1、第一章實分析概要本章將簡要的介紹數學分析與實變函數的一些基礎知識，特別是點集的勒貝格測度與勒貝格積分理論。這些知識不僅是學習泛函分析的必要準備，而且在數學及 其它學科中有直接的應用。第一節集合及其運算第二節實數的完備性第三節可數集與不可數集第四節 直線上的點集與連續函數 第 五節點集的勒貝格測度與可測函數第六節 勒貝格積分第一節 集合及其運算1) A UA A, A AA A;2) A UA, AA；3)若 A ? B ,貝U A UB B, A A B A, A B ；4) 設 X 為基本集，則A U ACX , A A AC,(AC )CA, A B A A BC又若 A ? B ，則AC

2、? BC 。集合的運算法則：2a iv (a v)v(zD(91)c(”wi)(乙I)I)o(”w)i «wn)«'ll童其3'童幸之父x ® L L w® (ou a)(ou v) ou (aw) (on a)u (on v) on (au v) (ou a)n (ou v) ou (an v)留取3 ou au v (ou a)u v ou (au v) on an v (on a)n v on (an v)就導存 vu a au vVn a an v就引芟第二節 實數的完備性2.1 有理數的稠密性2.2 實數的完備性定理定義 2.1

3、 ( 閉區間套 )設 an ,bn ( n 1,2,L, ) 是一列閉區間，anbn ，如果它滿足兩個條件：1)漸縮性，即 a1 ,b1 ? a2 ,b2 ? L? an ,bn ? L;2) 區間長度數列 bn- an 趨于零，即lim(bn- an ) 0nco定理 2.1 （區間套定理）設an ,bn 為實數軸上的任一 閉區間套，其中an與bn都是實數，那么存在唯一的一個實數己屬OC于一切閉區間an ,bn （n1,2,L）,即 E 6 an ,bn ,并且n1lim an lim bn己nocnx利用區間套定理，可以直接推出所謂的 列緊性定理 （定理 2.2），這個定理的名稱的含義在第

4、二章中解釋。我們先介紹一個有關的概念。命題2.1設xn 是一個數列，則lim xna的充分必要條件是：ncoxn 的每一個子列都收斂而且有相同的極限值定理2.2 （列緊性定理）V任何有界數列必有收斂子列定義2.3設Xn 是一個數列，如果當 m, n f 8時，有xm - xn f 0 ,那么就說xn 是一個基本數列 或 柯西數列。定理2.3柯西（Cauchy）收斂原理（完備性定理）V數列 xn 收斂的充分必要條件是，它是一個基本數列 。定理2.4 （單調收斂定理），單調有界數列（即單調增有上界數列或單調減有下界數列）必然收斂定義2.4 （確界）設A是一個數集，M是A的一個上（下）界。如果對任意

5、的£ 0 ,必存在A中的數x£,使得x£M - £(x eM ）,那么就稱M為數集A的上（下）確界定理 2.5 確界存在定理（不講）由上（下）界的數集必有上（下）確界。定義2.5（覆蓋）設a , b是一個閉區間，A （T a | a e I是一個區間族，其中區間 （Ta可以是開的，閉的或者半開半閉的， 而指標集 I 可以是有限集，也可以是無限集。如果 a , b 中的每一點必含于區間族 A的某一區間ba之中，那么就稱 A覆蓋區間a , b,或者區間a , b被A覆蓋。定理 2.6 （有限覆蓋定理 ） （不講 ）若閉區間a , b被區間族 A覆蓋,則能從

6、A中選出有限個開區間覆蓋a , b上面我們介紹了刻畫實數完備性的六個定理，它們是按這樣的邏輯順序進行的：從定理2.1 （區間套定理）出發，推出 定理 2.2 （列緊性定理），又從定理2.2推出 定理 2.3柯西（Cauchy）收斂原理（完備性定理） ，又從定理2.3 推出 定理 2.4 （單調收斂定理）， 又從定理 2.4 推出 定理 2.5 確界存在定理），最后，從定理2.5 推出 定理 2.6 （有限覆蓋定理 ）第三節 可數集與不可數集3.1 映射定義 3.1 設 A 與 B 是兩個 非空 集合，如果按照一定的法則 f ，對于 A 中的每個元x ,者B存在B中的一個確定的元y與x相對應，那

7、么我們稱f為定幺A上取值于B中的一個映射，記作y f (x)。y稱為x在映射f下的象，對于固定的y , A中適合關系式y f (x)的x的全體稱為y的原象。集A稱為映射f的定義域，f ( A) f (x) | x CA稱為 映射f的值域，一般f ( A) ? B。為方便起見，今后常將把從集A到f ( A) ? B的映射寫成f : A B特別，若B是一個數集，此時映射 f稱為泛函；若A與B都是數集，f就是通常的函數。3.2 可數集與不可數集，集合的勢定理 3.1 有理數集是可數集。定理3.3可數個可數集的并是可數集。定理3.4區間0, 1中的點是不可數的。第四節 直線上的點集與連續函數本節先 討

8、論直線上的點集的基本性質，然后， 在此基礎上研究4.1 開集、閉集及其性質4.2 開集的構造4.3 點集上的連續函數，函數的一致連續性4.4 函數列的一致收斂性4.1 開集、閉集及其性質定義 4.1 設 E 是直線 R 上的任一點集， a 是直線上的任意一點，我們把直線上包 含a的任一區間（a , 3）稱為點a的鄰域；設a是E中的點，如果存在著 a的一個鄰域（a , B ）整個包含于E內，則稱a是E的內點；如果點集E的每一點都是它的內點，則稱E 是一個 開集 。定理 4.1 開集具有下列的性質：1）空集與直線R的本身都是開集;2）任意多個開集的并是開集；3）有限多個開集的交是開集.定義4.2設

9、E是直線R上的任一點集，a是直線上的任意一點（不一定屬于E ）。如 果a的任一鄰域（“，3）中含有E中不同于a的點，則稱a為E的極限點（或聚點）。定理4.2點a是集E的極限點的充要條件是存在E中的點列an （an w a）,使lim an anco定義4.3設E為直線上的點集，由 E的所有極限點構成的集稱為E的導集，記作E ',稱集E U E 為E的閉包，記作E T若集E的余集E C R E為開集，則稱 E為閉集.定理4.3非空集E是閉集的充要條件是 E ' ? E定理4.4集合E為閉集的充要條件是E E。定理 4.5 閉集具有下列基本性質1）空集與全直線R是閉集；2 ） 任意

10、多個閉集的交是閉集；3 ） 有限多個閉集的并是閉集.4.2 開集的構造定義4.4設G是直線R上的一個有界開集，如果開區間（a , B ）滿足條件：1） （%份？ G2） a ?G, B ?G則稱（a , B ）為開集G的一個構成區間。定理 4.6 （ 開集的構造原理） 設 G 為直線上的任意非空有界開集，則 G 可以表示為至多可數個互不相交的構成區間之并，即G U (ak,侏)k日其中 I 為有限的或可數的指標集.4.3 點集上的連續函數，函數的一致連續性定義在區間上的連續函數的概念幾乎可以逐字逐句的推廣到直線的點集上去。定義 4.5 設 E 是直線 R 上的點集 ， f (x) 是定義在 E

11、 上的一個函數(即映射f : E f R ),xo是E中的任意一點。如果對于 E中任何收斂于xo的點列xn,都有lim f (xn )f (x0 )xn -X0那么稱函數f (x) 在點x0 連續。如果f (x) 在 E 中每點都連續，那么稱f (x) 在集 E 上連續。 定理 4.7 設 F 是直線 R 上的有界閉集， f (x) 是定義在 F 上的連續函數，則16(1) f (x)在集F上必有界， 并且能取得它的最大值(上確界)與最小值(下確界)設f (x)定義在點集E ? R上，如果對于任意的e0 ,都能找到6(e)定義4.6 0(注意6(g)與點x無關)，使得對于E中的任意兩點Xi與X

12、2 ,只要|xi- X216 ,就有f(Xl)-f(X2) |e(1.13)成立，則稱函數f (x)在集E上一致連續。定理4.8設f (x)在有界閉集F ? R上連續，那么f (x)在F上必一致連續。4.4函數列的一致收斂性定義4.7設 fn (x)是定義在點集 E ? R上的函數列。如果存在E上的函數f (x),15對于任意給定的e 0 ,都能找到正整數N (e),使得當n N (e)時，不等式fn(X)- f(X)£對于所有X E的成立，那么就稱fn (X)在集E上的一致收斂于f (x)。定理4.9定義在點集E ? R上的函數列 fn (X) 一致收斂于f (x)的充要條件是：對

13、于任給的g 0 ,存在正整數N (e),使得當m, n N (e)時，不等式fm (X) - fn (X) I £(1.17)對于所有X E的成立.定理4.10設 fn (X)是E上的一個連續函數列，如果在 E上它一致收斂于 函數f(X),那么極限函數f(X)也在集E上連續。定理4.11設 fn (X)是區間a,b上的連續函數列，若 fn (X)在a,b上一致收斂于f (x),則極限函數f (X)在a,b上可積，并且或寫成f f (X)dX lim /fn(x)dx an0°a(1.18)bb(lim f (x)dx lim (f(x)dx第五節 點集的勒貝格測度與可測函數

14、本節將簡要地介紹點集的勒貝格測度與可測函數的基本理論，它不但是建立勒貝格積分的必要準備，而且在其他的學科（如概率論與隨機過程）中也經常用到。5.1 從黎曼積分到勒貝格測度命題5.1如果f (x)在區間a,b上連續，那么f (x)在a,b上必R可積5.2 點集的勒貝格測度定義 5.1 設 G 為直線上的有界開集，定義G 的測度為它的一切 構成區間 的長度之和，也就是說，若GU(ak，國)，其中(a , B k )是G的構成區間，則kmGE(Bk- ak)(1.23)k定義 5.2 設 F 為直線上的有界閉集， F ? (a,b) ，則 G (a,b F 是有界開集，定義F 的測度為18mF (b

15、 - a) - mG1.24)定義 5.3 設 E 為直線上的任一有界點集，我們稱所有包含 E 的開集的測度的下確界為集 E 的外測度，記作m? E ：m? EinfmG | G ? E,G 為開集而把所有含于 E 中的閉集的測度的上確界稱為集E 的內側度，記作m? E ：m? E supmF | F? E, F為閉集定義 5.4 設 E 直線上的有界點集，若 m? E m? E ，則稱 E 為勒貝格可測集，簡稱 為 L 可測集，它的外測度與內側度的共同值稱為 E 的勒貝格測度，簡稱為 L 測度，19記作 mEmE m? E m? E定理 5.1 設 X (a,b) 為基本集， E , E1

16、與 E2 為 X 的子集。1)若E可測，則其余集EC也可測；2)若Ei, E2可測，則 Ei U E2 ,EiI E2 ,EiE2均可測；又若EiI E2，則m(E1 U E2 ) mE1 mE2205.3可測函數定義 5.5 設 E 為直線上的可測集(有界或無界)， f (x) 是定義在 E 上的實值函數，如果對于任何實數a ,集合E( f >a) x | f (x) >a, x E都是勒貝格可測的，那么稱 f (x) 是 E 上的勒貝格可測函數，簡稱為可測函數。定理5.4函數f (x)在可測集上可測的充要條件是對于任何實數a與B ,集合E(a< fB) x | a<

17、f (x)B, x E是 L 可測的。21定理 5.5 函數 f (x) 在可測集 E 上的可測的充要條件是下列條件之一成立：1) E(fa)x|f(x)a,x GE是可測集；2) E(f< a)xf(x)<a,x GE是可測集：3) E( fa)x |f (x)a,x GE是可測集：4)對于直線上的任何開集 G,它的原象f-1(G)是可測集，其中a是任意實數。30第二章 距離空間第一節 距離空間的基本概念定義 1.1 設 X 是任一集合。如果對于 X 中任意 兩個元素 x 與 y ，都對應 一個實數p(x, y),并且滿足條件：1)非負性，p(x, y) >0且p(x, y

18、) 0當且僅當x y ;2)對稱性，p(x, y)p( y, x);3)三角不等式，對任意的x,y,zX,有p(x, y) < p(x, z)p(z, y)則稱p(x, y)為x與y之間的距離，而稱X為以p(x, y)為距離的距離空間或度量空間。例1.1 n維歐氏空間Rn設Rn表示n維向量xX1 , X2 ,L, Xn的全體所組成的集合，其中Xi ,i 1,2,L, n都是實數，如果x(XI , X2y ( yi , y2 ,L, yn) 6 R n ,定義1 n-2X, y) Bxi - yi )2i 1條件1)與2)顯然成立。為了證明條件3)成立，現證明重要的 Cauchyn 2 n

19、 nzfi bi<!>i2 !>i2i 1i 1 i 1,L, Xn ),(2.(4)不等式：(2.(5)其中ai ,bi ,i 1,2,L, n都是實數例1.2連續函數空間Ca,b令Ca,b x(t) | x(t)為a,b連續函數在Ca,b上定義p(x, y)max |x(t) - y(t)(2.6)t qa,b 11現在我們來證明p (x, y)是距離。例1.3有界數列空間m。設m表示所有的有界數列x (a,，L,瓜，L)(其中&|&kx,i 1,2,L, k x是常數)所構成的集合。如果x (a,a,L, &)Cm,y (邛，平上，牛)C m,定

20、義p(x, y)sup|&-ri I(2.7)i類似于例1.2,容易驗證p(x, y)是距離，從而m按這個距離構成距離空間。例1.4離散距離空間。設X為任一非空集合，定義0, x yp(x, y)(2.8)1, x 豐 y容易驗證P (x, y)滿足距離的三個條件，于是 X按照P (x, y)成為距離空間。由于X中任 兩個不同點間的距離均等于 1,因此常稱X為離散距離空間。定義 1.2 設 X 是一個距離空|可，xn , x X , (n 1,2, L),如果當 n - 0cB寸，p(xn , x) - 0 ,則稱點列xn按距離p收斂于x ,而x叫做點列xn的極限，記作lim xnx

21、或 xn 一x, (n 一 衿noo定理1.1設X是距離空間1) X中任何收斂點列Xn的極限是唯一的；2)若點列Xn-X,(n f)3則Xn的任何子列Xnk X,(k 衿定義1.3設X是距離空間1)如果X0 CX , r 0 ,則稱集合S(xo , r)x | x X , p(x, X0) r是以xo為中心，r為半徑的開球，或xo的一個鄰域；稱集合S (xo , r) x | x X , p(x, xo ) < r是以X0為中心，r為半徑的閉球2) 設 A? X ，如存在一個開球S(x0 ,r) ，使得A ? S(x0 , r)則稱 A 是 X 中的 有界集 。定理 1.2 設 X 是距

22、離空間，則X 的任何收斂點列必是有界的。第二節 距離空間中的開集、閉集與連續映射本節將直線上 點集 的有關概念以及定一在直線上的 連續函數 的概念推廣到 距離 空間 中去。 由于 許多概念的定義及定理的證明幾乎可以 逐字逐句 地移植， 因此 ，我 們省略了某些定理的證明，留給讀者作為練習自行補足。2.1 距離空間中的開集和閉集定義2.1設X為距離空間。G ? X , X0 6 X ,如果存在X0的鄰域Sx0 , r) ? G ,則稱xo 為G的內點。如G的每個點都是內點，則稱 G為開集。例2.1任一開球S(xo,r)是開集。定理 2.1 距離空間 X 中的開集具有下列性質：1)空集于全空間X是

23、開集；2) 任意多個開集的 并 集是開集；3) 有限個開集的交 是開集.F 是開集。定理 2.3 設 X 是距離空間，則 F ? X 是閉集的充要條件是? F X定理 2.4 距離空間 X 中的閉集具有下列性質：1)空集與全空間X都是閉集；2) 任意多個閉集的交是閉集；3) 有限個閉集的并集是閉集.2.2 距離空間上的連續映射定義2.3設X與Y都是距離空間，分別以 P與仍為距離，T : X - Y , X0 X ,如果對任意的£0 ,存在60 ,使得當p(x, xo )6時，有pi (Tx,Tx0 )£則稱映射 T 在 x0 連續。若 T 在 X 中每一點都連續，則稱T 為

24、 X 上連續映射。如果 Y R ，則稱 T 為 連續函數 。此時，常將T 為記作 f 或 g 。例 2.4 設 X 是距離空間，x0 為 X 中一個固定點，則f (x)p(x, xo )是 連續函數 。定理2.5設X ,Y都是距離空間，T : X - Y ,則下列命題是等價的3i1) t在xo ex連續;2)對于Txo的任一鄰域S(Txo , e),必存在xo的鄰域S(X0 , g ,使得T (S(xo , g) ? S(Txo , £)3)對于X中任一點列xn，若xn -xo ,則必有Txn f Txo第三節 距離空間的可分性與完備性我們知道，有理數在實數中的稠密性以及實數的完備性

25、在數學分析中起著重要的作用，本節將這兩個概念推廣到一般的距離空間中去。3.1 距離空間的可分性定義3.1設X為距離空間，A與B都是X的子集，如對于任意的 x C A ,存在x n ? B使xn - x ,則稱B在A中稠密。如果A X ,則稱B在X中處處稠密。顯然，B在A中稠密與下面兩個命題之一是等價的：1)對任意的x CA , x的任何鄰域中都含有 B中的點。2) A ? B,特別地如A X ,則B- X。定義3.2設X為距離空間，如 X中存在一個處處稠密的可數子集，則稱 X是可 分的距離空間。定義3.3設X為距離空間1)如點列xn ?X,滿足lim p(xm,xn) 0,即任取e 0,存在正

26、整數N,使得當 m,n7m, n N時，有p(xm , xn)£,則稱xn為基本列或柯西列2)若X中的每個基本列 都收斂，則稱X為完備的距離空間。定理3.1設X為距離空間1) X中任何收斂點列都是基本列；2)若X是完備距離空間，則xn ?*是基本列的充要條件是Xn收斂點列；3)在完備距離空間X中，X的任何閉子空間F都是完備的。例3.4 Ca,b是完備的距離空間。設x n ? Ca,b是基本列。故任取£ 0,必存在正整數N,使得當m N,n N時有p(Xn , Xm ) max Xn (t) - Xm (t)£t Qa,b即當 m N , n N ,對每一個 t q

27、a,b有Xn (t) - Xm (t)由 第一章定理4.9，存在x(t) ，使 xn (t) 一致收斂于x(t) ，又由 第一章定理4.10，得x(t) Ca,b,即存在 x Ca,b,使 xn -x ,故 Ca,b是完備的。第四節 壓縮映射原理及其應用定義4.1 (壓縮映射)設X是距離空間，T : X - X (從X至IJ X的自身映射)，如存在常數a , 0 W a 1,對于任何x, y G X ,都有KTx,Ty)(x, y)稱 T 是 X 上的一個壓縮映射。定理4.1設X是完備的距離空間，T : X f X是壓縮映射。則T在X中存在唯一的一一，. 一，不動點 x ，即有 xTx35推論

28、4.1設X是完備的距離空間，T : X f X ,如T在閉球S (Xo , r)上是壓縮映射，并且P(Txo , xo ) < (1 - a )r則T在S中存在唯一的不動點。推論4.2 設X是完備的距離空間，T : X - X。如存在常數a (0 < a 1)及正整數 n0，使對任何x, y G X都有P(Tnox,Tnoy) <a (x, y)則T存在唯一的不動點。(其中T no可以歸納定義如下：T 2 x T(Tx),T 3 x T (T 2 x),)36第三章 巴拿赫空間、希爾伯特空間及其線性算子第一節 線性賦范空間與巴拿赫空間在線性代數中學過 n維歐氏空間Rn ,在R

29、n中有兩種基本的代數運算，即 向量的 加法和向量與數的乘法，而且對這兩種運算分別滿足對加法的交換律、結合 律、存 在零向量、逆向量和對數乘滿足結合律、分配律，存在單位元等。這些基本 的運算 法則對Rn空間是不可的，因而在定義抽象的線性空間的運算法則時， 必須保留上述性質。在Rn中，除了上述線性結構外，還有一種拓撲結構，而這種結構是通過對Rn中的 任意一點，確定 它與原點之間的距離（向量長度）來實現的，其實現過程如下：37§1.1 線性空間定義1.1設X為任一非空集合，若在X中規定了線性運算一一元素的加法和元素與數（實數或復數，實數域記為R ,復數域記為C ）的乘法，并滿足下列條件：4

30、）由子集張成的子空間，設M為線性空間X的子集，L表示M中元素所有可能的線性組合構成的集合，即n為數，n為任意自然iii 1容易驗證，L為X的線性子空間，稱L為由子集M張成的線性子空間，記作L= spanM6）線性同構設 X 和 Y 為兩個線性空間（同為實的或復的），如果存在從X 到 Y 上的某個 1-1映38射？，使對任意xi , x2 e x ,及任意 入，成立?(xi X2 ) ?(xi ) ?(X2 )(3.13)?(M )入 7xi )(3.14)則稱X與Y是線性同構的，映射？稱為X到Y的線性同構映射。定義1.2設X為線性空間，A為X的一個子集，若對任意x, y 6 A及數a (0 &

31、lt; a < 1),ox (1 - a) y CA ,則稱A為X中的凸集。必(1- a) y稱為x與y的凸組合。顯然，線性空間的任意線性子空間都是凸集。§1.2線性賦范空間與巴拿赫空間定義1.3設X為(實的或復的)線性空間，如對任意x CX ,有一個確定的非負實數ix與它對應，并滿足1)對任意 xCX, x*0。當且僅當 x 9 x II 0(3.15)2)對任意xCX及數入，|刈1M(3.16)3)對任意 x,y GX, IX yll<IU I N I(3.17)則稱X為線性賦范空間。X稱為x的范數。正如本節開始時分析的那樣，有了范數就可以引入任意兩點之間的距離。令p(x, y) |y - X l(3.18)易證P (X, y)滿足距離空間距離的三個條件，因而線性賦范空間按式(3.18)定義的距離成為距離