從而提高控制精度。（5）非線性控制11。實際系統多被進行線性化處理，非線性系統更能準確反映實際系統，對提高系統控制精度具有更大意

16、義。（6）神經網絡控制12。神經網絡能夠學習與適應嚴重不確定性系統的動態特性，任意充分地逼近復雜的非線性關系，所有定量或定性的信息都等勢分布貯存于網絡內的各種神經元，故有很強的魯棒性和容錯性；也可將 Q學習算法和 BP 神經網絡有效結合，實現狀態未離散化的倒立擺的無模型學習控制。（7）采用遺傳算法與神經網絡相結合的方法13?；诘沽[數學模型設計出神經網絡控制器，再利用改進的遺傳算法訓練神經網絡的權值，從而實現對倒立擺的控制。（8）模糊控制14。主要是確定模糊規則設計出模糊控制器，實現對倒立擺的控制。1.3本文的主要工作本文針對二級倒立擺系統的單輸入三輸出的不穩定系統，采用三回路PD控制方案。

17、并且利用MATLAB軟件來判斷系統的穩定性、能觀、能控，并進行仿真。重點利用狀態反饋系統的極點配置來整定PD控制器參數的思路15，可以通過對控制器的設置來確定小車穩定時的位置，并通過多組極點的配置來相比較得出控制效果較好的參數。第2章 倒立擺的建模2.1 二級倒立擺的簡介及物理模型二級倒立擺系統主要由如圖1所示的機電裝置和控制裝置兩部分組成。機電裝置由上下兩擺桿和小車組成。此系統為一個不穩定的系統，控制目的使雙擺直立而不倒，主要有3個參考量即上下兩擺桿的角度要保持小幾乎為0，小車要位于滑竿中間。在實際操作中，小車由電機通過同步帶驅動在滑桿上來回運動，保持擺桿平衡。電機編碼器和角編碼器向運動卡反

18、饋小車和擺桿位置（線位移和角位移）。 圖2-1 二級倒立擺實物圖2.2 二級倒立擺計算機控制系統結構如圖2-2 二級倒立擺的結構簡圖.它是由機械部分、 電氣部分和計算機控制 3大部件組成.機械部分包括:軌道、 傳動皮帶和皮帶輪、 倒立擺本體 (包括小車 ,上、 下擺 ,以及一些軸連接部件 )等.電氣部分主要由伺服驅動器、 伺服電機、 直流功率放大器、 光電碼盤 ,以及保護電路等幾部分組成. 計算機控制部分由 A /D, D /A,運動控制卡和 PC計算機組成. 這幾個部分組成一個閉環系統。計算機運動控制卡伺服驅動器伺服電機光電碼盤1光電碼盤2光電碼盤3擺桿1擺桿2 圖2-2為直線二級倒立擺計算

19、機控制系統結構示意圖 2-2中的光電碼盤 1由伺服電機自帶 ,可以通過該碼盤的反饋換算出小車的位移、 速度信號 ,并反饋給伺服驅動器和運動控制卡;通過光電碼盤 2和光電碼盤 3的反饋 ,可以分別換算出擺桿1和擺桿 2的角度、 角速度信號 ,并反饋給運動控制卡;計算機從運動控制卡中讀取實時數據 ,確定控制決策 (小車向哪個方向移動、 移動的速度、 加速度等 ) ,并由運動控制卡來實現該控制決策 ,產生相應的控制量 ,使電機轉動 ,帶動小車運動 ,保持擺桿 1和擺桿 2的平衡.2.3 二級倒立擺的數學模型二級倒立擺數學模型的建立基于以下假設：1）上下兩擺桿都是剛體。2)在實驗過程中同步帶長度保持不

20、變。3)實驗過程中的庫侖摩擦、動摩擦等所有摩擦力足夠小,在建模過程中可忽略不計。二級倒立擺的模型如圖2-3，圖中接觸小車的為擺桿1，其偏角為，擺桿2的偏角為，電機對小車的力為F。bFa 圖2-3 二級倒立擺結構簡圖 2.4根據牛頓力學、剛體動力學列寫二級倒立擺的數學模型 由運動合成原理：絕對運動=牽連運動+相對運動，為了便于理解將動坐標建立于小車、擺桿1、擺桿2的質心處，應用運動學對系統進行分析。通過牛頓力學對系統進行動力學分析，由此得出二級倒立擺的數學模型。利用力學中的隔離法,將二級倒立擺系統分為小車、擺桿 l、擺桿 2 三部分.首先,對小車進行分析.如圖2 所示,將擺桿 1 對小車的作用力

21、分解為豎直方向的分力和水平方向的分力。水平方向方程為: （2-1）FN 圖2-4 小車受力分析圖2-5擺桿2對擺桿1的水平方向分力和豎值方向的分力為和，利用牛頓第二定律和動量矩定理得擺桿1的運動學和動力學方程: XY 圖2-5 擺桿1的受力分析 （2-2） （2-3） （2-4）XY根據牛頓第二定律和動量矩定理得到二擺的運動學和動力學方程： 圖2-6 擺桿2的受力分析 （2-5） (2-6) (2-7)由拉格朗日方程可得：= (2-8)拉格朗日方程表示為： j=1，2 （2-9）對二級倒立擺系統有 S=3，即：x，由于在實驗中和 的值很小,所以在建?；嗊^程中用到以下近似：經線性化后方程為：

22、(2-10) (2-11) (2-12)上式中小車質量，小車位移x，下擺剛質量，轉動慣量，下擺桿質心到a的長度，上擺桿質量，轉動慣量，上擺桿質心到b的長度，小車與軌道的摩擦力系數f，擺桿ab的距離為L，重力加速度g。表2-1各參數及參數值參數 參數值 1.328kg 0.22kg 0.187kg 0.00496 kg/ 0.00482kg/ L 0.49m 0.304m 0.226m g 9.8m/ 則系統方程為： （2-13） （2-14）可得如下的狀態方程： （2-15） （2-16）第3章 控制策略的選擇3.1 MATLAB簡介 MATLAB是矩陣實驗室（Matrix Laborator

23、y）的簡稱，是美國MathWorks公司出品的商業數學軟件，用于算法開發、數據可視化、數據分析以及數值計算的高級技術計算語言和交互式環境，主要包括MATLAB和Simulink兩大部分。MATLAB是由美國mathworks公司發布的主要面對科學計算、可視化以及交互式程序設計的高科技計算環境。它將數值分析、矩陣計算、科學數據可視化以及非線性動態系統的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環境中，為科學研究、工程設計以及必須進行有效數值計算的眾多科學領域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統非交互式程序設計語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當今國際科學計算軟件的

24、先進水平。MATLAB和Mathematica、Maple并稱為三大數學軟件。它在數學類科技應用軟件中在數值計算方面首屈一指。MATLAB可以進行矩陣運算、繪制函數和數據、實現算法、創建用戶界面、連接其他編程語言的程序等，主要應用于工程計算、控制設計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設計與分析等領域。MATLAB的基本數據單位是矩陣，它的指令表達式與數學、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用C，FORTRAN等語言完成相同的事情簡捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等軟件的優點,使MATLAB成為一個強大的數學軟件。在新的版本中也加入了對C，FORTR

25、AN，C+ ，JAVA的支持?？梢灾苯诱{用,用戶也可以將自己編寫的實用程序導入到MATLAB函數庫中方便自己以后調用，此外許多的MATLAB愛好者都編寫了一些經典的程序，用戶可以直接進行下載就可以用。MATLAB 產品族可以用來進行以下各種工作： 1） 數值分析 2） 數值和符號計算 3） 工程與科學繪圖 4） 控制系統的設計與仿真 5） 數字圖像處理技術 6) 數字信號處理 技術 7) 通訊系統設計與仿真 8) 財務與金融工程 MATLAB 的應用范圍非常廣，包括信號和圖像處理、通訊、控制系統設計、測試和測量、財務建模和分析以及計算生物學等眾多應用領域。附加的工具箱（單獨提供的專用 MATL

26、AB 函數集）擴展了 MATLAB 環境，以解決這些應用領域內特定類型的問題。MATLAB的特點：（1）友好的工作平臺和編程環境。MATLAB由一系列工具組成，這些工具方便用戶使用MATLAB的函數和文件，其中許多工具采用的是圖形用戶界面。包括MATLAB桌面和命令窗口、歷史命令窗口、編輯器和調試器、路徑搜索和用于用戶瀏覽幫助、工作空間、文件的瀏覽器。隨著MATLAB的商業化以及軟件本身的不斷升級，MATLAB的用戶界面也越來越精致，更加接近Windows的標準界面，人機交互性更強，操作更簡單。而且新版本的MATLAB提供了完整的聯機查詢、幫助系統，極大的方便了用戶的使用。簡單的編程環境提供了

27、比較完備的調試系統，程序不必經過編譯就可以直接運行，而且能夠及時地報告出現的錯誤及進行出錯原因分析。（2）簡單易用的程序語言。Matlab一個高級的矩陣/陣列語言，它包含控制語句、函數、數據結構、輸入和輸出和面向對象編程特點。用戶可以在命令窗口中將輸入語句與執行命令同步，也可以先編寫好一個較大的復雜的應用程序（M文件）后再一起運行。新版本的MATLAB語言是基于最為流行的C語言基礎上的，因此語法特征與C語言極為相似，而且更加簡單，更加符合科技人員對數學表達式的書寫格式。使之更利于非計算機專業的科技人員使用。而且這種語言可移植性好、可拓展性極強，這也是MATLAB能夠深入到科學研究及工程計算各個

28、領域的重要原因。 （3）強大的科學計算機數據處理能力。MATLAB是一個包含大量計算算法的集合。其擁有600多個工程中要用到的數學運算函數，可以方便的實現用戶所需的各種計算功能。函數中所使用的算法都是科研和工程計算中的最新研究成果，而前經過了各種優化和容錯處理。在通常情況下，可以用它來代替底層編程語言，如C和C+ 。在計算要求相同的情況下，使用MATLAB的編程工作量會大大減少。MATLAB的這些函數集包括從最簡單最基本的函數到諸如矩陣，特征向量、快速傅立葉變換的復雜函數。函數所能解決的問題其大致包括矩陣運算和線性方程組的求解、微分方程及偏微分方程的組的求解、符號運算、傅立葉變換和數據的統計分

29、析、工程中的優化問題、稀疏矩陣運算、復數的各種運算、三角函數和其他初等數學運算、多維數組操作以及建模動態仿真等。 （4）出色的圖形處理功能MATLAB自產生之日起就具有方便的數據可視化功能，以將向量和矩陣用圖形表現出來，并且可以對圖形進行標注和打印。高層次的作圖包括二維和三維的可視化、圖象處理、動畫和表達式作圖。可用于科學計算和工程繪圖。新版本的MATLAB對整個圖形處理功能作了很大的改進和完善，使它不僅在一般數據可視化軟件都具有的功能（例如二維曲線和三維曲面的繪制和處理等）方面更加完善，而且對于一些其他軟件所沒有的功能（例如圖形的光照處理、色度處理以及四維數據的表現等），MATLAB同樣表現

30、了出色的處理能力。同時對一些特殊的可視化要求，例如圖形對話等，MATLAB也有相應的功能函數，保證了用戶不同層次的要求。另外新版本的MATLAB還著重在圖形用戶界面（GUI）的制作上作了很大的改善，對這方面有特殊要求的用戶也可以得到滿足。 （5）應用廣泛的模塊集合工具箱。MATLAB對許多專門的領域都開發了功能強大的模塊集和工具箱。一般來說，它們都是由特定領域的專家開發的，用戶可以直接使用工具箱學習、應用和評估不同的方法而不需要自己編寫代碼。目前，MATLAB已經把工具箱延伸到了科學研究和工程應用的諸多領域，諸如數據采集、數據庫接口、概率統計、樣條擬合、優化算法、偏微分方程求解、神經網絡、小波

31、分析、信號處理、圖像處理、系統辨識、控制系統設計、LMI控制、魯棒控制、模型預測、模糊邏輯、金融分析、地圖工具、非線性控制設計、實時快速原型及半物理仿真、嵌入式系統開發、定點仿真、DSP與通訊、電力系統仿真等，都在工具箱（Toolbox）家族中有了自己的一席之地。 （6）實用的程序接口和發布平臺。新版本的MATLAB可以利用MATLAB編譯器和C/C+數學庫和圖形庫，將自己的MATLAB程序自動轉換為獨立于MATLAB運行的C和C+代碼。允許用戶編寫可以和MATLAB進行交互的C或C+語言程序。另外，MATLAB網頁服務程序還容許在Web應用中使用自己的MATLAB數學和圖形程序。MATLAB

32、的一個重要特色就是具有一套程序擴展系統和一組稱之為工具箱的特殊應用子程序。工具箱是MATLAB函數的子程序庫，每一個工具箱都是為某一類學科專業和應用而定制的，主要包括信號處理、控制系統、神經網絡、模糊邏輯、小波分析和系統仿真等方面的應用。 （7）應用軟件開發（包括用戶界面）。在開發環境中，使用戶更方便地控制多個文件和圖形窗口；在編程方面支持了函數嵌套，有條件中斷等；在圖形化方面，有了更強大的圖形標注和處理功能，包括對性對起連接注釋等；在輸入輸出方面，可以直接向Excel和HDF5進行連接。3.2該系統的能控、能觀及穩定性的分析現代控制理論中用狀態方程和輸出方程描述系統，輸入和輸出構成系統的外部

33、變量，而狀態為系統內部變量，這就存在著系統內部的所有狀態是否受輸入影響和輸出來反映問題，這就是可控性和可觀性問題。如果系統所有狀態變量的運動都可以由輸入來影響和控制而由任意的初態達到原點，則稱系統是完全可控的，簡稱為系統可控；否則為不可控。相應的，如果系統所有的狀態變量的任意形式的運動均可由輸出完全反映，則稱系統狀態時完全可觀測的，反正為系統是不完全可觀察的，簡稱不可觀測。3.2.1系統的能控性 能控性判據：對n維連續時間線性定常系統: （3-1）構造能控性矩陣： （3-2）則系統完全能控的充分必要條件為: （3-3）由可知二級倒立擺的狀態空間表達式為： （3-4）由可得： （3-5） （3-

34、6） （3-7） （3-8）應用Matlab的Qc=ctrb（A，B），rank（Qc）得如下結果：rank(Qc) = 6由上可得能控性矩陣的秩rank（Qc）=6，由能控性判據可得二級倒立擺完全能控。3.2.2系統能觀性系統能觀性判據：對n維連續時間線性定常系統: （3-9）能觀性矩陣： 由式3-5和3-7通過Matlab計算得：>> Qo=obsv(A,C)>> rank(Qo)ans = 6能觀性矩陣的秩rank（Qo）=6，由能觀性判據得二級倒立擺系統為完全能觀的。3.2.3系統的穩定性穩定性判據：對n維連續時間線性時不變系統 x = Ax+Bu，系統漸近穩定

35、的充分必要條件為：系統矩陣 A的所有特征值均具有負實部。由式3-5得A矩陣，在Matlab中運用命令E=eig（A）得：>> E=eig(A)E = -10.0425 -5.0257 10.0425 5.0257 0 0從中可看出系統矩陣A的特征值有2個正實部，2個負實部及2個零特征值，所以二級倒立擺系統為不穩定系統。3.3 確定控制策略二級倒立擺為單輸入三輸出系統。要保持倒立擺直立就要對小車的位移、擺桿1、擺桿2進行閉環控制。由文獻可知“積分不適用于倒立擺”所以采用PD控制器。由于一個PD控制器只能控制一個被調量，所以采用三回路PD控制。如圖3-1輸出分別表示表示小車位移，擺桿1

36、的偏角，擺桿2的偏角。擺桿2擺桿1小車-PD控制器1PD控制器1PD控制器1直線二級倒立擺 圖3-1 三回路PD控制系統結構圖3.4 控制器參數整定方法 PID參數的整定一般有以下幾種：1）實驗湊試法：實驗湊試法是通過閉環運行或模擬，觀察系統的響應曲線，然后根據各參數對系統的影響，反復湊試參數，直至出現滿意的響應，從而確定PID控制參數。整定步驟： 實驗湊試法的整定步驟為"先比例，再積分，最后微分"。（1）整定比例控制 將比例控制作用由小變到大，觀察各次響應，直至得到反應快、超調小的響應曲線。（2）整定積分環節 若在比例控制下穩態誤差不能滿足要求，需加入積分控制。 先將步驟

37、（1）中選擇的比例系數減小為原來的5080，再將積分時間置一個較大值，觀測響應曲線。然后減小積分時間，加大積分作用，并相應調整比例系數，反復試湊至得到較滿意的響應，確定比例和積分的參數。（3）整定微分環節 若經過步驟（2），PI控制只能消除穩態誤差，而動態過程不能令人滿意，則應加入微分控制，構成PID控制。 先置微分時間TD=0，逐漸加大TD，同時相應地改變比例系數和積分時間，反復試湊至獲得滿意的控制效果和PID控制參數。2）實驗經驗法擴充臨界比例度法 實驗經驗法調整PID參數的方法中較常用的是擴充臨界比例度法,其最大的優點是，參數的整定不依賴受控對象的數學模型，直接在現場整定、簡單易行。 擴

38、充比例度法適用于有自平衡特性的受控對象，是對連續-時間PID控制器參數整定的臨界比例度法的擴充。 擴充比例度法整定數字PID控制器參數的步驟是：（1）預選擇一個足夠短的采樣周期TS。一般說TS應小于受控對象純延遲時間的十分之一。（2）用選定的TS使系統工作。這時去掉積分作用和微分作用，將控制選擇為純比例控制器，構成閉環運行。逐漸減小比例度，即加大比例放大系數KP，直至系統對輸入的階躍信號的響應出現臨界振蕩（穩定邊緣），將這時的比例放大系數記為Kr,臨界振蕩周期記為Tr。（3）選擇控制度?？刂贫?，就是以連續-時間PID控制器為基準，將數字PID控制效果與之相比較。通常采用誤差平方積分作為控制效果

39、的評價函數。采樣周期TS的長短會影響采樣-數據控制系統 的品質，同樣是最佳整定，采樣-數據控制系統的控制品質要低于連續-時間控制系統。因而，控制度總是大于1的，而且控制度越大，相應的采樣-數據控制系統的品質越差?？刂贫鹊倪x擇要從所設計的系統的控制品質要求出發。（4） 查表確定參數。根據所選擇的控制度，得出數字PID中相應的參數TS,KP,TI和TD。（5）運行與修正。將求得的各參數值加入PID控制器,閉環運行,觀察控制效果,并作適當的調整以獲得比較滿意的效果。以上方法都是要經過不斷的實驗來得到參數本文通過狀態反饋極點配置來整定參數。3.5 通過狀態反饋極點配置法來整定參數1、極點配置定理對單輸

40、入n維連續時間線性定常系統，系統全部n個極點即特征值可任意配置的充分必要條件為( A, B)完全能控。2、極點配置算法給定n維單輸入連續時間線性定常受控系統，( A, B)和一組任意的期望閉環特征值，要來確定 1 ×n狀態反饋矩陣 K。算法步驟如下：第1步：判斷 ( A, b)能控性。若完全能控，進入下一步。第2步：計算由期望閉環特征值決定的特征多項式。第3步：確定反饋陣K 。 圖3-2 三回路PD控制結構圖圖 3所示的倒立擺 P D控制系統結構圖中 ,ri是設定信號, n(仿真時用step代替)是干擾信號.由于倒立擺控制的的是希望小車保持在導軌的中心 (定義導軌中心的位移為零 )附

41、近,擺桿 1擺桿 2都能在豎直平面內保持倒立.所以設定信號 r i可取為零，這樣 ,表示倒立擺控制系統可進一步簡化.圖 4是倒立擺 P I D控制系統的具體結構.圖中有 3個虛線框 ,每個虛線框表示的是一個 PD控制器 ,分別對小車的位移、 擺桿 1的偏角、 擺桿2的偏角一對應. 將圖 4所示的 PD-PD-PD控制結構與狀態反饋控制系統的結構相比較 ,發現它們的結構是一樣的.因此 ,可利用狀態反饋控制系統的極點配置方法來確定 P I D控制器的 6個參數值.利用Matlab提供的工具箱函數K=place（A,B,P）來求得相應的 （3-10）任意取一組使系統穩定的閉環極點P，在matlab軟

42、件中用命令：K=place(A,B,P) （3-11）求得反饋矩陣K=，結果如表4-1。第4章 計算機仿真及結果分析4.1 Matlab下Simulink模塊簡介Simunlink是MATLAB最重要的組件之一，它提供一個動態系統建模、仿真和綜合分析的集成環境。在該環境中，無需大量書寫程序，而只需要通過簡單直觀的鼠標操作，就可構造出復雜的系統。Simulink具有適應面廣、結構和流程清晰及仿真精細、貼近實際、效率高、靈活等優點，并基于以上優點Simulink已被廣泛應用于控制理論和數字信號處理的復雜仿真和設計。同時有大量的第三方軟件和硬件可應用于或被要求應用于Simulink。Simulink

43、是基于Matlab的框圖設計環境，可以用來對各種動態系統進行建模、分析和仿真，它的建模范圍廣泛，可以針對任何能用數學來描述的系統進行建模，例如航空航天動力學系統、衛星控制制導系統、通信系統、船舶及汽車等，其中包括了連續、離散，條件執行，事件驅動，單速率、多速率和混雜系統等。Simulink提供了利用鼠標拖放的方法來建立系統框圖模型的圖形界面，而且還提供了豐富的功能塊以及不同的專業模塊集合，利用Simulink幾乎可以做到不書寫一行代碼即完成整個動態系統的建模工作。除此之外，Simulink還支持Stateflow，用來仿真事件驅動過程。Simulink是從底層開發的一個完整的仿真環境和圖形界面

44、，是模塊化了的編程工具，它把Matlab的許多功能都設計成一個個直觀的功能模塊，把需要的功能模塊用連線連起來就可以實現需要的仿真功能了。也可以根據自己的需要設計自己的功能模塊，Simulink功能強大，界面友好，是一種很不錯的仿真工具。Simulink仿真具有以下的特點。（1）交互建模Simulink提供了大量的功能塊，方便用戶快速地建立動態系統模型，建模時只需要使用鼠標拖放庫中的功能塊，并將它們連接起來。用戶可以通過將塊組成子系統建立多級模型。對塊和連接的數目沒有限制。（2）交互仿真Simulink框圖提供了交互性很強的非線性仿真環境。用戶可以通過下拉菜單執行仿真，或者用命令行進行批處理。仿

45、真結果可以在運行的同時通過示波器或者圖形窗口顯示。（3）能夠擴充和定制Simulink的開放式結構允許用戶擴充仿真環境的功能。（4）與Matlab和工具箱集成由于Simulink可以直接利用Matlab的數學、圖形和編程功能，用戶可以直接在Simulink下完成諸如數據分析、過程自動化、優化參數等工作。工具箱提供的高級設計和分析能力可以通過Simulink的屏蔽手段在仿真過程中執行。（5）專用模型庫Simulink的模型庫可以通過專用元件集進一步擴展。4.2 在Simulink下的仿真在Simulink模塊中建立一個新的模型如圖4-1：在模型中加入階躍干擾信號step，并且可以通過小車位移控制

46、模塊對小車的動態平衡位移做調整，在本文中要求小車位于導軌中央所以設置為0。 圖4-1 simulink下PD控制的的模型 由第3章的式3-5、3-6、3-7、3-8、 3-10及3-11 通過極點的配置來求反饋矩陣K，表4-1給出了4組極點并求出了相應的反饋矩陣K。 表4-1 極點配置表 組數極點配置反饋矩陣Ka-2;-5;-7;-9;-10;-1229.6779 133.0388 -276.1929 33.7527 1.0909 -46.0195b-5±i；-7±3i；-10±4i68.6706 127.8228 -329.5531 54.8272 -2.361

47、3 -55.7718c-3±i；-5±3i；-6±4i6.9405 69.0612 -98.7373 7.8073 2.8342 -15.7829d-5±3i；-8±5i；-12±8i247.0835 141.5525 -621.7266 145.6008 -15.8018 -107.1988從表4-1可看出給出了4組數據，為了保證系統穩定將極點配置在復平面的左半平面且位于平衡點附近。a組全部配置在實軸上，bcd3組為共軛極點。各組的仿真曲線為：a組小車位移如圖4-2，擺桿1如圖4-3，擺桿2如圖4-4；b組小車位移如圖4-5，擺桿1

48、如圖4-6，擺桿2如圖4-7；c組小車位移如圖4-8，擺桿1如圖4-9，擺桿2如圖4-10；d組小車位移如圖4-11，擺桿1如圖4-12，擺桿2如圖4-13. 圖4-2 a組小車位移響應曲線 圖4-3 a組擺桿1偏角響應曲線 圖4-4 a組擺桿2的偏角響應曲線 圖4-5 b組小車位移響應曲線 圖4-6 b組擺桿1的偏角響應曲線 圖4-7 b組擺桿2的偏角響應曲線 圖4-8 c組小車位移曲線 圖4-9 c組擺桿1的偏角響應曲線 圖4-10 c組擺桿2的偏角響應曲線d組小車位移、擺桿1、擺桿2的曲線如圖： 圖4-11 d組小車位移響應 圖4-12 d組擺桿1的響應曲線 圖4-13 d組擺桿2偏角響

49、應曲線4.3對仿真結果的分析由圖4-24-13可得小車位移的變化，擺桿偏角的變化及系統達到平衡的時間t如表4-2.表4-2 abcd4組數據對比組數小車位移（m）/擺桿偏角（rad）達到動態平衡時間t（s）a小車-0.0030.034擺桿1-0.0120.0154擺桿2-0.00550.014b小車-0.0080.0182.5擺桿1-0.0120.0132.8擺桿2-0.0060.00553c小車-0.010.133.1擺桿1-0.0450.063.5擺桿2-0.0290.0423.8d小車-0.0020.0062.5擺桿1-0.00750.00783標桿2-0.00280.0032.5根據仿真曲線可以看出曲線的超調量和平衡調節時間都是滿足控制要求的，說明3回路PD控制是成功的，同時對通過狀態反饋機帶你配置的方法來整定參數也是可行的。通過表4-2將a b c d四組進行對比，a組的調節時間t=4是4組中最大的，而a組所配置的極點位于實軸上；將b組與c組對比，b組達到平衡的時間小于c組且小車偏離導軌中心的位移較短，b組明顯優越于c組；