1、通化師范學院本 科 生 畢 業 論 文（ 2013 屆 ）題 目: 求函數極限的若干方法 系 別： 數 學 學 院 專 業： 數學與應用數學 班 級： 三 班 作者姓名： 楊憲忠 學號： 200906010345 指導教師： 張安梅 職稱： 教 授 學歷： 本 科 論文成績： 2013 年 5 月目 錄摘 要.Abstract.1引言.12求函數極限的若干方法.1 2.1利用函數極限的定義.1 用時函數極限的定義求函數極限.1用時函數極限的定義求函數極限.12.2利用兩個重要極限.2 利用.2利用.22.3利用等價無窮小代換求函數極限.32.4利用洛必達法則求函數極限.3 利用洛必達法則求型不

2、定式極限.4利用洛必達法則求型不定式極限.4 2.5利用泰勒公式求函數極限.4 2.6利用定積分求函數極限.5直接利用定積分的定義求函數極限.5變乘積極限為和式極限.53結束語.6致謝語.6參考文獻.6指導教師評語.評閱人評語.求函數極限的若干方法數學學院2009級3班 楊憲忠摘 要：極限是貫穿數學分析全過程的重要概念，同時也是近代微積分的基礎，本文主要對函數極限的求解方法進行了歸納與總結，且在具體方法中應注意的問題、細節、技巧做了說明，從而方便我們了解函數的各種極限及求法.關鍵詞：函數極限；求解方法；歸納總結Several methods of solving the Limit of Fu

3、nctionClass1, 2009, Department of Mathematics Yang XianzhongAbstract：Limit through mathematical analysis in the whole process of important concepts in modern times, but also the foundation of calculus, this paper focuses on the function limit method are concluded and summarized, and the problems sho

4、uld be noticed in specific methods, skills, detail illustrated, so as to facilitate our understanding of function of the various limits and method.Key word：limit of function; method of solving;induction and summary1引言極限是微積分學中的一個重要的基本概念，是微積分中各種概念以及計算方法能夠建立和應用的前提，求解函數極限的方法很多，但每種方法都有一定的局限性，且都不是萬能的，所以我們

5、要對具體的求極限問題追求適合的方法.2求函數極限的若干方法2.1利用函數極限的定義用時函數極限的定義求函數極限定義1 設為定義在上的函數，為定數，若對任給的，存在正數，使得時有，則稱函數當趨于時以為極限，記作或.例1 函數，證明時，.證明 ，要使不等式成立.即，要使不等式成立.解得，取，于是，,，有，即.用時函數極限的定義求函極限定義2 設函數在點的某個空心領域內有定義，為定數,若對任給的，存在正數，使得時，有 ，則稱函數當趨于時以為極限，記作或.例2 函數， 證明時.證明 ， ，取，則當時，有，由函數極限的定義，有 .通過例1、例2我們得出，為了找到相應的，要從開始分析，而滿足該式的應是無窮

6、多，從而不唯一，根據定義，只要找到一個合適的就可以了.因而我們要著重說明的存在性，所以我們常將進行適當的放大，變成一個關于的比較簡單的式子，使其小于，進而解出相應的來，從而正確利用定義證出函數極限.2.2利用兩個重要極限利用例3 求解 利用例4 解 綜上，凡是含有三角函數的型末定式和型末定式，我們都可以用兩個重要極限的末定式，都能求出結果.2.3利用等價無窮小代換求函數極限 定義3 若，則稱與是當時的等價無窮小量，記作，常用的等價代換有，.例5 求解 由于，而， ，故有例6 求解 原式 利用等價無窮小量代換求函數極限時，應注意，只有對所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量替代，對極限式

7、中的相加或相減部分則不能隨意替代.在求極限時，須把分子或分母看作一個整體從而代換.進而求出函數極限.2.4利用洛必達法則求函數極限定理1 設在某一極限過程中，函數，滿足條件（1）；或；（2）在點某空心領域內兩者都可導，且；（3）（可為實數，也可為），則有.利用洛必達法則求型不定式極限例7求解 例8 求解 此題屬于型，將原式中的寫在分母上，使其變成型后應用洛必達法則，即利用洛必達法則求型不定式極限例9 求解 例10 求解 洛必達法則是求兩個無窮小量或無窮大量之比的極限的，在同一運算過程中可連續使用，直到求出所求極限.但是，對于其他不定式的極限如果無法判斷其極限狀態，則洛必達法則失敗，但只需經過簡

8、單變換，它們一般可以化為型或型的極限.2.5利用泰勒公式求函數極限定義3 設在點具有階導數，則在點的泰勒公式為，特別地當時，稱麥克勞林公式. 例11 求 解 ， ， ，從而得在利用泰勒公式求函數極限時，應注意分清哪些項需要展開，展到什么程度，哪些項保留.2.6利用定積分求函數極限直接利用定積分的定義求函數極限定義4 設是定義在上的一個函數，對于的任意分割以及在其上任意選取的點集有.例12 求解 變乘積極限為和式極限例13 求解 令 ， 則 ，則，所以由定積分的定義我們知道，定積分是某一和式的極限，因此，如果關于的某一和式可以表示成某一積分的形式時，則可利用定積分，求出這個和式的極限，顯然，若要利用定積分求函數極限，其關鍵在于將和式化成某一函數的積分形式.3結束語以上方法是求函數極限的重要方法，在求解極限的題目時，我們要細心分析，從而擇最合適的方法，這樣不僅準確率更高，而且會省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果.致謝語感謝張安梅老師對我在論文寫作中的指導與幫助，是您的耐心教導，使我的論文得以完成，真心的說一聲，老師您辛苦了！參考文獻1華東師范大學數學系.數學分析（第三版）上冊M.北京：高等教育出版社,2001,3:42-64.2程鵬,張洪瑞,李占現.求函數極限的方法J.河南科技學院學報（自然科學報）,2009,36(3):133-135.3宋立溫,利用等價無窮小