1、第五節 泰勒級數及其應用教學目的：掌握TaylorTh，了解函數的Taylor級數與Taylor展式的關系；能靈活運用導出公式間接求出函數的泰勒展式；了解函數泰勒展式的作用.重難點：能靈活運用導出公式間接求出所給函數的泰勒展式以及麥克勞林展式.教學方法：啟發式講授與指導練習相結合教學過程：一、泰勒級數1.通過前面的學習我們知道，當級數在其收斂域內一定有和函數.現在我們想知道函數是否一定可以展開為冪級數，需不需要附加條件？問題：已知函數有 .問：(1) 對于一般的函數是否也有？(2) 如果能展開,項的系數如何確定?(3) 展開式是否唯一?(4) 在什么條件下才能展開成冪級數?2.由第四章中的導數

2、應用知道，我們可以用多項式近似表示函數，進而導出函數的泰勒中值定理.（作用：用多項式近似表示函數）【定理】（Taylor中值Th）: 設在內具有直到n+1階導數, 則在內，其中為拉格朗日型余項.3.【定理】（TaylorTh）: 設在內具有任意階導數, 則在內 .其中為的拉格朗日型余項.證明: 由于 . 所以 , .4函數在點有泰勒展式在有任意階導數且.注意：1）函數在一點處可以展開為Taylor級數時，其展式是唯一的. 2）為 在點的Taylor級數，等式在時成立，稱為函數的Taylor展式.5泰勒級數與麥克勞林級數 設在點具有任意階導數，則稱(1) 為在點的泰勒級數, 記作 .(2) 稱為

3、的麥克勞林級數, 記作 . 注意問題: 在點具有任意階導數，那么級數在收斂區間內是否收斂于？例: 在點任意可導,且,于是,顯然, .結論：當級數收斂于時，即時有泰勒展式.二、函數展開成冪級數1直接法(麥克勞林級數法)步驟：(1) 求； (2) 求；(3) 寫出的麥克勞林級數并求出級數的收斂半徑；(4) 討論或 ，(5) 在收斂區間上有 , .例1 將展開成的冪級數.解：(1) , ， , ； (2) , 而；(3),().(4) 所以 , .近似計算: ；.公式：取等不同的值可以得到相應的公式. （）.可以由無窮遞縮等比數列求和公式得到.例2 將展開成的冪級數.解：(1) , ； (2) 依次

4、循環取 ；(3), 而；(4) ,.(5) 所以 , .2間接法根據唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導, 逐項積分等方法,求函數的泰勒展開式.例3 將展開成的冪級數.解：已知, . 那么 ,.例4 將展開成的冪級數.解：已知, . 那么 , .例5 將展開成的冪級數.解：已知, . 那么 , . 又因為 時，級數 收斂, 于是 , .例6 將展開成的冪級數.解 當均收斂，故 提問：利用已知展開式展開下列函數為的冪級數,并確定收斂區間:(1)解 因為,所以有,并由得的收斂區間為.(2)解 因為,所以有,并由得的收斂區間為.(3)解 因為,所以有.(4)解 由,有又

5、由得其收斂區間為.(5)解 并由 有 和 ,所以 , .例7（1） (07.3.10)將函數展開為的冪級數,并指出收斂區間.解: 收斂區間為 .（2） 將展開成的冪級數.解：由于 又已知, , , .那么 , 收斂域 .練習： 將展開成的冪級數.解：由于 又已知, , , ,那么 , .提問：利用已知展開式展開下列函數為的冪級數,并確定收斂區間:(1)解 因為,又,所以有 ,即 .(2)解 因為,又，所以有 ，即 .（3）解 類似可求 例8 （1）(87.6) 將函數展成的冪級數,并指出其收斂區間.解 .（2） 95.6) 將函數展成的冪級數,并指出收斂區間.解 易知,并由 , 和 ,可得 ,

6、 .三、冪級數在近似計算中的應用1近似計算思路：欲計算函數值, 可將展開成冪級數,可用近似值計算, 誤差為.2近似值的精度(1) 給出精度, 通過確定項數,繼而求得需要近似.(2) 給定項數,可求得近似值,通過可估計精度；例9 計算的近似值,要求誤差不超過.解法一: 由于,取, 則有且 , 若要求誤差不超過, 應取.即要計算 共10000項！ 顯然此法不可??！解法二(快速收斂級數法): 已知 , . 那么 , . 令 , 得, 從而 若取, 有 . ( 截斷誤差 )于是. ( 舍入誤差 0.6931347574 )對比精確值: 例13 計算定積分的近似值,要求誤差不超過.(取)解: 已知 ,

7、. 那么, .于是 若取, 有 . ( 截斷誤差 )于是 ( 舍入誤差 0.5204904621 )對比精確值: 練習：用級數展開法近似計算下列各值(計算前三項):(1)解 因為,那么,于是 . (2)解 因為,那么,于是 .(3)解 因為,那么,于是 .(4)解 因為,那么,于是 .(5)解 因為,那么,于是 .(6)解 因為,那么,于是 .四、微分方程的冪級數解法求方程 () 的特解, 其中解法：(1) 令 , 有,其中為待定系數；(2) 代入方程()兩端, 得到兩端均為的多項式；(3) 比較兩端系數并列出方程組, 可解得, ；(4) 在其收斂區間內即為方程()的特解.例14 求滿足的特解.解：(1) 令, 有,其中為待定系數；(2) 代入方程()兩端, 得 , 其中：(3) 比較兩端系數, 得 , , , , , , , , , (4) 方程的特解為 .小結：1.函數在點的泰勒展式為 ，其系數為泰勒系數.當時，的上述展式為麥克勞林展式.注意：函數在一點的泰勒展式唯一.利用公式中的已知收斂域，間接地求所求級數的收斂域比較方便. 2常用間接展開公式有 1） 2） 3） 4）