1、淺談求最值問題的幾種方法摘要：最值問題綜合性強, 涉及到中學數學的許多分支, 因而這類問題題型廣, 知識面寬,而且在解法上靈活多樣, 能較好體現數學思想方法的應用. 在歷年的高考試題中, 既有基礎題, 也有一些小綜合的中檔題, 更有一些以難題的形式出現. 解決這類問題要掌握多方面的知識, 綜合運用各種數學技巧, 靈活選擇合理的解題方法, 本文就幾類最值問題作一探求.關鍵詞：數學；函數；最值；最大值；最小值 1. 常見函數的最值問題.1.1 一次函數的最大值與最小值. 一次函數在其定義域(全體實數)內是沒有最大值和最小值的, 但是, 如果對自變量的取值范圍有所限制時, 一次函數就可能有最大值和最

2、小值了.例1. 設 且 1,(01),求的最大值與最小值.解: 可化為：下面對一次項系數分兩種情況討論：（1）當1時，-0,于是函數的函數值是隨著的增加而增加的,所以當=0時,取最小值;當=1時,y取最大值. （2）當01時,于是函數的函數值是隨著的增加而減少的,所以當=0時,取最大值;當=1時,取最小值.例2. 已知是非負實數,且滿足條件求的最大值和最小值.分析： 題設條件給出兩個方程,三個未知數，當然， 的具體數值是不能求出的.但是,我們固定其中一個，不防固定，那么都可以用來表示，于是便是的函數了（需注意的取值范圍），從而我們根據已知條件，可求出的最大值與最小值.1.2二次函數的最大值與最

3、小值一般地，求二次函數的最大值與最小值，都是根據二次函數的性質和圖象來求解，即有：若>0，則當= 時，有最小值為；若<0，則當= 時，有最大值. 這里我們給出另一種求二次函數最值的方法判別式法.例3. 已知1, 2是方程 (是實數）的兩個實數根，求的最大值與最小值.分析：一般地,二次函數,若方程有實根,其判別式0.如果關于的不等式0,可以解出的取值范圍，便可求出函數的最值，這就是求函數最值的判別式法.解：由于二次方程有實根，所以=0 解得 則 由于在上是減函數,可見當時，=有最大值18，當時，=有最小值.1.3三角函數的最大值與最小值三角函數的最值問題題型廣，涉及的知識面寬，而且在

4、解法上靈活多變，能較好的體現數學思想方法的應用，因而一直是學習中的熱點和重點. 例 4. 已知函數,設，當為何值時，y取得最小值. 解： , 即有 , 當時，取得最小值.說明：求三角函數的最值時，方法很多，而在代數中求最值的方法均適用，如配方法（注意三角函數的取值范圍），換元法（注意換元后的范圍），判別法，重要不等式（注意取等號的條件）等等，這里不再贅述，只列舉出幾種常見的三角函數及最值的求法： （1）型，利用三角函數的值域，須注意對字母的討論. （2） 型，先引進輔助角化成，再利用有界性. （3） 型，配方后求二次函數的最值，須注意 的約束. （4） 型，反解出，化歸為解決.(5) 型，化歸

5、為 利用三角函數的有界性求解，或用數形結合法 .(6) 型，常用到換元法，令，.1.4 分式函數的最大值與最小值求分式函數的最大值與最小值問題，常用到的辦法是去分母后，化為關于的二次方程，然后用判別式0，得出的取值范圍，進而求出的最大值和最小值.例5. 求函數的最值.解：去分母，整理得 當時，這是一個二次方程，因是實數，所以判別式0. 即 = 解得 當 當 由此即知, 當 時， 取最小值-4； 當 時， 取最大值1. 說明：本題求最值的方法叫判別法，是一種常用的方法，但在用判別法時，應特別注意這個最值能否取到，即是否有與最值相應的值. 2. 一類無理函數的最值問題無理函數的最值是高中數學教學的

6、一個難點，其形式多樣，解法繁雜，學生在解題時常感困惑，下面就研究一類形如 的無理函數最值的解法.例6. 求函數的最值，以及取最值時的值. 解法1. 利用判別式顯然 ， 兩邊平方得 移項，平方整理得 由 得 又 及 得 當=6時，；當=時，.解法2. 巧用三角變換. 設, 則， .消去得 . 當 時， 即 時， ； 當 時， 即=6 時， .解法3. 善用導數.導數是高中數學中的重要內容，用導數研究函數的性質尤其是函數最值問題成為強有力的手段，要重視導數在解決一些復雜的函數最值上的作用，善于運用它體念它獨特的解題魅力，能使問題得到簡潔，完美的解決. 對原函數求導可得 令 得 又 計算端點和導數為零的函數值得 ， ， . 由此可得 當=時， ， 當=6時，.3. 其它函數的最值問題處理一般函數的最大值與最小值，我們常常用不等式來估計上界或下界，進而構造例子來說明能取到這個最大值或者最小值。例7. 設是正實數，求函數的最小值. 解：先估計的最小值 又當